對(duì)埃米爾·阿廷《伽羅瓦理論》的歷史分析

張 勇 鄧明立

(1.北京大學(xué)哲學(xué)系，北京 100871；2.河北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，石家莊 050024)

埃米爾·阿廷(Emil Artin， 1898～1962)(1)如無(wú)特殊說(shuō)明，以下文中“阿廷”所指的均為埃米爾·阿廷(Emil Artin)。生于1898年，是一位具有亞美尼亞血統(tǒng)的奧地利數(shù)學(xué)家(2)20世紀(jì)初亞美尼亞人在土耳其境內(nèi)遭到驅(qū)趕和屠殺，阿廷的父親移居維也納，阿廷也生于維也納。可能由于這方面的歷史因素，為紀(jì)念阿廷對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)，從2001年起建立了埃米爾·阿廷青年數(shù)學(xué)獎(jiǎng)(Emil Artin Junior Prize)。該數(shù)學(xué)獎(jiǎng)每年獎(jiǎng)勵(lì)一個(gè)目前或者曾經(jīng)在亞美尼亞國(guó)內(nèi)大學(xué)就學(xué)且年齡低于35歲的學(xué)生，以表彰獲獎(jiǎng)?wù)咴诎⑼⒃?jīng)做出巨大貢獻(xiàn)的幾個(gè)領(lǐng)域(代數(shù)、幾何、拓?fù)洹?shù)論)中的杰出工作，現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)目前為1000美元。，被公認(rèn)為抽象代數(shù)學(xué)的奠基者之一。阿廷的學(xué)術(shù)貢獻(xiàn)分兩個(gè)階段：1921年至1931年集中在類(lèi)域論、實(shí)域理論和抽象代數(shù)等方面，期間他和埃米·諾特(Emmy Noether， 1882～1935)(3)如無(wú)特殊說(shuō)明，以下文中“諾特”所指的均為埃米·諾特(Emmy Noether)。

伽羅瓦理論建立了域擴(kuò)張的中間域與伽羅瓦群的子群之間一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，解決了多項(xiàng)式方程的根式可解性問(wèn)題以及其他一系列古典難題。更重要的是，這一理論中出現(xiàn)的群和域，標(biāo)志著以代數(shù)結(jié)構(gòu)為研究對(duì)象的抽象代數(shù)學(xué)的興起。等人極大地推動(dòng)了代數(shù)學(xué)的抽象化發(fā)展；1940年至1955年其主要工作在伽羅瓦理論、環(huán)論、拓?fù)鋵W(xué)的辮子理論及代數(shù)數(shù)論中的類(lèi)數(shù)問(wèn)題等方面。[1]阿廷一生留下許多經(jīng)典：《類(lèi)域論》(ClassFieldTheory)、《辮論》(TheoryofBraids)、《極小條件環(huán)》(RingswithMinimalCondition)、《伽馬函數(shù)》(GammaFunction)、《代數(shù)數(shù)理論》(TheoryofAlgebraicNumbers)等。用抽象代數(shù)的觀點(diǎn)來(lái)處理伽羅瓦理論最終由阿廷在1942年完成，他的《伽羅瓦理論》(GaloisTheory)(4)區(qū)別于同名書(shū)籍，本文如無(wú)特殊說(shuō)明，《伽羅瓦理論》一書(shū)均指阿廷的著作《伽羅瓦理論》。是數(shù)學(xué)史上的一個(gè)美妙珍品。[2]

鑒于伽羅瓦理論在數(shù)學(xué)上的重要地位，它在20世紀(jì)的發(fā)展向來(lái)是近現(xiàn)代數(shù)學(xué)史的研究焦點(diǎn)之一，這方面已有一些較權(quán)威的研究成果。在《精密科學(xué)史檔案》(ArchiveforHistoryofExactSciences)上，范德瓦爾登(B. L. Van der Waerden， 1903～1996)于1972年作為歷史的見(jiàn)證者發(fā)表了一篇回憶《伽羅瓦理論：從韋伯到阿廷》(Die Galois-Theorie von Heinrich Weber bis Emil Artin)[3]，糾正了1971年基爾南(B.M.Kiernan)的文章《伽羅瓦理論的發(fā)展：從拉格朗日到阿廷》(The Development of Galois Theory from Lagrange to Artin)[4]中的若干觀點(diǎn)。涉及阿廷的部分，范德瓦爾登更多是從自己的角度在歷史和數(shù)學(xué)兩方面澄清了事實(shí)，忽略了阿廷的自我解讀。另外，包含伽羅瓦理論的一些數(shù)學(xué)史論文及專(zhuān)著中也有阿廷工作的簡(jiǎn)要概括[5-9]。

在分析原始文獻(xiàn)和調(diào)研研究文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，本文認(rèn)為上述涉及阿廷的研究仍然有待擴(kuò)充。首先，阿廷《伽羅瓦理論》的來(lái)龍去脈、版本更迭和結(jié)構(gòu)以及數(shù)學(xué)思想，缺乏詳盡的介紹與分析。其次，繞過(guò)本原元素定理，抽象化處理伽羅瓦理論，何以會(huì)由阿廷來(lái)完成？再次，在伽羅瓦理論逐漸抽象化的演變歷史中，阿廷處于什么地位？另外，鑒于伽羅瓦理論是數(shù)學(xué)系高年級(jí)本科生和低年級(jí)研究生課程設(shè)置中的必學(xué)內(nèi)容，阿廷的《伽羅瓦理論》對(duì)后世的伽羅瓦理論專(zhuān)著及代數(shù)學(xué)教材又有哪些影響？這些問(wèn)題無(wú)論是在數(shù)學(xué)史還是在數(shù)學(xué)研究上，都值得我們進(jìn)一步探討。

1 《伽羅瓦理論》的歷史背景、版本及結(jié)構(gòu)

希特勒的上臺(tái)使得德國(guó)數(shù)學(xué)遭遇了前所未有的浩劫。由于妻子的猶太血統(tǒng)，阿廷被迫于1937年12月全家移居美國(guó)，庫(kù)朗(R.Courant， 1888～1972)為阿廷的到來(lái)提供了幫助。萊夫謝茨(S.Lefschetz， 1884～1972)之前曾親自致信圣母大學(xué)的校長(zhǎng)奧哈拉(J.F.O’Hara)，在提及圣母大學(xué)接納了來(lái)自維也納的數(shù)學(xué)家門(mén)格爾(K.Menger， 1902～1985)一事時(shí)，推薦了另外一位杰出的奧地利數(shù)學(xué)家：阿廷。[10]后來(lái)阿廷離開(kāi)漢堡大學(xué)，來(lái)到圣母大學(xué)短暫停留了不到一學(xué)年，期間講授過(guò)一系列關(guān)于伽羅瓦理論的課程。阿廷曾在《伽羅瓦理論》后續(xù)的德文版本中交代了寫(xiě)作初衷：

此書(shū)英文版是我過(guò)去在圣母大學(xué)一個(gè)夏季學(xué)期里講義的整理稿。當(dāng)時(shí)是為了使代數(shù)學(xué)初步知識(shí)較少的大學(xué)生能夠在短時(shí)間內(nèi)了解伽羅瓦理論的方法和問(wèn)題。[11]

這本《伽羅瓦理論》的英文版是圣母數(shù)學(xué)講座(Notre Dame Mathematical Lectures)系列(5)門(mén)格爾把在維也納時(shí)的數(shù)學(xué)研討會(huì)(Mathematical Colloquium)模式搬到了圣母大學(xué)，成立了圣母研討會(huì)(Notre Dame Colloquium)并出版了數(shù)學(xué)研討會(huì)報(bào)告以及圣母數(shù)學(xué)講座系列叢書(shū)。中的第二本，也是知名度最高的一本，于1942年問(wèn)世，幾代美國(guó)數(shù)學(xué)家都曾使用此書(shū)作為教科書(shū)。當(dāng)時(shí)阿廷已經(jīng)轉(zhuǎn)入印第安納大學(xué)任教，此書(shū)的出版也是為了祝賀圣母大學(xué)百年慶典。[12]

《伽羅瓦理論》的編寫(xiě)似乎是教學(xué)需要，但此書(shū)不是阿廷于圣母大學(xué)期間的即興之作，而是阿廷早年在漢堡大學(xué)時(shí)期就有所預(yù)示。

