《明天歷》歲差與上元積年

王錦瑞 曲安京

(1. 西北大學(xué)科學(xué)史高等研究院，西安 710127；2.陜西學(xué)前師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，西安 710100)

北宋周琮所著《明天歷》是中國古代歷法中算法公式化程度最高的歷法[1]，《明天歷議》[2](以下簡稱《歷議》)載于歷法術(shù)文之前，分段解釋了《明天歷》中某些天文常數(shù)及算法的合理性、準(zhǔn)確性以及創(chuàng)造性，闡明歷法理論的依據(jù)和特點。在《授時歷》之前，幾乎所有的中國傳統(tǒng)歷法都是圍繞著上元編排算法事項的。絕大多數(shù)歷法的上元積年，僅憑日干支、年干支、回歸年、朔望月四項先決條件即可唯一確定，其他常數(shù)(如歲差、交點月、近點月及五星會合周期等)多不具備參與上元推算的資格，因此，這些常數(shù)是基于上元積年調(diào)取出來的([3]，55頁)。但是，《明天歷》獲取歲差和上元積年的方法卻與主流算法不同，其歲差常數(shù)的選取獨立于上元積年，與月行速度、朔望月兩個常數(shù)有關(guān)。同時，歲差常數(shù)反而參與了上元積年的確定，這種現(xiàn)象在中國古代歷法史上是絕無僅有的。對這種情況進(jìn)行研究有助于我們更加全面深刻理解中國古代歷法常數(shù)系統(tǒng)的構(gòu)造原理及其特征。

在《歷議》“調(diào)日法”部分有一段關(guān)于《明天歷》歲差常數(shù)構(gòu)造方法的論述，由于這部分文字表述艱澀，鮮有學(xué)者關(guān)注。周琮在此段結(jié)尾處寫道：“此之一法，理極幽眇，所謂反覆相求，潛遁相通，數(shù)有冥符，法有偶會，古歷家皆所未達(dá)”([2]，2635頁)。顯然，周琮非常得意于《明天歷》歲差常數(shù)選取方法的創(chuàng)見，并且認(rèn)為以往歷法家都未曾悟出歲差、周天分常數(shù)與月行速度、朔望月等常數(shù)之間的關(guān)系。那么，《明天歷》歲差常數(shù)究竟是如何構(gòu)造的？歲差常數(shù)與上元積年是怎樣的邏輯關(guān)聯(lián)？歲差常數(shù)是否參與了《明天歷》上元積年的選取？周琮構(gòu)造歲差與上元積年的方法與以往歷法家有什么不同？

基于上述問題，本文擬對《歷議》中相關(guān)術(shù)文進(jìn)行深入解讀，嘗試復(fù)原《明天歷》歲差常數(shù)的構(gòu)造方法，并對《明天歷》上元積年的選取思路進(jìn)行分析，明確《明天歷》歲差常數(shù)與上元積年之間的邏輯關(guān)系。

1 《明天歷》歲差常數(shù)的構(gòu)造方法

中國傳統(tǒng)歷法中的歲差常數(shù)用以描述春分點沿著黃道緩慢西退現(xiàn)象，具體數(shù)值為恒星年與回歸年的差值，歷法中將恒星年稱為周天(單位是度或分，以下討論均使用周天分)。在已知回歸年常數(shù)的前提下，周天分與歲差是互相確定的，以下均以歲差作為主要研究對象。吳守賢[4]、陳美東[5]、李鑒澄[6]、何妙福[7]以及白尚恕[8]等分別從歲差的歷史考證、發(fā)展演進(jìn)以及各歷歲差常數(shù)的精度等方面進(jìn)行了專門研究，曲安京([3]，128～146頁)復(fù)原了各時期歷法家調(diào)取歲差常數(shù)的算法思路，指出《明天歷》歲差常數(shù)構(gòu)造方法具有一定的復(fù)雜性與特殊性，但并未詳細(xì)展開討論。此后，尚未有學(xué)者關(guān)注《明天歷》歲差常數(shù)的構(gòu)造方法。以下將從術(shù)文解讀、構(gòu)造原理分析兩方面進(jìn)行討論。

