模型之問:讓您歡喜讓您憂

劉俊明

模 型

模型不過幾行符，

欲取江山湛月孤。

此處文生揮墨盡，

只留筆下豎1豎：這里的條紋相都是豎排的成書。

I.引子

物理學(xué)自詡為自然科學(xué)提供源泉與支撐。她的上游是數(shù)學(xué)，她的下游是其它自然科學(xué)分支。物理學(xué)借助相互作用的哲學(xué)來滋潤下游分支。而在上游，物理學(xué)通過模型來提煉世界的本源。因此，物理學(xué)模型的數(shù)學(xué)求解可能占據(jù)物理學(xué)至高境界之一。很多物理學(xué)名家因為提出一個模型或求解一個模型而流芳于世。到了今天，這已經(jīng)不是稀奇事。而調(diào)侃物理學(xué)模型及其背后求解之掌故經(jīng)常成為物理學(xué)子茶余飯后津津樂道的話題，其滋味應(yīng)該遠(yuǎn)勝于飯后一杯大紅袍、一壺碧螺春。

物理學(xué)中著名的、具有普適性的模型很多。筆者不才，對此所知甚少，只是拘泥于所從事的一些小領(lǐng)域中的一些八卦故事。筆者熟知的Ising 模型發(fā)端于磁學(xué)和統(tǒng)計物理，不但成為凝聚態(tài)物理的若干基石之一，還對構(gòu)建自然現(xiàn)象和社會行為的二元論圖像作出莫大貢獻(xiàn)?，F(xiàn)在，對很多自然社會現(xiàn)象，我們的第一反應(yīng)就是對組成之個體進(jìn)行二元化分類，然后由Ising 模型來近似描述個體之間的相互作用。當(dāng)然，基于Ising 模型的推廣也很多，如Potts 模型、XY 模型和海森堡模型等，但總體格局并未突變。

II.嚴(yán)格解

一個有普適性的物理模型，如果能夠求得其嚴(yán)格解，將是一件大事，雖然其“偉大”意義與佩爾曼證明龐加萊猜想和張益唐證明孿生素數(shù)猜想未必是一個等級。不過，一個模型漂亮的嚴(yán)格解，不但彰顯求解者極高的數(shù)學(xué)天賦和物理洞察力，更對相關(guān)物理的理解有深刻的推動作用。模型的嚴(yán)格解不但搭建起物理的框架，嚴(yán)格解的結(jié)論也就成為檢驗基于模型的物理理論和實驗之參考基石。還是以經(jīng)典自旋Ising 模型為例。Ernst Ising 本人因為嚴(yán)格求解一維Ising 模型（零場而非零溫下沒有相變）而賺得命名權(quán)，Onsager 因為嚴(yán)格求解二維Ising 模型而留名青史。一維和二維Ising 模型嚴(yán)格解的結(jié)果如圖1 所示。三維Ising 模型至今依然未有嚴(yán)格解，而四維及以上模型就只能作平均場處理了。

圖1 1D 和 2D 點陣 Ising 模型的嚴(yán)格解圖示，其中自旋相互作用只考慮最近鄰。2D 點陣中Onsager 給出了相變點TC和磁矩m。

當(dāng)然，物理學(xué)中嚴(yán)格可解的模型并不多，大致上十個模型中有一個嚴(yán)格可解。因此，嚴(yán)格解也就顯得彌足珍貴。就像數(shù)學(xué)一般，物理模型的嚴(yán)格解代表了一種沉淀、榮譽(yù)和運(yùn)氣，并無一定規(guī)范可循。如果您去google，可以看到很多書名如 Exactly solvable models in phsyics 之類的專著和科普，幾個例子如圖2所示：