1.1 背景與版本

1918年11月24日，庫(kù)朗與斯普林格(F.Springer)簽署了一系列相關(guān)書(shū)籍的合同，這就是后來(lái)在數(shù)學(xué)界聞名遐邇的斯普林格出版社“黃皮系列”(Yellow Series)(6)這個(gè)系列的名稱(chēng)為數(shù)學(xué)科學(xué)的基本理論(Grundlehren der mathematischen Wissenschaften)，截止到2019年7月已經(jīng)排到了第355冊(cè)，作者均為數(shù)學(xué)各分支中頗有威望的學(xué)者。范德瓦爾登的《近世代數(shù)學(xué)》占據(jù)了第33和34兩冊(cè)。。阿廷曾經(jīng)答應(yīng)庫(kù)朗，為“黃皮系列”寫(xiě)一部關(guān)于代數(shù)學(xué)的書(shū)籍。1926年夏天，阿廷在漢堡大學(xué)做了一系列代數(shù)學(xué)的講演。作為當(dāng)事人之一，范德瓦爾登對(duì)于阿廷的講課內(nèi)容與思路十分推崇，曾用“絕妙”(marvellous)這樣的詞匯來(lái)形容阿廷的課程，其著作《近世代數(shù)學(xué)》(ModerneAlgebra)里的伽羅瓦理論部分就是阿廷講課時(shí)的內(nèi)容。[13]

阿廷講授課程，范德瓦爾登記錄筆記，“黃皮系列”的編者庫(kù)朗同意由二人合作完成這部書(shū)，每一章的初稿在講課過(guò)程中也經(jīng)過(guò)了阿廷的審閱。此書(shū)作者最終署名范德瓦爾登，并標(biāo)注了是使用阿廷和諾特的講演，在1930～1931年以“近世代數(shù)學(xué)”為題發(fā)行了第一版。范德瓦爾登在引言中對(duì)于此書(shū)的取材來(lái)源有具體交代：

這本書(shū)部分地是由若干講演演變而來(lái)，包括1.阿廷的代數(shù)學(xué)講演(漢堡，1926夏季)。2.阿廷、布拉施克、施萊爾和我主持的理想論討論班(漢堡，1926/27冬季)。3.諾特關(guān)于群論和超復(fù)數(shù)理論的兩次演講(哥廷根，1924/25冬季，1926/27冬季)。[14]

關(guān)于阿廷、諾特、范德瓦爾登以及《近世代數(shù)學(xué)》之間的關(guān)系及其背景，有個(gè)別數(shù)學(xué)史研究者給出了新的解釋[15]，筆者在此不再討論。

目前來(lái)看，接觸阿廷原始思想最直接的途徑可能就是范德瓦爾登記錄的筆記，它出現(xiàn)在《近世代數(shù)學(xué)》之中?！督来鷶?shù)學(xué)》取得了真正的成功，在20世紀(jì)30年代充當(dāng)了代數(shù)學(xué)專(zhuān)著和教科書(shū)的雙重角色。正如曾經(jīng)留學(xué)哥廷根的麥克萊恩(S.Mac Lane， 1909～2005)說(shuō)的那樣：

正是范德瓦爾登真正理解了抽象代數(shù)的要害，并用非學(xué)究的方式簡(jiǎn)明扼要地闡述了出來(lái)。[16]

《近世代數(shù)學(xué)》出版后多次再版、重印，并被翻譯成多種語(yǔ)言在各國(guó)數(shù)學(xué)界廣為流傳，后來(lái)許多數(shù)學(xué)家學(xué)習(xí)代數(shù)學(xué)都是由此而來(lái)。所以在學(xué)術(shù)傳播意義上，《近世代數(shù)學(xué)》無(wú)形中充當(dāng)了展現(xiàn)阿廷早期對(duì)伽羅瓦理論所做之解讀的載體，阿廷數(shù)學(xué)思想的傳播與《近世代數(shù)學(xué)》的流行有著密切聯(lián)系。這種聯(lián)系似乎并沒(méi)有隨著時(shí)間的推移而消失，在阿廷的《伽羅瓦理論》問(wèn)世后，伽羅瓦理論在范德瓦爾登第7版《代數(shù)學(xué)》(Algebra)(7)范德瓦爾登采納勃蘭特(H. Brandt)的建議，將德文第4版的書(shū)名改為“代數(shù)學(xué)”。這是因?yàn)椤督来鷶?shù)學(xué)》使得抽象代數(shù)變成代數(shù)學(xué)的主流，成為正統(tǒng)，不再“摩登”(moderne)，改名也是理所應(yīng)當(dāng)。里也得到了相應(yīng)的改進(jìn)。第7版前言中，范德瓦爾登表示：

伽羅瓦理論吸收了阿廷名著的一些思想，若干讀者向我指出循環(huán)域理論證明中的漏洞，已在8.5節(jié)修補(bǔ)。8.11節(jié)給出了正規(guī)基的存在性的證明。[17]

阿廷的伽羅瓦理論“非正式”地第一次出現(xiàn)在了1930～1931年范德瓦爾登的《近世代數(shù)學(xué)》中，以“伽羅瓦理論”的名義首次正式出版則是在1942年(8)基爾南表示阿廷的伽羅瓦理論是以?xún)煞葜v課記錄為基礎(chǔ)出版的，除了之前提到的圣母大學(xué)講義，還有《伽羅瓦理論的基礎(chǔ)》(Foundations of Galois Theory, New York: New York University Lecture Notes, 1938)。筆者翻閱了目前國(guó)內(nèi)外大量代數(shù)學(xué)教材，發(fā)現(xiàn)參考引用的都是阿廷1942年及之后版本的《伽羅瓦理論》。，是英文版?，F(xiàn)將《伽羅瓦理論》內(nèi)容發(fā)生變動(dòng)的原始版本簡(jiǎn)要羅列如下：

1942年，《伽羅瓦理論》英文第1版出版。

1944年，《伽羅瓦理論》英文第2版出版。

1959年，《伽羅瓦理論》(GaloisscheTheorie)德文版出版。

《伽羅瓦理論》在我國(guó)也出版了兩個(gè)中文譯本，可見(jiàn)影響力之大：

1958年，李英翻譯的英文第2版，由科學(xué)技術(shù)出版社出版。(9)李英譯本的內(nèi)容與1998年Dover版(1944年英文第2版的再發(fā)行)相吻合，但版權(quán)頁(yè)的原出版者標(biāo)注的是“EDWARDS BROTHERS, INC. 1946年版”，譯者贅言里寫(xiě)有“1946年第二版又增添行列式等兩小節(jié)”。李同孚譯本之譯后記說(shuō)：“第一、二版(1941、1946)是用英文寫(xiě)的。1958年李英先生譯出第二版，由上?？茖W(xué)技術(shù)出版社出版?！?[18]，92頁(yè))我們并未找到所謂的1941年第1版(推測(cè)此說(shuō)法疑似有誤)，但確實(shí)找到了EDWARDS BROTHERS, INC. 1946年再次發(fā)行的英文第2版。

圖1 李同孚所用德文版《伽羅瓦理論》原本及其中譯本

1979年，上?？茖W(xué)技術(shù)出版社出版了德文版中譯本(圖1)，由北京大學(xué)的李同孚翻譯。

德文版本的出現(xiàn)是在阿廷1958年返回漢堡大學(xué)擔(dān)任教授以后。當(dāng)時(shí)出版社曾建議阿廷把已在美國(guó)出版的《伽羅瓦理論》重新翻譯出德文版本，并提出在翻譯成德文的同時(shí)寫(xiě)一個(gè)近世代數(shù)學(xué)的導(dǎo)論。考慮再三，阿廷還是保留了這本書(shū)原來(lái)的面貌，依然是面對(duì)缺乏代數(shù)學(xué)知識(shí)的讀者。阿廷在德文版《伽羅瓦理論》序言里交代了德文版的來(lái)源及它與英文版的區(qū)別：

此書(shū)的英文版原是我過(guò)去在圣母大學(xué)一個(gè)夏季學(xué)期里所作講義的整理……當(dāng)出版社建議我出德文譯本時(shí)，提出問(wèn)題，可否同時(shí)寫(xiě)出近世代數(shù)抽象基礎(chǔ)……第II部分里較大的更變僅如下述：簡(jiǎn)化了Galois理論基本定理的證明。述及單位根的那節(jié)里，采用了分圓多項(xiàng)式不可約性的證明，它不用整多項(xiàng)式分解的性質(zhì)，而是憑借Landau的證法。最后，第III部分完全重寫(xiě)。[18]

