數(shù)學(xué)期望概念的教學(xué)方法研究

【摘 要】數(shù)學(xué)期望的概念是比較抽象的，本文通過與現(xiàn)實(shí)生活緊密結(jié)合的兩個(gè)例子來引入數(shù)學(xué)期望的定義，給出離散型、連續(xù)型隨機(jī)變量期望的概念，最后以例題講解的方法加以鞏固。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)期望;隨機(jī)變量;絕對(duì)收斂

【中圖分類號(hào)】G62.03 ??????【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】2095-3089（2019）15-0228-01

一、概念的引入

對(duì)一個(gè)新的知識(shí)而言，引入是關(guān)鍵的。在講解數(shù)學(xué)期望的定義時(shí)，我們沒有直接給出概念，而是通過兩個(gè)適當(dāng)?shù)睦?，通過對(duì)例題的講解來引導(dǎo)學(xué)生理解概念。

例1.甲乙兩人賭技相當(dāng)，各出50元賭金，約定先勝三局者為勝，勝者可得100元。由于出現(xiàn)意外狀況，在甲勝2局乙勝1局時(shí)，不得不終止賭博，現(xiàn)在該如何分配賭金才算公平呢？

首先，我們引導(dǎo)學(xué)生思考，如果繼續(xù)賭2局，會(huì)有什么樣的結(jié)果呢？會(huì)有以下四種情況：

甲甲 甲乙 乙甲 乙乙

在前三種結(jié)果中，都是甲獲勝。也就是說，在賭技相同的情況下，甲、乙最終獲勝的可能性大小為3：1。

即甲獲得的平均賭金為：100×34+0×14=75

乙獲得的平均賭金為：100×14+0×34=25

因此，為了公平，應(yīng)該是甲獲得75元，乙獲得25元。

例2.想要了解某一代表性人群的平均年齡，對(duì)某校某專業(yè)20名研究生年齡統(tǒng)計(jì)如下，求其平均年齡。

〖HTSS〗〖BG（！〗〖BHDFG1*2，F(xiàn)K4，K4。4，K4F〗

年齡〖〗20〖〗21〖〗22〖〗23〖〗24

〖BHD〗人數(shù)〖〗1〖〗2〖〗8〖〗3〖〗6〖BG）F〗

通過提問“如何計(jì)算平均年齡x呢”，引導(dǎo)學(xué)生思考，增加學(xué)生的好奇心。

x=20×1+21×2+22×8+23×3+24×6〖〗20

=20×1〖〗20+21×2〖〗20+22×8〖〗20+23×3〖〗20+24×6〖〗20

=22.55

即對(duì)一組給定的數(shù)值x1，x2，…，xn，如果在n次觀測(cè)中出現(xiàn)的頻率分別為f1，f2，…fn，其平均值為

x=x1f1+x2f2+…+xnfn=∑〖DD（〗n〖〗i=1〖DD）〗xifi

當(dāng)n充分大時(shí)，頻率fi在一定意義收斂于概率pi，因此，數(shù)學(xué)期望為x=∑〖DD（〗n〖〗i=1〖DD）〗xiPi

從以上兩個(gè)例子中，可以看出，數(shù)學(xué)期望實(shí)質(zhì)上是簡(jiǎn)單算術(shù)平均值的一種推廣，是理論上的平均值。

二、概念的理解

由上述的例子，引出了離散型數(shù)學(xué)期望的定義：

設(shè)X是離散型隨機(jī)變量，它的分布律為P{X=xk}=pk，k=1，2，…，如果級(jí)數(shù)∑〖DD（〗∞〖〗k=1〖DD）〗xkpk絕對(duì)收斂，則稱此級(jí)數(shù)的和為X的數(shù)學(xué)期望，記為E（X）=∑〖DD（〗∞〖〗k=1〖DD）〗xkpk。

在此定義中，絕對(duì)收斂指的是級(jí)數(shù)∑〖DD（〗∞〖〗k=1〖DD）〗|xk|pk是收斂的，即級(jí)數(shù)改變項(xiàng)的次序后得到的新級(jí)數(shù)仍是絕對(duì)收斂的，級(jí)數(shù)的和不變。因?yàn)閿?shù)學(xué)期望是一個(gè)數(shù)，不能因?yàn)榧?jí)數(shù)的改變項(xiàng)的次序后和就發(fā)生改變。反之，如果∑〖DD（〗∞〖〗k=1〖DD）〗xkpk不是絕對(duì)收斂，則期望不存在。數(shù)學(xué)期望反映的是隨機(jī)變量取值的平均程度。

設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，它的概率密度函數(shù)為f（x），如果積分絕對(duì)收斂，則稱此積分為X的數(shù)學(xué)期望，記為E（X）=∫+∞-∞xf（x）dx。

此定義可理解為：對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量X來說，X落在x這一點(diǎn)，長(zhǎng)度為dx的區(qū)間的概率近似為f（x）dx，由微元法，將量xf（x）dx求和取極限，就得到連續(xù)型隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望的定義。因此，連續(xù)型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的定義是離散型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的自然延伸。

三、數(shù)學(xué)期望的求法

面對(duì)一個(gè)具體的問題，如何求數(shù)學(xué)期望呢？通過一個(gè)具體的例子來加以說明。

例3.從數(shù)字1，2，…，n中任取兩個(gè)不同的數(shù)字，求這兩個(gè)數(shù)字之差的絕對(duì)值的數(shù)學(xué)期望。

引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分析，要求離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，必須要求離散型隨機(jī)變量的分布律，因此，我們考慮取出的兩個(gè)數(shù)字之差絕對(duì)值的所有可能的取值及取相應(yīng)值的概率。

令X為取出的兩個(gè)數(shù)字之差絕對(duì)值，則X所有可能的取值為1，2，…，n-1，

P{X=k}=n-k〖〗C2n，k=1，2，…，n-1

則E（X）=∑〖DD（〗n-1〖〗k=1〖DD）〗kn-k〖〗C2n=n+1〖〗3

四、結(jié)束語

在本內(nèi)容的講授中，通過賭金分配問題和某專業(yè)研究生的平均年齡兩個(gè)具體的例子引出數(shù)學(xué)期望的定義，很好地抓住了學(xué)生的眼球，引起學(xué)生的高度興趣，也讓學(xué)生充分了解隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望產(chǎn)生的背景，了解到數(shù)學(xué)期望是在解決實(shí)際問題中產(chǎn)生的，并通過提問和交流讓學(xué)生真正理解數(shù)學(xué)期望的概念。

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作者簡(jiǎn)介：陳潔（1976-），女，湖北襄陽，博士，系統(tǒng)分析與集成，湖北工業(yè)大學(xué)，理學(xué)院。