高觀點(diǎn)視角下一道中考數(shù)學(xué)試題的解法探究

陽(yáng)順才 閆鋒鋒

摘 要：在菲利克斯·克萊因“高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)”思想的啟發(fā)下，文章倡導(dǎo)：用高學(xué)段的數(shù)學(xué)知識(shí)、思想和方法來(lái)分析、解決低學(xué)段中一些綜合性的數(shù)學(xué)問(wèn)題，但這兩個(gè)學(xué)段的知識(shí)的邏輯結(jié)構(gòu)不能逾越學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，只是在操作上省去一些繁瑣的解題步驟.在這新鑒定“高觀點(diǎn)”含義的指導(dǎo)下，就一道中考數(shù)學(xué)試題進(jìn)行案例分析，并結(jié)合課堂教學(xué)實(shí)踐，提出加強(qiáng)“雙基”訓(xùn)練、找準(zhǔn)學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)、在學(xué)生獲得綜合評(píng)價(jià)的基礎(chǔ)之上，適當(dāng)?shù)貪B透高學(xué)段的知識(shí)、思想和方法，以促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)水平的達(dá)成.

關(guān)鍵詞：高觀點(diǎn);新鑒定;高學(xué)段;解析法;滲透

一、“高觀點(diǎn)”含義新鑒定

菲利克斯·克萊因認(rèn)為，數(shù)學(xué)教師應(yīng)該具備較高的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)，理由是觀點(diǎn)越高事物越顯得簡(jiǎn)單.他告誡人們： 數(shù)學(xué)教育的改革不能采取保守的、舊式的態(tài)度，數(shù)學(xué)教育工作者的頭腦中應(yīng)始終保持著近代數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)，學(xué)會(huì)用現(xiàn)代數(shù)學(xué)來(lái)改造初等數(shù)學(xué)。美國(guó)學(xué)者吉姆·費(fèi)（Jim.Fey）提出：把數(shù)學(xué)的概念、原理、技能和說(shuō)理方法翻譯成可以為大多數(shù)學(xué)生所掌握的樣子，即所謂的“初等化”.這里的“初等”有兩層意思： 一是對(duì)特定的學(xué)生群體是基礎(chǔ)的，是可接受的;二是它是基于合理性、科學(xué)性、可行性的問(wèn)題.近年來(lái)，張景中和林群兩位院士，分別以全新的方式將“微積分”初等化.張景中先生提出的初等數(shù)學(xué)里的微積分，嚴(yán)格卻不用ε-δ語(yǔ)言，而且用初等數(shù)學(xué)可以說(shuō)清楚的語(yǔ)言，巧妙地用不等式化解“微分中值定理”的功能，最終將微積分初等化稱為第三代微積分。

而文章所指的“高觀點(diǎn)”是用高學(xué)段的數(shù)學(xué)知識(shí)、思想和方法來(lái)分析、解決低學(xué)段中一些綜合性的數(shù)學(xué)問(wèn)題，但這兩個(gè)學(xué)段的知識(shí)的邏輯結(jié)構(gòu)不能逾越學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，只是在操作上省去一些繁瑣的解題步驟.比如，在初中的教材中，解析幾何的思想只是在函數(shù)（一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)）部分有所滲透，用于函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)與方程、以及函數(shù)與不等式等方面的研究，并沒(méi)有拓展.而近幾年的中考數(shù)學(xué)卷中，常常把解析幾何思想方法融入在平面幾何作為壓軸題來(lái)考察學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng).學(xué)生在面對(duì)此問(wèn)題時(shí)，通常只會(huì)采用平面幾何的思想方法進(jìn)行作答，不僅解題的切入點(diǎn)不難發(fā)現(xiàn)，而且解題步驟繁瑣，對(duì)學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的要求較高，一旦學(xué)生找不到解題的切入點(diǎn)或邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算出現(xiàn)錯(cuò)誤，就會(huì)造成大面積失分，從而打擊學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心，同時(shí)也讓學(xué)生失去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.若此類問(wèn)題通過(guò)建立平面直角坐標(biāo)系，運(yùn)用解析幾何的初等思想進(jìn)行作答，那么解題的切入點(diǎn)就易于找到，在解答過(guò)程中的邏輯推理就很自然、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力要求也較低。

二、典型案例分析

（2018年黔南州中考）如圖1，已知矩形，，，動(dòng)點(diǎn)，從點(diǎn)出發(fā)，以的速速向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，直到點(diǎn)為止;動(dòng)點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，以的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，與動(dòng)點(diǎn)同時(shí)結(jié)束運(yùn)動(dòng)。

（4）如圖2，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為 軸，長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度建立平面直角坐標(biāo)系，連結(jié)，與相交于點(diǎn)，若雙曲線過(guò)點(diǎn)，問(wèn)的值是否會(huì)變化？若會(huì)變化，說(shuō)明理由;若不會(huì)變化，請(qǐng)求出的值.