鑒于此，本文研究阿廷的《伽羅瓦理論》以德文版為主，英文版為輔(10)德文版與英文版在伽羅瓦理論的內(nèi)核證明上沒(méi)有本質(zhì)區(qū)別(如阿廷所言，是簡(jiǎn)化)，但實(shí)際上在美國(guó)等西方國(guó)家的數(shù)學(xué)界，英文版流傳似乎較為廣泛。這可能受兩點(diǎn)因素影響：一是在時(shí)間上，英文版比德文版早17年問(wèn)世，而這17年正是阿廷在當(dāng)時(shí)的世界數(shù)學(xué)中心美國(guó)傳播自己代數(shù)學(xué)思想的17年，特別是1946年他到普林斯頓大學(xué)任教授，在那里有一群人追隨他學(xué)習(xí)和研究代數(shù)學(xué)與代數(shù)數(shù)論(著作等身的朗與沃爾夫獎(jiǎng)得主泰特就是兩個(gè)不同類(lèi)型的代表弟子)，英文版《伽羅瓦理論》流傳更廣是比較自然的；二是阿廷1958年離開(kāi)美國(guó)返回漢堡大學(xué)任教授，4年后便去世了，期間出版社是想把英文版翻譯成德文，這也說(shuō)明當(dāng)時(shí)英文版很受歡迎。當(dāng)然，能閱讀德文的人較少，可能是德文版沒(méi)有在世界范圍內(nèi)廣為流傳的另一個(gè)原因。。

1.2 結(jié)構(gòu)特點(diǎn)

在內(nèi)容上，《伽羅瓦理論》三個(gè)版本雖然略有不同，但是差異不大。在結(jié)構(gòu)上，大體都是由“I線(xiàn)性代數(shù)”、“II體論”、“III應(yīng)用”三部分構(gòu)成，但后一版本比前一版本在內(nèi)容和語(yǔ)言上都有所完善(11)李同孚在“譯后記”中表示：“作者于1958年重返漢堡后，出版了此書(shū)的第三版，用德文寫(xiě)出，作了重要的改進(jìn)。我把此書(shū)的英文第二版和本版仔細(xì)比較過(guò)，從第II部分C段起到最后，無(wú)論行文敘述、論證層次，都經(jīng)作者精心整理重寫(xiě)；就是第I部分E段也有所更改。這第三版是更為精辟、簡(jiǎn)潔了。因?yàn)檫@些改進(jìn)，以及此書(shū)已為作者名著之一，我們認(rèn)為有翻譯這第三版的價(jià)值?！?[18]，92頁(yè))。特別指出一個(gè)前提，德文版對(duì)“體”在線(xiàn)性代數(shù)開(kāi)篇就做出說(shuō)明：體中的乘法可交換則為交換體，乘法非交換則為斜體。這里說(shuō)的交換體才是我們目前教材里常用的“域”，阿廷在體論中擴(kuò)體的開(kāi)篇指出所考慮的體都假設(shè)為交換體，即域。

“I線(xiàn)性代數(shù)”的兩步鋪墊作用十分明顯。第一步為了在“II體論”中較為深入地研究域，特別是研究伽羅瓦理論的關(guān)鍵——擴(kuò)域，阿廷在“A.體”和“B.向量空間”兩節(jié)中首先將線(xiàn)性代數(shù)中數(shù)域上向量空間的概念推廣到任意域上。第二步則是為了“線(xiàn)性化”伽羅瓦理論做準(zhǔn)備?！癈.齊次線(xiàn)性方程”、“D.向量的相關(guān)性與無(wú)關(guān)性”這2節(jié)線(xiàn)性代數(shù)內(nèi)容，看似與本書(shū)的主題沒(méi)有直接關(guān)聯(lián)，實(shí)則是為之后伽羅瓦理論中幾個(gè)重要的證明埋下伏筆?！癐I體論”中，“A.擴(kuò)體”的命題6(即擴(kuò)張次數(shù)定理)、“F.群特征標(biāo)”中命題12(即特征標(biāo)的線(xiàn)性無(wú)關(guān)性)(12)《伽羅瓦理論》中的命題12現(xiàn)在也稱(chēng)為“戴德金無(wú)關(guān)性引理”：設(shè)G為乘法群，σ1、σ2……σn為兩兩不同的從G到體K的特征標(biāo)，那么σ1、σ2……σn是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的。以及關(guān)鍵的命題13、“H.正規(guī)的體擴(kuò)張”中命題14(13)《伽羅瓦理論》中的命題14現(xiàn)在也稱(chēng)為“阿廷引理”：如果σ1、σ2……σn作成體E的自同構(gòu)群，并且K是所屬的不動(dòng)點(diǎn)體，那么(E/K)=n。在歷史上，這個(gè)定理最初是由戴德金(R.Dedekind,1831～1916)于1871年就代數(shù)數(shù)域給出的，后經(jīng)阿廷對(duì)一般域給以證明。所以《數(shù)學(xué)辭海》稱(chēng)之為“戴德金-阿廷定理”，這也是準(zhǔn)確的。的證明，本質(zhì)上都只用到了“I線(xiàn)性代數(shù)”的C、D這2節(jié)內(nèi)容，不禁讓人拍案叫絕，這也是阿廷重新證明伽羅瓦理論的一大特色。

德文版另一結(jié)構(gòu)特色是采用“證明在前、結(jié)論在后”的論證方式。這是因?yàn)榘⑼⒃O(shè)計(jì)本書(shū)之時(shí)，在前面的概念與命題鋪墊之中就完成了證明所需要的一切?；径ɡ沓霈F(xiàn)在“H.正規(guī)的體擴(kuò)張”之中，阿廷給出基本定理之后并沒(méi)有再給證明，這與現(xiàn)代一般教材的寫(xiě)法是相反的。用阿廷的原話(huà)來(lái)講就是“總結(jié)起來(lái)就證明了命題17(基本命題)”([18]， 41頁(yè))，從而非常自然地完成了本書(shū)的核心內(nèi)容。

數(shù)學(xué)的抽象與簡(jiǎn)潔在阿廷眼里是一種藝術(shù)，這在僅僅86頁(yè)的《伽羅瓦理論》中得到了很好的體現(xiàn)，但從教材的角度看則有兩點(diǎn)遺憾。其一是缺少實(shí)例計(jì)算應(yīng)用。雖然此書(shū)三個(gè)版本都有“III應(yīng)用”這一章，但多為理論方法和理論應(yīng)用(14)以德文版為例，“III應(yīng)用”這一章包含了“A.要用到的群論中的某些命題”(概念補(bǔ)充)、“B.方程用根式的可解性”(理論方法)、“C.方程的Galois群”(理論方法)、“D.尺規(guī)作圖”(理論應(yīng)用：三大古典難題)。。為此，英文第2版的中譯者李英在翻譯時(shí)，增補(bǔ)了3個(gè)小節(jié)組成“IV方程對(duì)特定體的群”(15)李英在“譯者贅言”中介紹原書(shū)時(shí)，認(rèn)為該書(shū)在具體應(yīng)用方面缺少關(guān)于尋找方程對(duì)于特定體的群的實(shí)際方法，所以譯者在最后增補(bǔ)一章，主要選自迪克森(L.E.Dickson)所著的《近世代數(shù)理論》(Modern Algebraic Theories)第九章的內(nèi)容。這一章。其二是缺少相應(yīng)的習(xí)題練習(xí)。丁石孫在清華大學(xué)時(shí)期學(xué)過(guò)伽羅瓦理論，他對(duì)阿廷的這本“小冊(cè)子”(16)這里指的應(yīng)是英文版《伽羅瓦理論》。因?yàn)榈挛陌嬖?959年出版，而1952年丁石孫就隨院系調(diào)整調(diào)入北京大學(xué)了。的特點(diǎn)做了生動(dòng)的回憶：

聽(tīng)了段學(xué)復(fù)的伽羅瓦理論，以阿廷的那本關(guān)于伽羅瓦理論的小冊(cè)子做教材。我印象中他每次上課都要帶一大摞參考書(shū)，講課時(shí)會(huì)翻看這些書(shū)……我沒(méi)有讀懂阿廷的小冊(cè)子。它光講簡(jiǎn)單邏輯，沒(méi)有習(xí)題。段先生會(huì)給我們留一些，但留得也很少。當(dāng)時(shí)段先生也沒(méi)有將伽羅瓦理論的實(shí)質(zhì)講清楚。學(xué)完這門(mén)課，我對(duì)伽羅瓦群的具體例子一個(gè)都不知道。[19]