圖2 物理學(xué)中嚴(yán)格可解模型的一些例子（網(wǎng)上都可以下載到這些專著）。

這里，特別值得點出的是：與經(jīng)典 Ising 模型對應(yīng)，作為近期之一大事件，看君可能知道加州理工的Alexi Kitaev 于 2006 年針對一類如圖3 所示的蜂巢晶格量子自旋模型給出了嚴(yán)格解，而這一模型現(xiàn)在就以其大名命名(Kitaev model)。這一嚴(yán)格解首次證明了量子自旋液體的存在，從而對量子計算和量子物理產(chǎn)生重大沖擊。物理學(xué)家對量子自旋液體的研究正在興頭之上，既風(fēng)光無限又泥沙俱下。筆者曾經(jīng)有一篇初級科普文章介紹這一問題，見“量子自旋芳草在，覓尋液態(tài)惹塵?！币晃?。

圖3 Kitaev 模型的數(shù)學(xué)形式與定義，右下圖給出蜂巢點陣結(jié)構(gòu)。[1]

III.數(shù)值解

如上所述，物理模型的絕大多數(shù)難以獲得嚴(yán)格解或干脆就被證明沒有嚴(yán)格解，就像最近有計算機(jī)證明3D Ising 模型沒有嚴(yán)格解一般。事實上，2D Ising 模型的嚴(yán)格解只是針對最簡單的情形，如果在模型哈密頓基礎(chǔ)上稍加幾項，再要求得其嚴(yán)格解就幾無可能。因此，過去數(shù)百年，需求驅(qū)動物理學(xué)者發(fā)展了數(shù)量龐大的各類數(shù)值計算與模擬方法，來數(shù)值求解各類模型問題。統(tǒng)計物理中的蒙特卡洛模擬與固體系統(tǒng)中的電子密度泛函第一性原理計算可以稱作是兩大代表。除此以外，大量的針對特定物理分支學(xué)科的計算與模擬方法依然在不斷擴(kuò)張，大學(xué)中《計算物理》課程不過是觸及冰山一角而已。我們姑且將這些方法用卡通表達(dá)如圖4 所示。閑暇端詳，會讓人從一下子抓狂到慢慢沉寂下來，也許可以體會其中之一二深邃。

圖4 物理學(xué)中的數(shù)值方法卡通。此圖側(cè)重于意境，并非要推崇或說明什么。[2,3]

有了眾多的數(shù)值方法和難以估量的計算平臺，物理學(xué)模型問題看起來似乎無所不解、無往不利。筆者對蒙特卡洛方法略知一二，曾經(jīng)賴以為生活技能之一，明白數(shù)值方法在物理學(xué)研究中的位置。不過，與嚴(yán)格解不同，邏輯上，數(shù)值解的結(jié)果總是需要其他理論或者實驗結(jié)果佐證方能令人放心。其中的缺陷源于數(shù)值計算畢竟是對熱力學(xué)極限無限系統(tǒng)的有限尺寸模擬，并無嚴(yán)格解那般夯實與嚴(yán)密。筆者對第一性原理計算方法也有所涉及，其艱辛苦澀只有個中玩家方能體會一二。從自然科學(xué)美的角度看，諸如楊振寧先生這般推崇“秋水文章不染塵”的雅士，大概很難將數(shù)值計算給出的結(jié)論與嚴(yán)格解比肩而事。

如下行文中，我們給出關(guān)聯(lián)電子系統(tǒng)中一個具體實例，來說明數(shù)值計算的力度及存在的瑕疵缺憾。

IV.Hubbard 模型

毋庸諱言，凝聚態(tài)物理和量子材料中也有很多模型。也無需諱言，量子力學(xué)中的薛定諤方程是量子波動力學(xué)的基礎(chǔ)。量子力學(xué)下自成蹊，誕生了若干著名的模型，可見于“Exactly solvable models in quantum mechanics”等專著。量子力學(xué)延伸到凝聚態(tài)物理中，也催生出很多更加切合實際情況的經(jīng)典模型。例如，關(guān)聯(lián)電子系統(tǒng)（strongly correlated electrons,即量子材料）中最著名的模型 — Hubbard 模型，即是如此，看君應(yīng)該不會質(zhì)疑這一點。