分析：第（1）問(wèn)考查速度、時(shí)間、路程之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題型，意在使學(xué)生“熱身”，進(jìn)入解題的狀態(tài).第（2）、（3）問(wèn)在第（1）問(wèn)的基礎(chǔ)之上考查勾股定理的應(yīng)用，屬于中等題型.這兩問(wèn)之間的關(guān)系，對(duì)于數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)弱的同學(xué)來(lái)說(shuō)，它們之間是相互獨(dú)立，能完成第（2）問(wèn)，就會(huì)對(duì)解答第（3）問(wèn)帶來(lái)啟示，但在解讀過(guò)程中，這部分同學(xué)就會(huì)將這兩問(wèn)分開(kāi)來(lái)思考;對(duì)于數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)較強(qiáng)的同學(xué)來(lái)說(shuō)，這兩問(wèn)之間是遞進(jìn)關(guān)系，第（2）問(wèn)具體化，而第（3）問(wèn)在第（2）問(wèn)的基礎(chǔ)進(jìn)行一般化的抽象，那么這部分同學(xué)在解答完第（2）之后，對(duì)于第（3）問(wèn)，他們就會(huì)將第（2）問(wèn)的解題思路進(jìn)行一般化的抽象，即用兩問(wèn)的共性進(jìn)行求解.解答過(guò)程如下：

解：由于點(diǎn)和點(diǎn)均為動(dòng)點(diǎn)，所以，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)有如下兩種情況，如圖3、圖4所示：

對(duì)于這兩個(gè)問(wèn)，以上解法應(yīng)該是初中階段最經(jīng)典的解法了，但對(duì)學(xué)生的綜合素養(yǎng)要求較高，尤其是數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，其實(shí)這兩個(gè)問(wèn)就是考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)水平的高低，若學(xué)生能夠運(yùn)用以上解法進(jìn)行作答這兩個(gè)問(wèn)，那么這些學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)已達(dá)到義務(wù)教育階段的要求水平，并基本普通高中繼續(xù)學(xué)習(xí)的較強(qiáng)能力.

若這兩個(gè)問(wèn)，我們通過(guò)建立平面直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)，并運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式，就可以很快求出，兩點(diǎn)的距離.運(yùn)用解析的方法，需要學(xué)生掌握這樣三點(diǎn)：一是會(huì)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系;二是會(huì)準(zhǔn)確計(jì)算出點(diǎn)的坐標(biāo);三是知道兩點(diǎn)間的距離公式.第一、二點(diǎn)在七年級(jí)下冊(cè)就學(xué)習(xí)了，學(xué)生已有很好的掌握;而第三點(diǎn)需要在八年級(jí)下冊(cè)學(xué)習(xí)了勾股定理之后，運(yùn)用勾股定理以及平面直角坐標(biāo)系的有關(guān)知識(shí)推導(dǎo)出兩點(diǎn)間的距離公式，在總復(fù)習(xí)的最后一個(gè)階段，要加強(qiáng)對(duì)這些拔高知識(shí)點(diǎn)的記憶與理解，便于應(yīng)試時(shí)的應(yīng)用.用解析的思想方法求解（2）、（3）問(wèn)如下：

解：如圖2，建立以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度建立平面直角坐標(biāo)系.

兩種方法相比，解析法很顯然優(yōu)于平面知識(shí)的解法，運(yùn)用解析法回避了分類討論，整個(gè)解題過(guò)程很形象直觀.所以運(yùn)用“高觀點(diǎn)”可以使學(xué)生的解題思維更高清晰，就可以做到居“高學(xué)段的知識(shí)、思想和方法”之高，臨“低學(xué)段的綜合問(wèn)題解決”之下，為學(xué)生全面發(fā)展贏得時(shí)間和空間.

第（4）問(wèn)更能體現(xiàn)這種居“高學(xué)段的知識(shí)、思想和方法”之高，臨“低學(xué)段的綜合問(wèn)題解決”之下的“高觀點(diǎn)”的潛在教育價(jià)值.若此問(wèn)運(yùn)用初等平面幾何知識(shí)進(jìn)行求解，需要利用勾股定理和點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)構(gòu)造線段的長(zhǎng)度，再通過(guò)三角形相似來(lái)建立關(guān)于點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，才能完成此問(wèn)的作答.而三角形相似是義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)教材中的重點(diǎn)知識(shí)，這部分知識(shí)對(duì)學(xué)生而言就是難點(diǎn)，學(xué)生在學(xué)習(xí)或者運(yùn)用這部分知識(shí)時(shí)，都有些胃難情緒，這樣造成解題心里的障礙，一旦這種障礙得不到及時(shí)的解決，就會(huì)放棄或者分析不全面，因此而失去得到高分的機(jī)會(huì)，這也就是所謂的區(qū)分題型.運(yùn)用初等平面幾何知識(shí)進(jìn)行求解的過(guò)程，在此不再贅述，以下我們從另外一個(gè)角度來(lái)分析此題。