不過(guò)這種遺憾在紐約大學(xué)出版的記錄1947年夏天阿廷講課內(nèi)容的《近世高等代數(shù)之伽羅瓦理論》(ModernHigherAlgebra.GaloisTheory)一書(shū)中已經(jīng)不復(fù)存在了。需要指出的是，這本書(shū)是布朗克(A.A.Blank，1951年在紐約大學(xué)獲得博士學(xué)位)當(dāng)時(shí)所做的課程記錄。(17)類(lèi)似于改名后范德瓦爾登的《代數(shù)學(xué)》，順應(yīng)代數(shù)學(xué)的進(jìn)展，2007年庫(kù)朗研究所和美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)重新出版此書(shū)時(shí)，去掉modern higher，更名為Algebra with Galois Theory。此書(shū)一方面在伽羅瓦理論基本定理的證明方法上與英文版《伽羅瓦理論》相似，另一方面在若干重要概念與定理之后補(bǔ)充了不少實(shí)際的例子與練習(xí)。將阿廷版伽羅瓦理論所需的群、環(huán)、域、多項(xiàng)式等近世代數(shù)與線(xiàn)性代數(shù)預(yù)備知識(shí)散置于前四章，引出核心第五章伽羅瓦理論，本書(shū)是目前流行的講授伽羅瓦理論的最佳代數(shù)學(xué)教材之一(18)這種說(shuō)法來(lái)自于Bernard Dwork(1923-1998)(N.M.Katz & J.Tate, Notices of the American Mathematical Society, March 1999, Volume 46, Number 3)，主人公是阿廷在哥倫比亞大學(xué)指導(dǎo)的博士生伯納德·德沃克。重要的是該文介紹了阿廷當(dāng)年在紐約大學(xué)授課的經(jīng)歷：“1947年夏天，伯納德在兄弟的鼓勵(lì)下參加了阿廷晚上在紐約大學(xué)開(kāi)設(shè)的數(shù)學(xué)課程——高等近世代數(shù)第一部分：伽羅瓦理論。由布朗克所作的課程筆記，依舊是流行的最佳伽羅瓦理論‘教材’之一。在第二年夏天，伯納德回來(lái)參加了高等近世代數(shù)第二部分：代數(shù)數(shù)論的課程，同樣是阿廷授課?！痹谠摱蔚哪_注中，作者解釋道：阿廷在那些年已經(jīng)是普林斯頓大學(xué)的數(shù)學(xué)教授，但他經(jīng)常在紐約大學(xué)開(kāi)設(shè)代數(shù)和數(shù)論方面的夜課。在該文的末尾，作者總結(jié)了伯納德一生取得數(shù)學(xué)成就所受的三方面影響，第一條就是阿廷1947年在紐約大學(xué)開(kāi)設(shè)的夜課引導(dǎo)他后來(lái)走上了數(shù)學(xué)之路。。

作為教材，《伽羅瓦理論》的簡(jiǎn)潔美與實(shí)用性似乎沖突。但瑕不掩瑜，阿廷在《伽羅瓦理論》中使用的概念、技巧以及證明思路都為伽羅瓦理論注入了新鮮血液，成為后來(lái)許多代數(shù)學(xué)教材在描述以及證明伽羅瓦理論時(shí)的范例。

2 阿廷“新定義”和證明“新思路”的淵源

在情感上，阿廷曾表達(dá)過(guò)自己對(duì)伽羅瓦理論的鐘情：

在我一開(kāi)始做研究的時(shí)候，古典伽羅瓦理論的魅力深深迷住了我。這種魅力讓我多次回到它的身邊，嘗試找到這些基本定理證明的新方法。[20]

在理性上，阿廷認(rèn)為當(dāng)時(shí)對(duì)于伽羅瓦理論的解讀大多不夠理想，沒(méi)有完全詮釋出古典伽羅瓦理論的真諦。即便是在包含自己1926年講課內(nèi)容的《近世代數(shù)學(xué)》中，伽羅瓦群的引入和基本定理的證明，使用了有限可分?jǐn)U張的本原元素定理(the primitive element theorem)，并且處于重要位置，但本原元素對(duì)于伽羅瓦理論的證明不是本質(zhì)需要，所以阿廷對(duì)這個(gè)處理也是不太滿(mǎn)意的。為了繞過(guò)本原元素定理，阿廷在1942年出版的《伽羅瓦理論》中做出了幾點(diǎn)變化：線(xiàn)性代數(shù)鋪墊、引入群特征標(biāo)、重新定義正規(guī)擴(kuò)張(19)阿廷使用的術(shù)語(yǔ)“正規(guī)擴(kuò)張”，實(shí)際就是現(xiàn)在我們所說(shuō)的“有限伽羅瓦擴(kuò)張”。。那么他的這一思路是如何形成的？

2.1 問(wèn)題所在：本原元素定理的取舍

伽羅瓦時(shí)期的本原元素定理(20)可參考[21]中有關(guān)“伽羅瓦預(yù)解式”(Galois resolvent)的一系列解釋。，可用現(xiàn)代術(shù)語(yǔ)的形式來(lái)表示：

有限個(gè)元素r，s，t…是系數(shù)在K上的多項(xiàng)式的根，則K(r，s，t…)=K(w)，并且r，s，t…中的每一個(gè)元素，均可由w的有理函數(shù)的形式表出。[21]

本原元素定理的使用在伽羅瓦理論的早期發(fā)展中已經(jīng)形成了傳統(tǒng)，伽羅瓦、希爾伯特(D. Hilbert， 1862～1943)在引入伽羅瓦群時(shí)都曾使用過(guò)本原元素定理。當(dāng)然似乎也曾有例外，德國(guó)數(shù)學(xué)家諾依曼(O.Neumann)認(rèn)為，豪普特(O.Haupt， 1887～1988)的《代數(shù)學(xué)導(dǎo)論》(EinführungindieAlgebra， 1929)中出現(xiàn)的關(guān)于伽羅瓦理論基本定理的證明，可以追溯到施密特(F. K. Schmidt， 1901～1977)，可能是第一個(gè)沒(méi)有使用本原元素存在性的證明([5]， 309～310頁(yè))。豪普特的《代數(shù)學(xué)導(dǎo)論》雖然也深受諾特的影響，但顯而易見(jiàn)的是，同時(shí)期范德瓦爾登的《近世代數(shù)學(xué)》影響遠(yuǎn)大于《代數(shù)學(xué)導(dǎo)論》。

阿廷和諾特對(duì)于伽羅瓦理論被限制在數(shù)域上是不滿(mǎn)足的，并且看出本原元素定理似乎是伽羅瓦理論一般化發(fā)展途中的障礙。諾特曾對(duì)此做出生動(dòng)的類(lèi)比：

為了證明兩個(gè)數(shù)a和b的相等，我們先后去說(shuō)明a≤b以及a≥b，這種方法是不公平的；相反，我們更應(yīng)該通過(guò)揭示它們相等的內(nèi)在基礎(chǔ)，來(lái)證明它們確實(shí)是相等的。[22]

諾特的類(lèi)比似乎表示她有時(shí)把抽象化走得過(guò)頭了，但其核心意思是：通過(guò)本原元素定理來(lái)證明伽羅瓦理論，不是本質(zhì)的途徑。阿廷的博士生查森豪斯(H. Zassenhaus， 1912～1991)的話(huà)則證實(shí)了阿廷對(duì)于本原元素定理的態(tài)度：

他反對(duì)把有限可分?jǐn)U張中本原元素存在之定理置于核心地位。這個(gè)結(jié)論與理論的目標(biāo)——研究方程的群沒(méi)有直接關(guān)聯(lián)，但那時(shí)在主要定理的證明上需要它充當(dāng)前提條件。1936—1937年間，阿廷前往美國(guó)前，在多次探究性的交談中，他與我討論了跨過(guò)這個(gè)障礙的多種可能性，并拒絕了我所考慮的各種妥協(xié)。([9]， 2頁(yè))

而阿廷正是從線(xiàn)性代數(shù)出發(fā)，將戴德金的思想擴(kuò)大化，借助“同構(gòu)延拓”，通過(guò)表示論方法的巧妙應(yīng)用，并重新定義了正規(guī)擴(kuò)張，繞過(guò)了本原元素定理。他的初衷與最終的結(jié)果和諾特的想法是一致的([3]， 246～247頁(yè))。

有關(guān)本原元素存在性的一些經(jīng)典結(jié)論，雖然曾經(jīng)一度被認(rèn)為是重要的成果，但現(xiàn)今它們已經(jīng)不能再被說(shuō)成在域論和伽羅瓦理論中扮演關(guān)鍵角色了。這表現(xiàn)為阿廷在“H.正規(guī)的體擴(kuò)張”中證明了伽羅瓦理論基本定理后，才在隨后的“I.代數(shù)擴(kuò)張和可分?jǐn)U張”中，采用施泰尼茨(E.Steinitz， 1871～1928)的說(shuō)法，更新了本原元素定理：

命題24：通過(guò)一個(gè)單獨(dú)的代數(shù)元α的添加可以得到的體擴(kuò)張，這種擴(kuò)張稱(chēng)為單純的，α這元稱(chēng)為本原元素。具有有限次數(shù)的K的擴(kuò)張E，它為單純的充要條件是只有有限個(gè)中間體存在；推論：如果E是K的具有有限次數(shù)的可分?jǐn)U張，那么E是單純擴(kuò)張。([18]， 47～48頁(yè))