理論物理和凝聚態(tài)物理學(xué)者對Hubbard 模型之情有獨鐘是不言而喻的，其中一個重要需求就是獲得其嚴(yán)格解。1994 年，紐約州立大學(xué)石溪分校理論物理研究所的 V.E.Korepin 和 F.H.L.Eβler 曾經(jīng)編撰過一本文集“Exactly solvable models of strongly correlated electrons” （World Scientific Publishers 出版），其中2/3 篇幅歸結(jié)在“The one-dimensional Hubbard model”名下，令人印象深刻，如圖5 所示。還有很多類似書籍，展示出諸多學(xué)者窮其生命而求Hubbard 模型嚴(yán)格解之一二。

圖5 Hubbard 模型在強(qiáng)關(guān)聯(lián)電子系統(tǒng)中的崇高地位，引一眾英雄競折腰。

所謂 Hubbard 模型，提出者當(dāng)然是 John Hubbard。他 1963 年提出這一簡化的近似模型來描述固體中金屬–絕緣體轉(zhuǎn)變，應(yīng)該算是固體物理中緊束縛(tight-binding) 模型的改進(jìn)版。它針對晶格中相互作用粒子系綜，考慮粒子在晶格位置將的跳躍(hopping)動能項和粒子在位 (on-site) 作用勢（例如庫倫勢），這與薛定諤方程的兩項有一定的對應(yīng)。如果粒子是費(fèi)米子，即為 Hubbard 模型；如果粒子是玻色子，即為Bose-Hubbard 模型。對于一具有周期勢的低溫量子體系，Hubbard 模型很好地 capture 住在位作用能及輸運(yùn)所賦予的物理。如果只考慮布洛赫最低帶，粒子間長程相互作用可以忽略不計，這是經(jīng)典Hubbard 模型。否則，要考慮粒子間的長程相互作用，即為所謂的擴(kuò)展 Hubbard 模型。

這一模型最開始并不那么受青睞，因為很多固體物理問題用緊束縛模型就可以處理得不錯。當(dāng)高溫超導(dǎo)電性被發(fā)現(xiàn)后，粒子之間的在位庫倫勢變得很重要，Hubbard 模型正中下懷，很好地描述了強(qiáng)關(guān)聯(lián)系統(tǒng)中的Mott 物理，從而絕處逢生，在超導(dǎo)界唯我獨尊之態(tài)已持續(xù)多年。周期性晶格中最常見的Hubbard 模型形式如圖6 所示：

圖6 Hubbard模型，以二次量子化的形式寫出。

V.電子條紋相

眾所周知，一維Hubbard 模型在一些特定條件下可能是可積的，而二維和三維Hubbard 模型不再存在嚴(yán)格解，數(shù)值計算方法來求解Hubbard 模型難以避免。鑒于Hubbard 模型的崇高地位，前人已經(jīng)發(fā)展了大量“特定的”近似解析加數(shù)值方法來處理這一問題，典型的方法包括（中文翻譯不確，請諒解只寫英文名稱）：

1.density matrix renormalization group (DMRG)

2.exact diagonalization/dynamical mean-field theory

3.constrained path auxiliary field Monte Carlo

4.infinite projected entangled-pair states

5.density matrix embedding theory

6.dynamical cluster approximation

7.cellular dynamical mean-field theory

8.……

有意思的是，銅氧化物高溫超導(dǎo)體系中都存在平移和旋轉(zhuǎn)對稱破缺的電子條紋相，它是理解高溫超導(dǎo)電性不能回避的問題。既然Hubbard 模型宣稱能夠描述高溫超導(dǎo)的主要特征，自然也需要很好地重現(xiàn)電子條紋相的基本物理。遺憾的是，上述各種方法中，方法 (1)～(4) 重現(xiàn)了電子條紋相，展示了比 d 波超導(dǎo)電性更高的強(qiáng)度和更長的關(guān)聯(lián)長度。而方法(5)～(7)則未能重現(xiàn)電子條紋相，只是展示了有限溫度的d 波超導(dǎo)。因此，關(guān)于這些方法可靠性的疑問立即凸顯出來。