1.1 術(shù)文解讀

《明天歷議》的“調(diào)日法”部分主要解釋《明天歷》日法、回歸年、朔望月、周天分及歲差等常數(shù)之間的關(guān)聯(lián)及構(gòu)造思路。首先，周琮概述了制歷的基本原則，介紹了何承天的調(diào)日法原理，指出何承天之后的制歷者都是沿襲其調(diào)日法，通過累加強率、弱率以獲取日法及朔望月常數(shù)，均未悟出日月運行背后的合朔思想與常數(shù)間的微妙關(guān)系。然后，周琮詳細(xì)闡明了《明天歷》利用日月合朔思想確定歲差常數(shù)的構(gòu)造過程。為便于讀者理解，我們將術(shù)文逐句編號，分別進(jìn)行解讀。

(1)今稍悟其失，定新歷以三萬九千為日法，六百二十四萬為度母，九千五百為斗分，二萬六百九十三為朔余，可以上稽于古，下驗于今，反覆推求，若應(yīng)繩準(zhǔn)。又以二百三十萬一千為月行之余，月行十三度之余。以一百六十萬四百四十七為日行之余，日行周天之余。乃會日月之行。(2)以盈不足平之，并盈不足，是為一朔之法。日法也，名元法。(3)今乃以大月乘不足之?dāng)?shù)，以小月乘盈行之分，平而并之，是為一朔之實。周天分也。(4)以法約實，得日月相會之?dāng)?shù)，皆以等數(shù)約之，悉得今有之?dāng)?shù)。盈為朔虛，不足為朔余。(5)又二法相乘為本母，各母互乘，以減周天，余則歲差生焉，亦以等數(shù)約之，即得歲差、度母、周天實用之?dāng)?shù)。(6)此之一法，理極幽眇，所謂反覆相求，潛遁相通，數(shù)有冥符，法有偶會，古歷家皆所未達(dá)。([2]，2634頁)

(1)給出與歲差常數(shù)構(gòu)造相關(guān)的常數(shù)，為表述方便，將術(shù)文中各常數(shù)標(biāo)記如下：

日法A=39000(日分)；

日度母AB=39000×160=6240000(度分)；

其中，日法、日度母、回歸年、朔望月、月行速度為已知常數(shù)，接下來周琮論述了如何利用這些已知常數(shù)推導(dǎo)周天分與歲差常數(shù)的過程。

(2)推算一天月亮運行的時間距離(一朔之法)：

根據(jù)盈不足術(shù)，考察一個朔望月(約29.53059日)月亮運行的時間距離。日法A=39000(日分)表示將一天的時間長度分成39000分，30A表示30天的時間長度，U=1151693(日分)表示一個朔望月的時間長度，V表示月亮相對速度的分子1979，因此，月行“盈分”是指V(30A-U)=1979×18307(度分)，表示30日盈出一個朔望月的部分(約0.46941日)月亮所運行的時間距離。月行“不足分”是指V(U-29A)=1979×20693(度分)，表示29日不足一個朔望月的部分(約0.53059日)月亮所運行的時間距離。將“盈”與“不足”相并，

V(30A-U)+V(U-29A)=VA=1979×39000(度分)

得到一朔之法VA，表示月亮(相對于太陽)一天運行的時間距離。

(3)推算一個朔望月月亮運行的時間距離(一朔之實：周天分)：

大月30個“不足分”與小月29個“盈分”之和為一朔之實VU，這就是周天長度，即

30·V(U-29A)+29·V(30A-U)=VU

因此，周天分S=VU=1979×1151693=2279200447(度分)。

(4)解釋月亮運行情況與朔望月之間的關(guān)系：

一朔之法VA是指月亮運行一天的時間距離，一朔之實VU是指月亮運行一個朔望月的時間距離，兩者相除，以等數(shù)V約之，得到“今有之?dāng)?shù)”朔望月的長度

其中盈為朔虛30A-U=18307(分)，不足為朔余U-29A=20693(分)。

(5)推算歲差常數(shù)：

歲差常數(shù)由周天分與回歸年兩個常數(shù)做差得到，兩法分別指周天分和回歸年常數(shù)的分母AB與A，兩個分母相乘作為新的分母，具體推算過程如下：

所以，歲差常數(shù)P=VU-TB=1979×1151693-14244500×160=80447度分。

(6)周琮的自我評價：周琮認(rèn)為自己獲取周天分與歲差常數(shù)的方法原理深妙，發(fā)現(xiàn)了朔望月、月行速度常數(shù)與歲差(周天分)等常數(shù)之間暗藏的相互關(guān)系，指出這是以往歷法家均未曾領(lǐng)悟到的高度。