本原元素定理和伽羅瓦理論基本定理的證明，出現(xiàn)的先后順序的這種變化，恰巧說(shuō)明了阿廷繞過(guò)了本原元素定理。在引出伽羅瓦群和證明基本定理的過(guò)程中，原來(lái)的“如何構(gòu)造”本原元素不再不可或缺。

是否使用本原元素定理，某種意義上取決于作者對(duì)于純粹、易用以及學(xué)習(xí)者認(rèn)知心理發(fā)展的選擇傾向。目前絕大多數(shù)教材采用的是阿廷的證明。不過(guò)，似乎也逐漸有一種新的認(rèn)識(shí)，即對(duì)于初學(xué)者來(lái)說(shuō)不必追求一般化，利用本原元素定理也是證明伽羅瓦理論基本定理的一種途徑。[23]有趣的是，阿廷的兒子邁克爾·阿廷(M.Artin， 1934～)是著名的代數(shù)幾何學(xué)家、沃爾夫獎(jiǎng)得主，其《代數(shù)學(xué)》(Algebra)是通過(guò)使用本原元素來(lái)闡釋伽羅瓦理論的；而阿廷的博士生朗(S.Lang， 1927～2005)在自己著名的《代數(shù)學(xué)》(Algebra)中，則是采用阿廷的方法來(lái)論證伽羅瓦理論。[24]

阿廷1962年在紀(jì)念希爾伯特100周年誕辰的演講中曾說(shuō)：

戴德金的研究易懂，并且適合我們今天使用，但在當(dāng)時(shí)還是太摩登了。[25](21)戴德金在為1871年版《數(shù)論講義》所寫(xiě)的附錄中首次講述了理想論，正如他用“戴德金分割”來(lái)定義實(shí)數(shù)一樣，他的理論不被當(dāng)時(shí)人所理解。

戴德金是伽羅瓦理論現(xiàn)代化過(guò)程中的先驅(qū)，受制于域擴(kuò)張的抽象發(fā)展進(jìn)度以及他對(duì)域的定義，在他為《數(shù)論講義》(VorlesungenüberZahlentheorie)所添加的165小節(jié)(Permutationen endlicher K?rper)里，類(lèi)似本原元素定理的結(jié)論亦曾在他論述伽羅瓦理論的相關(guān)內(nèi)容時(shí)起到了主導(dǎo)作用([23]， 160頁(yè))。雖然如此，戴德金的部分思想還是深刻影響了阿廷。

2.2 戴德金代數(shù)學(xué)思想：阿廷的繼承和發(fā)展

在德國(guó)，戴德金是較早的伽羅瓦理論研究者，他將伽羅瓦理論融入到他的代數(shù)數(shù)論中。在哥廷根大學(xué)1857～1858年的代數(shù)學(xué)課程中，戴德金講授過(guò)伽羅瓦理論。他的研究成果并沒(méi)有單獨(dú)成書(shū)，而是出現(xiàn)在了對(duì)狄利克雷(P.G.L.Dirichlet， 1805～1859)《數(shù)論講義》的整理之中(22)1859年狄利克雷去逝，他的《數(shù)論講義》由戴德金編輯出版，從1863年到1894年出版4次。書(shū)中包含了狄利克雷的講課筆記。這份講義一方面是對(duì)高斯(C.F.Gauss, 1777～1855)《算術(shù)研究》(Disquisitiones Arithmeticae)的注釋?zhuān)硪环矫嫒谌肓说依死自跀?shù)論方面的工作，歷經(jīng)多次再版成為數(shù)論經(jīng)典。。在1894年的第4版中，戴德金為此書(shū)添加了附錄XI(Ueber die Theorie der ganzen algebraischen Zahlen， 159-187小節(jié))[26]，其中包含了對(duì)域論和伽羅瓦理論的處理。

開(kāi)始解釋伽羅瓦理論時(shí)(160小節(jié)：Zahlenk?rper)，戴德金定義的域比現(xiàn)代公理化定義的域限制要嚴(yán)格，準(zhǔn)確來(lái)說(shuō)是復(fù)數(shù)域C的子域，這是他后續(xù)研究的基礎(chǔ)?！按鞯陆馃o(wú)關(guān)性引理”的雛形(是以一個(gè)行列式不等于0的形式呈現(xiàn)的)出現(xiàn)在第161小節(jié)(Permutationen eines K?rpers)，戴德金證明了代數(shù)數(shù)域的情形，阿廷在《伽羅瓦理論》“F.群特征標(biāo)”中給出一般形式的表述和簡(jiǎn)單的證明，并且沒(méi)有使用復(fù)雜的行列式來(lái)判定。戴德金在第164小節(jié)(Irreducibele Systeme. Endliche K?rper)中闡明了“線(xiàn)性相關(guān)”、“線(xiàn)性無(wú)關(guān)”、“數(shù)域上的向量空間”、“擴(kuò)域看成基域上的線(xiàn)性空間”、“擴(kuò)張次數(shù)定理”等，這些與我們現(xiàn)在使用的線(xiàn)性代數(shù)和域論中的概念十分相似，它們后來(lái)在《伽羅瓦理論》中以更一般的域的形式出現(xiàn)了。

可以說(shuō)，阿廷將線(xiàn)性代數(shù)作為處理伽羅瓦理論的基本工具，這個(gè)思路在戴德金的工作中已經(jīng)有所體現(xiàn)。另外，方程f(x)=0在域F上的伽羅瓦群(通常簡(jiǎn)記為Gf)的現(xiàn)代形式，定義為Gal(E/F)，它的計(jì)算操作性更強(qiáng)，這主要?dú)w功于戴德金(第163小節(jié)：Multipla und Divisoren von Permutationen)。阿廷采用的也是這種方式，這與伽羅瓦最初的定義在形式上有很大的不同(23)伽羅瓦對(duì)Gf的原始定義，是指f(x)的根集{r1,…,rn}上的保持根之間所有代數(shù)關(guān)系的置換構(gòu)成的群。Gf一般不是對(duì)稱(chēng)群Sn本身，而只是Sn的某個(gè)子群。。更重要的是，戴德金就代數(shù)數(shù)域的情形在第166小節(jié)(Gruppen von Permutationen)給出的定理，現(xiàn)被稱(chēng)作“戴德金-阿廷定理”[27]，是戴德金與阿廷之間數(shù)學(xué)思想傳承的最好體現(xiàn)(24)哈塞(H. Hasse, 1898～1979)認(rèn)為數(shù)論發(fā)展中有兩種不同的傳統(tǒng)。前者是高斯和庫(kù)默爾(E.Kummer, 1810～1893)的傳統(tǒng)，以構(gòu)造性和表達(dá)明顯為目標(biāo)，由克羅內(nèi)克(L. Kronecker, 1823～1891)和亨塞爾(K. Hensel, 1861～1941)繼承；后者是戴德金和希爾伯特的傳統(tǒng)，注重概念化和抽象化的理解。施泰尼茨以及阿廷等人繼承了后者的傳統(tǒng)。哈塞贊成這兩種不同風(fēng)格的傳統(tǒng)要“有機(jī)地平衡”。。從戴德金到阿廷，象征著從特殊到一般，即從具體到抽象，這種數(shù)學(xué)思想的轉(zhuǎn)變恰恰反映了幾百年來(lái)數(shù)學(xué)的發(fā)展規(guī)律。

戴德金在代數(shù)數(shù)論上的研究是數(shù)論和代數(shù)發(fā)展的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，在建立代數(shù)化數(shù)論的同時(shí)，也搭建了域、環(huán)、模和向量空間等抽象代數(shù)的結(jié)構(gòu)。諾特與他人合作一起編輯了戴德金的研究成果合集，她常說(shuō)自己的抽象代數(shù)思想“在戴德金那里已經(jīng)全有了”。她對(duì)戴德金為《數(shù)論講義》添加的附錄XI情有獨(dú)鐘，并建議自己的學(xué)生去讀附錄XI。([22]， 68頁(yè))希爾伯特推崇戴德金的工作，致力于數(shù)論的代數(shù)化。希爾伯特在《數(shù)論報(bào)告》(Zahlbericht)的前兩章全面整理了戴德金和狄利克雷等人給出的代數(shù)數(shù)論框架，深入研究了數(shù)域擴(kuò)張并把伽羅瓦理論與之緊密結(jié)合，還討論了數(shù)域伽羅瓦擴(kuò)張理論。幸運(yùn)的是，下一代的阿廷正是從希爾伯特的《數(shù)論報(bào)告》開(kāi)始學(xué)習(xí)數(shù)論的。[28]阿廷與希爾伯特的淵源不止于此，之后阿廷和施萊爾(O. Schreier， 1901～1929)建立了“實(shí)域理論”，解決了希爾伯特第17問(wèn)題(25)希爾伯特的23個(gè)問(wèn)題中，阿廷一生解決了2個(gè)半問(wèn)題(第9、17問(wèn)題以及第12問(wèn)題的部分)，這在數(shù)學(xué)史上是罕見(jiàn)的。。這是阿廷在抽象代數(shù)方面最大的成就，得益于施泰尼茨對(duì)域的結(jié)構(gòu)研究。

