一類系統(tǒng)譜的上界

吳 平

(蘇州市職業(yè)大學(xué) 數(shù)理部，江蘇 蘇州 215104)

1 問題的提出

設(shè)??Rm是一個(gè)逐片光滑的區(qū)域，考慮

的特征值的估計(jì)問題，其中n是邊界?Ω的單位法向量，譜又稱特征值。假設(shè)

則問題(1)可寫成矩陣形式。

設(shè)問題(2)的譜為0≤λ1≤λ2≤…≤λn≤…，對(duì)應(yīng)的正交規(guī)范特征向量為u1，u2，…，un，…，即滿足

根據(jù)分部積分，得

假設(shè)

式中

顯然，φik與uj正交(i，j=1，2，…，n，k=1，2，…，m)，且滿足

由Rayleigh定理，可得

計(jì)算得

由φik與uj的正交性，及有

假設(shè)

由式(7)，有

由式(5)和式(8)，有

2 主要引理

引理1設(shè)ui是問題(2)對(duì)應(yīng)譜λi的特征向量，則

證明根據(jù)分部積分和式(4)，得

同理可得

由式(11)和式(12)，有

引理2設(shè)λ1，λ2，…，λn是問題(2)的n個(gè)譜，則

證明根據(jù)恒等式和分部積分法，得

由式(13)，有

由于

由分部積分，得

由式(17)、式(18)、式(19)和分部積分，有

引理3對(duì)于φik和λi(i=1，2，…，n，k=1，2，…，m)，則

證明由φik的定義，有

顯然

由Schwartz不等式和引理1，有

3 主要結(jié)論

定理1如果λi(i=1，2，…，n+1)是問題(2)的譜，則

證明利用引理3，再利用式(12)和引理2，可得定理1的式(22)，在式(22)右端用λn替代λi，可得式(23)。

定理2對(duì)于n≥1，則

證明 選擇參數(shù)σ＞λn，由式(9)，得

利用式(21)和Young不等式，得

式中δ＞0為待定常數(shù)。

為了使式(27)右端的值達(dá)到最小，取

將式(28)代入式(27)，得

根據(jù)引理2、式(26)和式(29)，得

式中σ＞λn，選擇σ使式(30)右端等于0，即

假設(shè)

4 結(jié)論

方程的特征值問題是數(shù)學(xué)學(xué)科研究的一個(gè)重要領(lǐng)域，它所涉及的問題和內(nèi)容復(fù)雜而廣泛，本文研究了一類系統(tǒng)譜的上界估計(jì)，并得到了譜的上界的不等式，其結(jié)果在物理學(xué)和力學(xué)等領(lǐng)域中應(yīng)用廣泛。