1.2 歲差常數(shù)的構(gòu)造原理

在中國傳統(tǒng)歷法中，通常情況下周天分與歲差常數(shù)是基于上元積年調(diào)取出來的。在上元積年Nn確定后，結(jié)合恒星年與歲差參照值以及制歷當(dāng)年的冬至點宿度，構(gòu)造同余式

pNn≡β(mods)，0≤β

(1)

其中，s為恒星年長度(周天分)，p為歲差長度。由(1)式知，從實測的制歷年Nn天正冬至赤道日度起算，β度之外就是上元冬至所在宿度([3]，129頁)，然后根據(jù)上元必起于虛宿，調(diào)取合適的歲差與周天分常數(shù)。顯然，周琮并未照搬以往歷法家的傳統(tǒng)方法，而是在脫離上元積年的前提下，根據(jù)日月合朔思想構(gòu)造周天分與歲差常數(shù)。

圖1 月亮運行與周天關(guān)系分析圖

日月合朔時刻是指日月同黃經(jīng)，且月球位于日地之間的時刻。根據(jù)太陽和地球的相對運動，如圖1所示，以地球為參照物，從日月合朔EM1S1開始，經(jīng)過一個朔望月后，到達(dá)下一次日月合朔EM2S2，在這個運行過程中，太陽運行距離長度為S1S2(一個朔望月長度)，月亮的平行速度為13.36875(度/日)，其運行長度為一個周天圓周與一個朔望月長度M1M2之和，其中S1S2與M1M2長度相同?？疾焯?、月亮的相對運動，取月亮相對于太陽的運行速度為12.36875(度/日)，減去相對運動的S1S2長度，則相對于太陽來說，月亮在一個朔望月的運行距離為一個周天長度。即

周天S=月亮相對速度×朔望月長度U=1979×1151693=2279200447(度分)

與回歸年常數(shù)做差通分，即可獲得歲差常數(shù)80447。

可以看出，周琮根據(jù)月亮運行速度來確定周天分與歲差常數(shù)，這種基于日月運行規(guī)律進(jìn)行常數(shù)構(gòu)造的思路，確如周琮自己所言，為“古歷家皆所未達(dá)”。在《明天歷議》中，除了“調(diào)日法”外，另有一段單獨介紹周天分常數(shù)的術(shù)文([2]，2637頁)，如下：

周天分：二十二億七千九百二十萬四百四十七。本齊日月之行，會合朔而得之。在調(diào)日法。使上考仲康房宿之交，下驗姜岌月食之沖，三(十)[千]年間，若應(yīng)準(zhǔn)繩，則新歷周天，有自然冥符之?dāng)?shù)，最為密近。

周琮在此處重申了《明天歷》周天分常數(shù)是基于日月合朔思想確定的，其數(shù)值由月行速度與朔望月常數(shù)的乘積推算，并指明此方法在調(diào)日法部分已經(jīng)論述。周琮指出往前考驗夏朝仲康時期房宿的日食，往下與姜岌月食沖法相互驗證，考驗三千年天象，新歷的周天分常數(shù)皆是吻合自然之法的理想選擇。雖然周琮對周天分常數(shù)的精度有言過其實之嫌，但是其構(gòu)造周天分及歲差常數(shù)的方法在中國古代歷法史上的確是獨一無二的。

2 《明天歷》上元積年的推算方法

中國傳統(tǒng)歷法是以上元的選擇為核心，構(gòu)成一個天文常數(shù)系統(tǒng)。通常根據(jù)朔望月和回歸年兩個基本常數(shù)將上元確定之后，再由此調(diào)取其他歷取常數(shù)，如恒星年、近點月、交點月與五星會合周期等歷取值[9]。周琮《明天歷》的歲差常數(shù)是利用日月合朔思想構(gòu)造出來的，獨立于上元積年確定。那么，《明天歷》歲差常數(shù)是否參與了上元積年的選??？它與上元積年之間是怎樣的邏輯關(guān)聯(lián)？本文試做以下分析。

曲安京廓清了中國古代歷法上元積年推算的歷史發(fā)展脈絡(luò)[10]，對早期上元積年的推算方法[11]和唐宋時期演紀(jì)上元進(jìn)行了深入研究，同時對《明天歷》上元積年計算也進(jìn)行了分析[12]。以下討論將在其研究基礎(chǔ)上進(jìn)行。