大量的嘗試和檢驗都證實這些方法給出的不同基態(tài)能量非常接近，而基態(tài)之不同很可能源于每一種方法中存在的細(xì)微差別和缺失。如果不能排除這些差別和缺失，那么每一種方法的可靠性就值得懷疑，雖然這種懷疑未必就是合理的。使用這些方法的諸君各有說辭，讓讀者難以判定誰對誰錯、誰是誰非，也許都對都是，也許都錯都非。

怎么辦呢！來自斯坦福大學(xué)物理系、斯坦福大學(xué)材料與能源科學(xué)研究院和斯坦福大學(xué) Geballe 先進(jìn)材料實驗室的幾位學(xué)者（通訊作者Tomas P.Devereaux）與北達(dá)科他大學(xué)物理系同行合作，對此問題開展了廣泛的數(shù)值模擬研究。他們的思路看起來有些獨特：如果能夠發(fā)展一種有限溫度計算方法，通過引入足夠強(qiáng)的自旋序競爭漲落，一方面就可能較易克服低溫下各電子相之間的能量勢壘，使得計算進(jìn)程盡快達(dá)到基態(tài)；另一方面，體系高溫下的關(guān)聯(lián)長度將顯著減小，借助較小的點陣來實施計算就成為可能，可以有效排除計算的有限尺寸效應(yīng)。立足于這一思路，作者利用行列式量子蒙特卡洛(determinant quantum Monte Carlo,DQMC) 這一有限溫度精確(exact) 求解方法獲得真正的基態(tài)。雖然量子蒙特卡洛模擬中費(fèi)米子符號問題在低溫區(qū)可能無法解決，但計算結(jié)果將有限溫區(qū)區(qū)間內(nèi)競爭條紋相很好地展現(xiàn)出來。與此同時，作者也利用密度矩陣重整化群(DMRG) 方法進(jìn)行印證計算，以求結(jié)果的可靠性。

借助這一方法，作者以包含次近鄰跳躍(hopping)的Hubbard 模型為對象，計算了覆蓋整個電子摻雜和空穴摻雜區(qū)間的實空間自旋關(guān)聯(lián)函數(shù)與電子條紋相相圖。與前人工作比較，這一工作揭示了次近鄰躍遷對電子條紋相穩(wěn)定性的影響，電子摻雜時自旋非公度相會消失，而空穴摻雜時半填充的條紋相也會消失。計算結(jié)果與一系列實驗觀測大致吻合，預(yù)示出Hubbard模型的確可以描述電子和空穴摻雜銅氧化物中的條紋相和電子相圖，這一點應(yīng)算難能可貴，值得張揚(yáng)。其中幾幅自旋關(guān)聯(lián)函數(shù)實空間分布示于圖7。圖中條紋相豎直排列，讓您能感覺到“此處文生揮墨盡，只留筆下豎成書”的味道。

圖7 DQMC 計算得到的自旋關(guān)聯(lián)函數(shù)分布，U/t = 6，t′/t= ?0.25，T/t=0.22，p 為空穴摻雜濃度。

當(dāng)然，這一組合計算方法依然受到有限點陣大小和符號問題的限制，對計算大尺度動力學(xué)問題顯得后勁不足。誠然，方法本身的可靠性依然需要與實驗比對才能獲得認(rèn)可，數(shù)值方法的內(nèi)稟缺憾依然故我、未能克服。作者坦率地承認(rèn)追隨模型之路仍然漫長。而筆者認(rèn)為，此去長路中那種讓人歡喜讓人憂的感覺將成為物理人一生的屬性和命運(yùn)。該工作以“Stripe order from the perspective of the Hubbard model” 為題發(fā)表于npj Quantum Materials.2018,3:22。 閱讀原文，御覽詳細(xì)的數(shù)據(jù)與討論。

備注：此文撰寫得到李建新老師、萬賢綱老師支持，謹(jǐn)致謝意！