2.3 施泰尼茨的影響：概念的抽象演變

施泰尼茨1910年發(fā)表的長(zhǎng)文《域的代數(shù)理論》(AlgebraischeTheoriederK?rper)，是代數(shù)學(xué)在20世紀(jì)的一座里程碑。1893年，韋伯(H.Weber， 1842～1913)曾在《伽羅瓦方程理論的一般基礎(chǔ)》(DieallgemeinenGrundlagenderGalois’schenGleichungstheorie)中對(duì)抽象域給出定義，但施泰尼茨則是系統(tǒng)研究了抽象域的結(jié)構(gòu)?！队虻拇鷶?shù)理論》不僅標(biāo)志著抽象化域論的基本完成，而且是代數(shù)學(xué)在20世紀(jì)從古典徹底轉(zhuǎn)向現(xiàn)代的代表作。阿廷與施萊爾的論文《實(shí)域的代數(shù)構(gòu)造》(AlgebraischeKonstruktionreellerK?rper)中提到：

施泰尼茨通過(guò)他的《域的代數(shù)理論》，揭開(kāi)了代數(shù)學(xué)抽象研究的序幕；從那時(shí)起，由于他的開(kāi)創(chuàng)性工作，現(xiàn)代代數(shù)學(xué)的研究開(kāi)始呈現(xiàn)出勃勃生機(jī)。[29]

雖然早在伽羅瓦的工作中就已經(jīng)引入了有限域，但是經(jīng)過(guò)將近一個(gè)世紀(jì)，由戴德金、韋伯、施泰尼茨、阿廷等人的發(fā)展，才使得域論成為伽羅瓦理論的基本語(yǔ)言。而伽羅瓦理論也因此被視為域論的自然延伸，實(shí)質(zhì)就是域的擴(kuò)張理論，它的基本思想是用域的自同構(gòu)群來(lái)研究域的構(gòu)造。范德瓦爾登在解釋《近世代數(shù)學(xué)》的素材來(lái)源時(shí)，回憶了阿廷1926年在漢堡大學(xué)的代數(shù)學(xué)講演：

阿廷講課的主題內(nèi)容是域論和伽羅瓦理論，在域論方面阿廷主要采用的是施泰尼茨的方式，我只是完成了筆記。([13]， 38頁(yè))

可以說(shuō)，施泰尼茨在域擴(kuò)張上的抽象理論，加速了阿廷抽象化伽羅瓦理論的研究進(jìn)展。

施泰尼茨在給出了域的抽象化定義的基礎(chǔ)上，還討論了所有可能類(lèi)型的域，并研究了它們之間的關(guān)系?，F(xiàn)代域論中，“域的特征”、“素域”、“完全域”、“不完全域”等重要概念都在施泰尼茨的研究中出現(xiàn)了。關(guān)于域的擴(kuò)張方面，《域的代數(shù)理論》描述了“等價(jià)擴(kuò)張”、“代數(shù)擴(kuò)張”、“超越擴(kuò)張”、“域擴(kuò)張的超越次數(shù)”。更重要的是，“有限擴(kuò)張”、“可分?jǐn)U張”、“不可分?jǐn)U張”、“正規(guī)擴(kuò)張”這些在現(xiàn)代伽羅瓦理論的前提條件中反復(fù)出現(xiàn)的概念，都是施泰尼茨較早研究過(guò)的。[30]

可分正規(guī)擴(kuò)張即為伽羅瓦擴(kuò)張。一般的伽羅瓦理論是建立在有限伽羅瓦擴(kuò)張上的，對(duì)它的不同闡述皆因使用伽羅瓦擴(kuò)張的不同定義而起。所幸的是，這些定義在有限擴(kuò)張的情形下均是等價(jià)的。按照概念的抽象程度，伽羅瓦擴(kuò)張從歷史的角度來(lái)講，大體有4種表現(xiàn)方式：

(與伽羅瓦原始途徑最接近)域的擴(kuò)張L/K稱(chēng)為是伽羅瓦擴(kuò)張，當(dāng)L是因?yàn)樘砑酉禂?shù)在K上的不可約的可分多項(xiàng)式的所有根到K中而得到；

(脫離多項(xiàng)式的選擇)有限可分的域擴(kuò)張L/K具有如下性質(zhì)時(shí)，被稱(chēng)為是伽羅瓦擴(kuò)張：系數(shù)在K中的不可約多項(xiàng)式若在L中有一根，那么它的所有根都位于L之中；

(戴德金定義了伽羅瓦群是由域的自同構(gòu)組成之后)有限可分的域擴(kuò)張L/K稱(chēng)為伽羅瓦擴(kuò)張：當(dāng)在L的一個(gè)保持K不動(dòng)的自同構(gòu)的作用下，屬于L但不屬于K的每一個(gè)元素都發(fā)生移動(dòng)；

(阿廷的一錘定音)域的擴(kuò)張L/K稱(chēng)為伽羅瓦擴(kuò)張：如果K是L通過(guò)自同構(gòu)得到的有限群的不動(dòng)點(diǎn)體。[31]

不難看出，其中阿廷在20世紀(jì)40年代給出的定義最為簡(jiǎn)潔，并且還改變了多項(xiàng)式在伽羅瓦理論中的地位：

伽羅瓦理論的闡述深深地受到了阿廷1942年《伽羅瓦理論》的影響，阿廷提出了一種伽羅瓦擴(kuò)張的新定義……這個(gè)新定義加上隨后證明中的改進(jìn)，使得阿廷大大減弱了多項(xiàng)式在伽羅瓦理論基本結(jié)論中所扮演的角色，并且在基本定理的證明中甚至都沒(méi)有提到多項(xiàng)式……我們給出伽羅瓦理論基本定理(一一對(duì)應(yīng)關(guān)系)的一個(gè)解釋?zhuān)罁?jù)的是1948年阿廷《伽羅瓦理論》中的經(jīng)典陳述。[32]

伽羅瓦擴(kuò)張是伽羅瓦理論最重要的前提條件，它的概念被數(shù)次重新定義，而抽象程度恰恰代表了一個(gè)數(shù)學(xué)概念的進(jìn)化程度。施泰尼茨1910年的研究在歷史上位于戴德金和阿廷之間，顯然阿廷的“伽羅瓦擴(kuò)張”概念的最終成型，背后得益于施泰尼茨對(duì)域論抽象結(jié)構(gòu)的研究，特別是域擴(kuò)張的研究。伽羅瓦理論的研究對(duì)象也發(fā)生了明顯變化，施泰尼茨之后，就變成了域的擴(kuò)張理論。

3 《伽羅瓦理論》的定位

阿廷的《伽羅瓦理論》可能是第一本以“伽羅瓦理論”為書(shū)名來(lái)闡述伽羅瓦數(shù)學(xué)思想的著作。阿廷對(duì)伽羅瓦理論的貢獻(xiàn)，概括來(lái)講，就是用抽象域論重新闡釋了伽羅瓦的思想，把古典伽羅瓦理論寫(xiě)進(jìn)了20世紀(jì)初那個(gè)“摩登”代數(shù)(Moderne Algebra)年代(26)此處一語(yǔ)雙關(guān)，一層意思是指抽象代數(shù)學(xué)，另一層意思是范德瓦爾登的《近世代數(shù)學(xué)》。這種說(shuō)法來(lái)自麥克拉蒂(C. Mclarty)教授在紀(jì)念伽羅瓦200周年誕辰的學(xué)術(shù)會(huì)議上所作的報(bào)告“伽羅瓦理論在哥廷根(諾特、阿廷……)”。。換句話(huà)說(shuō)，阿廷是給古典的伽羅瓦理論穿上了新衣服，但并不是僅僅浮于表面。熱愛(ài)藝術(shù)的阿廷對(duì)于伽羅瓦理論的塑造過(guò)程，仿佛是一位音樂(lè)大師的再創(chuàng)作：從域的擴(kuò)張開(kāi)始，用域論的語(yǔ)言，伴隨著原始思想(伽羅瓦的數(shù)學(xué)思想)，一步一步重新譜寫(xiě)了新詞新曲(新的概念)，構(gòu)造了新的旋律(新的證明思路)，使得老作品(古典伽羅瓦理論)再次充滿(mǎn)了活力。伽羅瓦天才般的思想是彌足珍貴的，但阿廷那簡(jiǎn)潔的語(yǔ)言和現(xiàn)代形式也是不可缺少的。