一般情況下，唐宋歷法家利用回歸年和朔望月常數(shù)構(gòu)造同余式組

(2)

其中，T為回歸年常數(shù)，R0為所求年歲名序號(甲子為0，乙丑為1，…)，R1為所求年冬至?xí)r刻距前一甲子日夜半時分的分?jǐn)?shù)，R2為所求年冬至?xí)r刻距11月合朔時刻的分?jǐn)?shù)。首先結(jié)合制歷當(dāng)年冬至?xí)r刻等實測數(shù)據(jù)，由同余式組(2)推算一個上元積年Nn值。如果推算結(jié)果不滿足Nn<108和R1、R2誤差在正負(fù)1刻以內(nèi)這兩個條件，則重新調(diào)整日法，利用同余式組(2)推算新的Nn。經(jīng)過若干輪數(shù)學(xué)推算，選取滿足上述兩個條件的上元積年([3]，54頁)。

《歷議》中給出了治平元年(1064)的天正冬至與天正經(jīng)朔時刻([2]，2636頁)，曲安京利用兩個數(shù)據(jù)復(fù)原了《明天歷》對應(yīng)的同余式組(2)，并經(jīng)過一系列數(shù)學(xué)推理，將基于同余方程組(2)的求解問題歸結(jié)為如下同余方程

m≡596420r2+905809(mod 1151693)

其中，0≤m≤21366，|r2|<390。由于滿足上式的(m，r2)共9組，將9個數(shù)值m代入式子N1064=400+60×78×m，獲得9組可選的上元積年N1064，見表1([3]，79頁)。于是，產(chǎn)生了一個新的問題，周琮基于何種原因在9組可選上元積年數(shù)值中選擇了711760？以下將承接曲安京的工作，給出這個問題的答案。

p×Nn≡β(mods)，0≤β

根據(jù)制歷當(dāng)年(1064)實測的天正冬至赤道日度(斗宿7.3度)反推β度，得到9組可能的上元時刻赤道日度值，詳見表1?；谥袊糯鷼v法中上元必起于虛宿某度([3]，129頁)，直接排除第2～8組。除《儀天歷》選擇上元在虛宿2度外，《明天歷》之前的唐宋歷法通常選擇上元在虛宿(共10度有余)中間某度，同時第9組數(shù)據(jù)稍大，不利于計算，經(jīng)綜合考慮后，周琮選擇了數(shù)值最小且上元起于虛6的711760作為《明天歷》的上元積年。

表1 《明天歷》上元積年的9種可選數(shù)據(jù)分析

可以看出，以往歷法家通過回歸年和朔望月常數(shù)構(gòu)造同余式組(2)，由此確定合適的上元積年，然后利用同余式(1)調(diào)取合適的歲差(周天分)常數(shù)。但是周琮卻采用了不同的思路，首先利用“日月合朔”思想確定歲差與周天分常數(shù)，然后將歲差與周天分常數(shù)引入上元積年的選取過程，構(gòu)造新的同余式組(3)

(3)

在9個可選的上元積年數(shù)值中，直接排除掉其他不合適的可能，選擇出最合用的數(shù)值711760，周琮與以往歷法家獲取上元積年和歲差的路線對比如圖2。

3 結(jié) 論

通過對《明天歷議》中相關(guān)術(shù)文的分析發(fā)現(xiàn)，周琮在日月合朔思想指導(dǎo)下，直接利用月行速度與朔望月常數(shù)乘積確定周天分常數(shù)，將其與回歸年做差獲得歲差常數(shù)，這種確定歲差常數(shù)的方法在中國古代歷法史上是絕無僅有的。同時，周琮將歲差常數(shù)引入上元積年的選取，在上元必起于虛宿等條件下選取合適的上元積年，這種思路改變了以往歲差常數(shù)附會上元積年的傳統(tǒng)，使得歲差常數(shù)不但獨立于上元積年確定，而且參與了上元積年的選取，從而改變了上元積年在歷法中的核心地位。本研究對認(rèn)識《明天歷》常數(shù)系統(tǒng)構(gòu)造中的特殊性，為更加全面地理解中國古代歷法天文常數(shù)系統(tǒng)的特征提供了新的思路。