高中數(shù)學(xué)教學(xué)中分類討論思想的運用

祁美紅

【摘要】分類討論思想是一種很常見的思想方法，對于學(xué)生的思維培養(yǎng)有很重要的作用，也是學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)過程中的一種基本的思路和方法。分類討論思想在高中數(shù)學(xué)理論知識上雖然得到了廣泛運用，但是在實際的教學(xué)過程中還存在著許多問題。在運用的過程中，如果分類不恰當(dāng)，或者不能確定分類標(biāo)準(zhǔn)就會顯得很復(fù)雜，甚至以失敗而告終。

【關(guān)鍵詞】分類;問題;運用

一、分類討論思想的本質(zhì)

分類討論思想是在我們所遇到的數(shù)學(xué)問題中，有些問題的結(jié)論不是唯一確定的，有些問題的結(jié)論在解題中不能以統(tǒng)一的形式進(jìn)行研究，還有些問題的已知量是用字母表示數(shù)的形式給出的，這樣字母的取值不同也會影響問題的解決。由上述幾類問題可知，就其解題方法及轉(zhuǎn)化手段而言都是一致的，即把所有研究的問題根據(jù)題目的特點和要求，分成若干類，轉(zhuǎn)化成若干個小問題來解決，這種按不同情況分類，然后再逐一研究解決的數(shù)學(xué)思想，稱為分類討論思想。高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)不僅要嚴(yán)密，還要進(jìn)行有效融合。在數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中，將數(shù)學(xué)課本中的知識點、思路必須結(jié)合起來。高中數(shù)學(xué)教學(xué)中涵蓋的思想主要有函數(shù)、數(shù)形、方程、分類討論等，針對不同的問題運用不同的方法進(jìn)行分析。分類討論思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中是一種重要的思想方式，具有邏輯性。在對題型進(jìn)行分類時，有本質(zhì)上的分類和現(xiàn)象分類兩種;本質(zhì)的分類是按照特征進(jìn)行分類的，比如函數(shù)的學(xué)習(xí)章節(jié)中的單調(diào)函數(shù)、值域、定義域、有界等;現(xiàn)象的分類主要是按照學(xué)習(xí)章節(jié)的外表特征來進(jìn)行分類的，比如高中數(shù)學(xué)“數(shù)的分類”那一章節(jié)中學(xué)習(xí)的知識。分類討論思想靈活地應(yīng)用在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)中，恰到好處地應(yīng)用這一思想能夠有效地提高學(xué)生學(xué)習(xí)的能力。

二、分類討論思想的運用

分類討論思想有著明確的運用步驟：第一，要明確展開討論的題目，明確討論題目中已有的參數(shù);第二，將進(jìn)行討論的題目分類，不能進(jìn)行重復(fù)的分類，分類要清晰明了;第三，層層展開進(jìn)行分類，分步驟解決題目，最后進(jìn)行歸納總結(jié)，從而列出各種情況下的結(jié)果。

分類討論思想在應(yīng)用的過程中，具有明確的使用方向：第一，根據(jù)數(shù)學(xué)課本中的定義及相關(guān)概念進(jìn)行分類討論;第二，根據(jù)課本中的理論、公式以及相關(guān)條件進(jìn)行分類討論;第三，根據(jù)不同的、變化的參數(shù)展開分類討論;第四，根據(jù)證明結(jié)果、運算方式進(jìn)行分類討論;第五，根據(jù)實際的題型、內(nèi)容需要展開分類討論。分類討論思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的實際應(yīng)用案例，例1：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。這類題目中，在解或得到單調(diào)遞增或遞減區(qū)間時，如果最高次項系數(shù)帶有參數(shù)，且參數(shù)的取值不確定，則需要對參數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，以此來確定導(dǎo)數(shù)在各區(qū)間上的符號，從而確定單調(diào)區(qū)間。相關(guān)這樣的題型在高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)中數(shù)不勝數(shù)，這樣的題型都可以利用分類討論思想根據(jù)最高次項系數(shù)來分類進(jìn)行解答。

例2：已知函數(shù)，（I）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;（Ⅱ）設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，這類題目，是根據(jù)方程有無實根來分類。在解不等式時往往需要先求方程的根，目前我們所遇到的絕大多數(shù)問題最終都可轉(zhuǎn)化為一元二次方程的求根問題，當(dāng)方程的根不能確定時，則常常需要利用判別式來討論方程的根的情形。

三、分類討論思想的注意事宜

在運用“分類討論思想”進(jìn)行數(shù)學(xué)分類時要特別注意：分類的相稱性，即保證分類對象既不重復(fù)又不遺漏;分類的同一性，即每次分類必須保持同一的分類標(biāo)準(zhǔn)。當(dāng)然標(biāo)準(zhǔn)必須根據(jù)具體情況而定，即使同一數(shù)學(xué)對象也有不同的分類標(biāo)準(zhǔn)，如三角形可按角分類，也可按邊分類;整數(shù)可按奇、偶數(shù)分類，也可按正整數(shù)、零、負(fù)整數(shù)分類等，解決實際問題時，應(yīng)根據(jù)實際情況確定分類標(biāo)準(zhǔn)和方法。分類討論思想可將問題所涉及的對象的全體劃分為若干兩兩不相交的部分，然后分別求解或論證，最后綜合各類結(jié)果解決整個問題。在使用分類討論思想時，必須要了解其使用方法、使用技巧、使用原理等，在運用中要學(xué)會熟能生巧、舉一反三、學(xué)為所用;在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，要學(xué)會分析，對于例題、學(xué)習(xí)的知識點都要進(jìn)行總結(jié)和復(fù)習(xí)，累積經(jīng)驗，避免犯同樣的錯誤;在學(xué)習(xí)過程中，要簡單地去看分類討論思想，使其分類能夠簡潔化。學(xué)習(xí)中對各類題型進(jìn)行總結(jié)，讓解答題目的過程能夠更加快捷。分類討論是一種邏輯方法，是一種重要的數(shù)學(xué)思想，同時也是一種重要的解題策略，它體現(xiàn)了“化整為零、積零為整”的思想與歸類整理的方法。有關(guān)分類討論思想的數(shù)學(xué)問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索眭，能訓(xùn)練人的思維條理性和概括性，所以在高考試題中占有重要的位置。分類討論問題一般涵蓋知識點較多，具有明顯的邏輯特點，需要一定的分析能力和分類技巧，是歷年高考考查的重點。

四、結(jié)語

分類討論思想在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)中運用得十分廣泛，在教學(xué)中不僅能夠幫助學(xué)生解答問題，還能夠培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中建立起對數(shù)學(xué)的縝密思維。分類討論思想是需要一定的邏輯性、自主學(xué)習(xí)能力和分析問題的能力，而這些能力在分類討論思想的學(xué)習(xí)過程中都能夠得到培養(yǎng)，促進(jìn)學(xué)生綜合能力的提高，使學(xué)生在學(xué)習(xí)中能夠更加靈活。高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)對于學(xué)生來說是十分重要的，讓學(xué)生應(yīng)用分類討論思想，能夠幫助學(xué)生更好地學(xué)習(xí)，對學(xué)生的后續(xù)發(fā)展起著關(guān)鍵的作用。