3.1 阿廷的自我解讀(27)詳細(xì)的闡述，可參考阿廷的文章[20]與[33]。

阿廷數(shù)學(xué)思想的深刻在簡(jiǎn)化基本定理的證明中得到了很好的體現(xiàn)。他十分重視戴德金和施泰尼茨的工作，將以往模糊費(fèi)解的伽羅瓦理論證明過(guò)程，提煉成兩條核心定理的證明。阿廷解釋道：

一條核心定理如下：如果σ是將域F映到域F′上的一個(gè)同構(gòu)映射，f(x)是F上的不可約多項(xiàng)式，f′(x)是f(x)在σ下的象。同時(shí)α是f(x)的一個(gè)根，α′是f′(x)的一個(gè)根，它們分別在F以及F′的某個(gè)擴(kuò)張上；那么σ可以延拓為映F(α)到F′(α′)上的同構(gòu)映射，此同構(gòu)還映α到α′上。這條定理加上結(jié)論：域之間不同的同構(gòu)映射是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的，給出了證明伽羅瓦理論基本定理的一條簡(jiǎn)單途徑。[33]

這兩條定理的思想在歷史上正是出自施泰尼茨和戴德金。章璞的《伽羅瓦理論——天才的激情》就注意到了阿廷的這種證明方式，他采用的思路與阿廷的證明思路相似(28)阿廷《伽羅瓦理論》的“II體論”部分，在“C.代數(shù)元”中給出的命題8和“D.分裂體”中給出的命題10，在“F.群特征標(biāo)”中給出的命題13和“H.正規(guī)的體擴(kuò)張”中給出的命題14，分別對(duì)應(yīng)于章璞教授所提到的“同構(gòu)延拓定理”、“阿廷引理”。：

上述證明可見(jiàn)：有了“有限伽羅瓦擴(kuò)張”與“可分多項(xiàng)式的分裂域”的等價(jià)性，伽羅瓦理論基本定理的證明只用到同構(gòu)延拓定理及其推論10.7、阿廷引理和命題2.3。而命題2.3的證明只用到同構(gòu)延拓定理。因此從核心技術(shù)上講，只用同構(gòu)延拓定理和阿廷引理就可以得到伽羅瓦理論基本定理……這是本書(shū)強(qiáng)調(diào)同構(gòu)延拓定理的理由。[34]

阿廷將表示論的方法引入伽羅瓦理論的證明同樣體現(xiàn)了其思想的深刻。他把一個(gè)群到一個(gè)域的映射理解為特征標(biāo)，并將之作為向量空間的元素說(shuō)明了其線(xiàn)性無(wú)關(guān)性。這不僅幫助阿廷繞過(guò)了本原元素定理，還帶來(lái)了后續(xù)的新發(fā)展，例如非交換伽羅瓦理論的產(chǎn)生[35]。阿廷不是為了抽象而抽象，而是真正能夠運(yùn)用抽象概念解決具體問(wèn)題，并且在解決具體問(wèn)題的同時(shí)也影響了抽象理論的發(fā)展。阿廷的闡釋成為經(jīng)典之后，在一定程度上帶動(dòng)了伽羅瓦理論在20世紀(jì)40年代后的發(fā)展以及在其他相關(guān)分支的應(yīng)用：雅克布森-布爾巴基對(duì)應(yīng)(Jacobson-Bourbaki correspondence)，卡普蘭斯基(I.Kaplansky， 1917～2006)在微分方程的伽羅瓦理論上的研究，蔡斯(S.U.Chase)、哈里森(D.K.Harrison)、羅森博格(A.Rosenberg)研究的交換環(huán)上的伽羅瓦理論，阿廷和泰特(J.Tate， 1925～2019)在類(lèi)域論和伽羅瓦上同調(diào)上的工作，等等。

在域論沒(méi)有完成抽象化之時(shí)，戴德金對(duì)伽羅瓦理論的理解之深，是難能可貴的。戴德金是一個(gè)先行鋪路者，之所以沒(méi)有完成現(xiàn)代伽羅瓦理論的臨門(mén)一腳，他所處的時(shí)代對(duì)域的理解是一個(gè)重要因素，但同樣的問(wèn)題在阿廷時(shí)期已經(jīng)不復(fù)存在了。一方面由于之前戴德金、韋伯、希爾伯特、施泰尼茨等人對(duì)于域論結(jié)構(gòu)的研究，以及諾特對(duì)抽象代數(shù)全方位的影響，20世紀(jì)20～30年代的數(shù)學(xué)界在公理化、抽象化、結(jié)構(gòu)化數(shù)學(xué)思想的大環(huán)境下，相比于戴德金、韋伯時(shí)期的“新鮮”，似乎更愿意接受阿廷的方式。另一方面由于阿廷先前的類(lèi)域論研究足夠出色，伽羅瓦理論對(duì)于阿廷來(lái)說(shuō)更是不在話(huà)下。1920年到1934年，是代數(shù)學(xué)發(fā)展的黃金時(shí)期([7]， 155頁(yè))，阿廷趕上了代數(shù)學(xué)的好時(shí)代!

3.2 對(duì)后世專(zhuān)著與教材的影響

在戴德金的時(shí)代，很少有單獨(dú)的代數(shù)學(xué)教材，代數(shù)數(shù)論同時(shí)是數(shù)論和代數(shù)的核心。許多人都是由此開(kāi)始接觸代數(shù)學(xué)的，阿廷就是代表。這種情況在20世紀(jì)初得到轉(zhuǎn)變。施泰尼茨為抽象域論奠定了基礎(chǔ)，隨后諾特、阿廷對(duì)環(huán)論和模論做了比數(shù)論范圍更大的推廣，加之范德瓦爾登《近世代數(shù)學(xué)》的流行，于是代數(shù)學(xué)從數(shù)論中獨(dú)立出來(lái)[36]。伽羅瓦理論作為代數(shù)學(xué)中連接群論與域論的重要一環(huán)，國(guó)外的專(zhuān)著與教材關(guān)于它的表述方式在阿廷的《伽羅瓦理論》問(wèn)世后，也發(fā)生了很大的改變。以下首先羅列伽羅瓦理論的若干流行專(zhuān)著，對(duì)其表述特點(diǎn)作一巡禮：

羅特曼(J.Rotman)：

《伽羅瓦理論》(GaloisTheory)——關(guān)于伽羅瓦理論，我最喜歡阿廷、卡普蘭斯基和范德瓦爾登的表述，此書(shū)的完成歸功于我對(duì)他們著作的解讀……阿廷出版了自己的《伽羅瓦理論》，以新的方式證明了伽羅瓦理論基本定理，他的新思想很成功，他的證明在本質(zhì)上使得早期伽羅瓦理論的著作和闡述都黯然失色。[37]

溫特勞布(S.Weintraub)：

《伽羅瓦理論》(GaloisTheory)——我們的處理手法受到阿廷1944年經(jīng)典的《伽羅瓦理論》的深刻影響。阿廷的手法重視線(xiàn)性代數(shù)的應(yīng)用，我們的手法對(duì)此同樣重視(甚至更加重視)。[38]

考克斯(D.A.Cox)：

《伽羅瓦理論》(GaloisTheory)——在伽羅瓦群的概念不斷演變的過(guò)程中，20世紀(jì)20年代阿廷完成了重要的一步，使得定義6.1.1成為了伽羅瓦理論的起點(diǎn)……1938年和1942年，阿廷完成的《伽羅瓦理論》是擁有巨大影響力的，并且還一直處于再版印刷的狀態(tài)中。[39]

貝韋爾斯多夫(J.Bewersdorff)的《初學(xué)者的伽羅瓦理論：一種歷史觀點(diǎn)》(GaloisTheoryforBeginners:AHistoricalPerspective)，最為關(guān)鍵的第10章單獨(dú)以“阿廷版本的伽羅瓦理論基本定理”為題目，用一節(jié)篇幅來(lái)講解阿廷的證明，并在德文版本的序言中表示：

希望對(duì)伽羅瓦理論加深理解的讀者，可以去查找兩本經(jīng)典的代數(shù)學(xué)書(shū)籍，其中一本是1930年范德瓦爾登的第一版《代數(shù)學(xué)》，另一本是1948年阿廷的第一版《伽羅瓦理論》。[40]