由于雙曲線過(guò)點(diǎn)，且，這樣我們只要求出點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)的表達(dá)式，將點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)的表達(dá)式相乘，就可判斷的值是否會(huì)變化了.我們?cè)诮Y(jié)合圖2知道，點(diǎn)是直線與直線的交點(diǎn)，直線方程是高中階段的知識(shí)，而初中階段卻出現(xiàn)它的雛形，那就是一次函數(shù)，因?yàn)橐淮魏瘮?shù)的圖象就是直線，而由直線到一次函數(shù)解析式，這一逆向思維，義務(wù)教育階段不作要求，那么在教學(xué)的過(guò)程中就引不起教師們的重視，導(dǎo)致學(xué)生失去居“高學(xué)段的知識(shí)、思想和方法”之高，臨“低學(xué)段的綜合問(wèn)題解決”之下的一次體驗(yàn)的機(jī)會(huì).其實(shí)在學(xué)習(xí)一次函數(shù)圖象的時(shí)候，進(jìn)行適當(dāng)?shù)耐卣?，“不僅要體驗(yàn)一次函數(shù)的圖象是一條直線，還要讓學(xué)生體驗(yàn)到平面直角坐標(biāo)中一條直線的解析式就是一次函數(shù)”這就是解析幾何的關(guān)鍵之處。

以上解答過(guò)程，思路非常的清晰，這就說(shuō)明學(xué)生站得高就會(huì)看得遠(yuǎn)，需要教師具有“高觀點(diǎn)”意識(shí)，才能引領(lǐng)學(xué)生居“高學(xué)段的知識(shí)、思想和方法”之高，臨“低學(xué)段的綜合問(wèn)題解決”之下的數(shù)學(xué)之美。

三、“高觀點(diǎn)”指導(dǎo)課堂教學(xué)的幾點(diǎn)思考

將高學(xué)段的知識(shí)、思想和方法應(yīng)用到低學(xué)段的課堂教學(xué)之中，不僅要考慮學(xué)生的潛力發(fā)展方向，也要兼顧學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)的積累，沒(méi)有扎實(shí)的基礎(chǔ)，再好的思想方法都將是海市蜃樓。

（一）在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)滲透“高觀點(diǎn)”下的知識(shí)、思想和方法

在課堂教學(xué)中，我不僅要分析教材，更要分析學(xué)生，了解學(xué)生已有的知識(shí)儲(chǔ)備以及所具備的數(shù)學(xué)思想方法，只有在這基礎(chǔ)之上滲透“高觀點(diǎn)”才能順應(yīng)原有的認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)，從而形成學(xué)生新的認(rèn)知水平。

（二）在學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識(shí)的前提下滲透“高觀點(diǎn)”下的知識(shí)、思想和方法

基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能是每一個(gè)學(xué)段必須完成的“雙基”任務(wù)，也是為高學(xué)段繼續(xù)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).沒(méi)有基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能，就不可能思維活動(dòng)以及活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累，更不可能有應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)，從廣義上說(shuō)“高觀點(diǎn)”就是一種在思維品質(zhì)上的創(chuàng)新。

（三）在學(xué)生獲得綜合性評(píng)價(jià)的基礎(chǔ)上滲透“高觀點(diǎn)”下的知識(shí)、思想和方法

所謂的綜合性評(píng)價(jià)就是學(xué)生對(duì)某一模塊知識(shí)學(xué)習(xí)結(jié)束或某一學(xué)段所有知識(shí)的都修完的時(shí)候，這一時(shí)期的學(xué)生無(wú)論在知識(shí)儲(chǔ)備上，還是思維能力上都已具備必要的“雙基”知識(shí).在這個(gè)時(shí)間點(diǎn)上講授高學(xué)段的知識(shí)、思想和方法，便于學(xué)生的理解，也為學(xué)生在競(jìng)技考試的時(shí)候贏得更多的時(shí)間。

四、結(jié)語(yǔ)

“高觀點(diǎn)”不僅是高師教師思考的問(wèn)題，也應(yīng)該成為各學(xué)段教師思考的問(wèn)題，教育要培養(yǎng)新時(shí)代的創(chuàng)新人才，就必須挖掘?qū)W生在每個(gè)學(xué)段的潛力，但我們也不能好高騖遠(yuǎn)，只有加強(qiáng)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的訓(xùn)練、找準(zhǔn)學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，在學(xué)生獲得綜合評(píng)價(jià)的基礎(chǔ)之上，適當(dāng)?shù)貪B透高學(xué)段的知識(shí)、思想和方法，才能分析與解決當(dāng)前學(xué)段面臨的問(wèn)題，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，促進(jìn)不同學(xué)習(xí)階段數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平的達(dá)成。

參考文獻(xiàn)

[1] 菲利克斯.克萊因.舒湘芹，等，譯.高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)[M].上海：復(fù)旦大學(xué)出社，2008.

[2] 張景中.不用極限怎樣講微積分[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2008（08）：1-9.

基金項(xiàng)目：文章為黔南民族師范學(xué)院教育碩士研究生教育質(zhì)量工程項(xiàng)目《黔南水族地區(qū)初中學(xué)生數(shù)學(xué)逆商水平的調(diào)查研究》的研究成果，項(xiàng)目編號(hào)：2018yjszz013。