一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用分類例析

吳婷婷

[摘? ?要]基于一次函數(shù)的圖像應(yīng)用類問題、表格信息類問題和文字信息類方案最優(yōu)問題三類問題探討一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，以提高學(xué)生解決實(shí)際問題的能力.

[關(guān)鍵詞]一次函數(shù);圖像;表格;文字

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2019）17-0033-02

一次函數(shù)在日常生活中有著廣泛的應(yīng)用，也是中考數(shù)學(xué)的命題熱點(diǎn)，主要涉及以下三類問題：圖像應(yīng)用類問題、表格信息類問題和文字信息類方案最優(yōu)問題.下面舉例說明.

一、圖像應(yīng)用類問題

這類問題要求考生從一次函數(shù)圖像中讀出有關(guān)信息，并利用這些信息解決問題.

[例1]學(xué)校與圖書館在同一條筆直道路上，甲從學(xué)校去圖書館，乙從圖書館回學(xué)校，甲、乙兩人都勻速步行且同時(shí)出發(fā)，乙先到達(dá)目的地.兩人之間的距離y（米）與時(shí)間t（分鐘）之間的函數(shù)關(guān)系如圖1所示.

（1）根據(jù)圖像信息，當(dāng)t=________分鐘時(shí)甲、乙兩人相遇，甲的速度為________米/分鐘;

（2）求出線段AB所表示的函數(shù)表達(dá)式.

解析：（1）根據(jù)圖像信息，當(dāng)[t=24]分鐘時(shí)，甲、乙兩人相遇，甲60分鐘行駛2400米，所以甲的速度為[2400÷60=40（米/分鐘）];

（2）因?yàn)榧讖膶W(xué)校去圖書館，乙從圖書館回學(xué)校，甲、乙兩人都勻速步行并同時(shí)出發(fā)，在[t=24]分鐘時(shí)兩人相遇，所以他們的速度之和為[2400÷24=100（米/分鐘）]，故乙的速度為[100-40=60（米/分鐘）]，乙從圖書館回學(xué)校的時(shí)間為[2400÷60=40]（分鐘），又[40×40=1600]，所以A點(diǎn)的坐標(biāo)為（40，1600）.

設(shè)線段AB所表示的函數(shù)表達(dá)式為[y=kt+b]，

因?yàn)?A（40，1600），B（60，2400），

所以 [40k+b=1600 ，60k+b=2400 ，?k=40 ，b=0 .]

故線段AB所表示的函數(shù)表達(dá)式為y=40t（[40≤t≤60]）.

點(diǎn)評：本題主要考查一次函數(shù)圖像的實(shí)際應(yīng)用，利用路程、速度、時(shí)間的關(guān)系和待定系數(shù)法來確定函數(shù)的解析式，難度一般.解答這類問題的關(guān)鍵是讀懂題目信息，并從圖像中獲取有關(guān)信息來解決實(shí)際問題.

二、表格信息類問題

這類問題以表格形式給出，要求考生利用表格數(shù)據(jù)建立一次函數(shù)，并利用一次函數(shù)解決相關(guān)問題.

[例2]數(shù)學(xué)興趣小組研究某型號冷柜溫度的變化情況，發(fā)現(xiàn)該冷柜的工作過程是：當(dāng)溫度達(dá)到設(shè)定溫度? ? ?-20 ℃時(shí)，制冷停止，此后冷柜中的溫度開始逐漸上升，當(dāng)上升到-4 ℃時(shí)，制冷開始，溫度開始逐漸下降，當(dāng)冷柜自動(dòng)制冷至-20 ℃時(shí)，制冷再次停止……按照以上方式循環(huán)進(jìn)行.

同學(xué)們記錄了44 min內(nèi)15個(gè)時(shí)間點(diǎn)冷柜中的溫度y（℃）隨時(shí)間x（min）的變化情況，制成下表：

[時(shí)間[x]/min … 4 8 10 16 20 21 22 溫度[y]/℃ … -20 -10 -8 -5 -4 -8 -12 時(shí)間[x]/min 24 28 30 36 40 42 44 … 溫度[y]/℃ -20 -10 -8 -5 -4 [a] -20 … ]

（1）通過分析發(fā)現(xiàn)，冷柜中的溫度y是時(shí)間x的函數(shù).

①當(dāng)4 ≤ x [<] 20時(shí)，寫出一個(gè)符合表中數(shù)據(jù)的函數(shù)表達(dá)式;

②當(dāng)20 ≤ x [<] 24時(shí)，寫出一個(gè)符合表中數(shù)據(jù)的函數(shù)表達(dá)式;

（2） [a]的值為;

（3）如圖2，在直角坐標(biāo)系中，已描出了上表中部分?jǐn)?shù)據(jù)對應(yīng)的點(diǎn)，請描出剩余數(shù)據(jù)對應(yīng)的點(diǎn)，并畫出當(dāng)4 ≤x ