正交小波的多分辨分析的研究

劉江

摘 要：本文引入并定義了函數(shù)系構(gòu)成中的小波基。討論正交小波構(gòu)造方法。

關(guān)鍵詞：小波;多分辨分析;構(gòu)造方法

DOI：10.16640/j.cnki.37-1222/t.2019.17.203

最早的小波變換是不需要在乎函數(shù)是否正交的，那時(shí)候只有CWT，其計(jì)算是通過(guò)積分類似差分方程來(lái)計(jì)算小波系數(shù)的，小波的核心思路——伸縮和平移的基礎(chǔ)理論就是這時(shí)提出的，這時(shí)多分辨分析的完整概念其實(shí)還沒(méi)有完全提出來(lái)，但CWT其實(shí)也姑且可以認(rèn)為是有多分辨分析性質(zhì)的。

后來(lái)mallat和Daubechies覺(jué)得CWT能干的事太少，功能偏弱，于是絞盡腦汁提出了mallat算法，這就是后來(lái)使用mallat算法的DWT。這要分解細(xì)節(jié)和逼近就涉及了正交函數(shù)問(wèn)題，但其實(shí)關(guān)于正交函數(shù)變換的問(wèn)題已經(jīng)研究了很長(zhǎng)時(shí)間，在mallat算法之前有很多關(guān)于正交函數(shù)的變換研究，為mallat算法的研究提供了基礎(chǔ)，它們才可為鼻祖，mallat只是覺(jué)得這些理論可以很好地與小波變換聯(lián)系起來(lái)，于是最終提出了mallat算法。后來(lái)人們放寬了條件，發(fā)現(xiàn)即使是不正交的雙正交小波也可以使用mallat算法，這也正是這個(gè)算法著名的地方。不正交或不雙正交的小波只能用于CWT、二進(jìn)小波變換或不使用mallat算法的DWT。

所以，目前通常的DWT指的都是使用mallat算法的DWT，也就是多分辨分析（提到多分辨分析這個(gè)特定概念名詞通常必然是使用了mallat算法的），它可以使用正交小波來(lái)變換，也可以使用雙正交小波來(lái)變換。

1 基本概念

小波分析的出發(fā)點(diǎn)之一是構(gòu)造函數(shù)空間的各種基底，包括：框架、Riesz基與正規(guī)正交基等，進(jìn)而得到空間的各種分解。如果是中的正交小波，則函數(shù)系構(gòu)成中的一個(gè)正規(guī)正交基，稱為小波基。因此，本文重要定義并討論多分辨分析為構(gòu)造正交小波提供了統(tǒng)一方法。

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