埃斯科菲耶(J.P.Escofier)在其《伽羅瓦理論》(GaloisTheory)的6.6小節(jié)(Linear Independence of K-Homomorphisms)和8.2小節(jié)(Field of Invariants)中，均以“阿廷定理”為題解釋了與阿廷有關(guān)的兩個(gè)定理。[41]

以上只是眾多參照阿廷證明手法的伽羅瓦理論著作中的九牛一毛。此外，本文做了大量的歐美常用的代數(shù)學(xué)教材調(diào)研，發(fā)現(xiàn)凡是包含伽羅瓦理論的教材基本都有參引阿廷的《伽羅瓦理論》，例如：

赫斯坦(I.N.Herstein， 1923～1988)的《代數(shù)學(xué)專(zhuān)題》(TopicsinAlgebra)：

(5.6伽羅瓦理論的原理)我們研究這個(gè)理論的路徑，是基于阿廷的處理。[42]

雅克布森(N.Jacobson， 1910～1999)的《抽象代數(shù)講義之三：域論與伽羅瓦理論》(LecturesinAbstractAlgebraIII.TheoryofFieldsandGaloisTheory)：

(第1章第11節(jié)：本原元素)定理15源于阿廷。[43]

伯克霍夫(G.Birkhoff， 1911～1996)和麥克萊恩的《近世代數(shù)概論》(ASurveyofModernAlgebra)：

這里的證明蘊(yùn)含著這樣的一個(gè)思想，即伽羅瓦群只不過(guò)是有限自同構(gòu)群，與基域沒(méi)有明顯之聯(lián)系，這歸功于阿廷教授。[44]

達(dá)米特(D.Dummit)和富特(R.Foote)的《抽象代數(shù)》(AbstractAlgebra)：

以下的伽羅瓦理論基本定理，將會(huì)表明在以上兩個(gè)例子中所觀察到的關(guān)系不是偶然的，而是適用于所有的伽羅瓦擴(kuò)張。在我們證明基本定理之前，要先講解一些群特征標(biāo)的基本結(jié)論，當(dāng)然，域的自同構(gòu)可以作為一個(gè)特殊的例子。[45]

阿廷的得意門(mén)生泰特和朗在阿廷去逝之后，合作編輯并出版了《阿廷文集》(TheCollecetedPapersofEmilArtin)。斯普林格出版社后來(lái)重印了《阿廷文集》，封皮在概述阿廷的數(shù)學(xué)研究時(shí)提到了伽羅瓦理論：

阿廷是20世紀(jì)領(lǐng)袖級(jí)代數(shù)學(xué)家之一……他也是伽羅瓦理論的重要闡述者(important expositor)，他的表達(dá)已經(jīng)成了該領(lǐng)域的標(biāo)準(zhǔn)。[46]

這正是阿廷對(duì)伽羅瓦理論的貢獻(xiàn)的最好寫(xiě)照。

4 結(jié) 語(yǔ)

阿廷是與諾特齊名的抽象代數(shù)學(xué)奠基人，他們于1932年一起獲得“阿克曼-特布納紀(jì)念獎(jiǎng)”(Ackermann-Teubner Memorial Award)。在諾特、阿廷以及范德瓦爾登結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)觀點(diǎn)的影響下，代數(shù)學(xué)的相關(guān)教材如沐春風(fēng)，其中的伽羅瓦理論變成了現(xiàn)代教科書(shū)中的模樣。

阿廷的《伽羅瓦理論》短小精悍，經(jīng)過(guò)一步步看似平淡的鋪墊后，繞開(kāi)本原元素定理，完成了基本定理的新證明。在研習(xí)《伽羅瓦理論》之時(shí)，讀者似乎感覺(jué)不到理論的高深，就跟著作者不經(jīng)意間經(jīng)歷了伽羅瓦理論的證明。這正是阿廷化難為易的代數(shù)學(xué)功力的體現(xiàn)：首先，將伽羅瓦理論“線(xiàn)性代數(shù)化”；其次，應(yīng)用表示論的方法，引入特征標(biāo)；再次，給出正規(guī)擴(kuò)張的新定義，大大削弱了以往多項(xiàng)式和本原元素定理在證明伽羅瓦理論基本定理時(shí)不可或缺的地位。

阿廷的行文簡(jiǎn)明扼要，基本上沒(méi)有多余的內(nèi)容。他對(duì)伽羅瓦理論本質(zhì)特征的闡釋?zhuān)瑥氐赘淖兞速ち_瓦理論的面貌?；鶢柲显u(píng)價(jià)說(shuō)：

經(jīng)阿廷之手，伽羅瓦理論與其過(guò)往隔斷了聯(lián)系。它與代數(shù)化求解方程之間不再被看作有必然之聯(lián)系。伽羅瓦理論已然是關(guān)于域的結(jié)構(gòu)及其間自同構(gòu)的理論。([4]， 151頁(yè))

阿廷的伽羅瓦理論雖然以伽羅瓦為名，可是已經(jīng)發(fā)生了根本的問(wèn)題轉(zhuǎn)向，焦點(diǎn)不再是伽羅瓦關(guān)心的方程式的解，也使得代數(shù)方程論不再出現(xiàn)于高校數(shù)學(xué)系的課表中。

對(duì)于阿廷在《伽羅瓦理論》中表現(xiàn)的特殊風(fēng)格，著名代數(shù)學(xué)家布饒爾(R. Brauer， 1901～1977)對(duì)阿廷的評(píng)價(jià)與之十分吻合：

將每一條論證以其最本質(zhì)的形式表現(xiàn)出來(lái)，以概念化論證替代計(jì)算，剔除理論上不必要的碎渣，對(duì)于阿廷來(lái)說(shuō)這是一種強(qiáng)制。關(guān)鍵的是，阿廷想要把數(shù)學(xué)之美呈現(xiàn)給讀者。[47]

從19世紀(jì)后半葉以來(lái)，歷經(jīng)多位數(shù)學(xué)家對(duì)伽羅瓦理論的澄清，從劉維爾(J. Liouville， 1809～1882)到阿廷達(dá)數(shù)十位。阿廷最終對(duì)伽羅瓦理論的成功再解讀，得益于戴德金、韋伯、希爾伯特、施泰尼茨、諾特等人逐漸向抽象演變的代數(shù)學(xué)思想。阿廷用域論來(lái)處理伽羅瓦理論正是建立在前人的具體結(jié)果之上。雖然戴德金、希爾伯特是在代數(shù)數(shù)域和數(shù)域擴(kuò)張的基礎(chǔ)上處理伽羅瓦理論，但沒(méi)有具體實(shí)例哪會(huì)有抽象概念？這反映了阿廷從實(shí)例中抽象出一般概念的數(shù)學(xué)思維。諸如希爾伯特的《數(shù)論報(bào)告》、韋伯的《代數(shù)學(xué)教程》(LehrbuchderAlgebra)及其解讀伽羅瓦理論的相關(guān)文章、豪普特的《代數(shù)學(xué)導(dǎo)論》等著作同樣值得我們繼續(xù)研究其歷史。

朗和泰特在《阿廷文集》的前言里追憶了阿廷：

阿廷生平愛(ài)好在各個(gè)年級(jí)教學(xué)。即令身居研究教授之職，他定期開(kāi)設(shè)初等微積分的課，堅(jiān)持不懈。他的課堂講義和討論班講演，以完美、精辟為世所稱(chēng)道，使得他的代數(shù)觀點(diǎn)廣泛流傳……這些講演、講義，激勵(lì)、啟發(fā)了他的學(xué)生；他對(duì)他們的慷慨和愛(ài)護(hù)是無(wú)以復(fù)加的。([18]， 92頁(yè))

阿廷生前的摯愛(ài)——漢堡大學(xué)，在2005年4月26日將一座翻新的教室命名為“阿廷講堂”(Emil Artin-H?rsaal)[48]，這是對(duì)熱愛(ài)教學(xué)的阿廷一生寫(xiě)出多本數(shù)學(xué)經(jīng)典的最好懷念!

后 記作者在2017年末無(wú)意間意識(shí)到距阿廷出生已經(jīng)過(guò)去了近120年，遂著手撰寫(xiě)此文。無(wú)巧不成書(shū)，在深入調(diào)研文獻(xiàn)之時(shí)發(fā)現(xiàn)，在歐洲數(shù)學(xué)會(huì)的資助和支持下，2018年5月27日～6月2日在亞美尼亞共和國(guó)的首都耶烈萬(wàn)舉辦了“埃米爾·阿廷國(guó)際會(huì)議——獻(xiàn)給阿廷120周年誕辰”(Emil Artin International Conference: Dedicated to the 120th Anniversary of Emil Artin)。作者謹(jǐn)以本文以示紀(jì)念。感謝審稿專(zhuān)家們對(duì)本文的細(xì)致批注與建議。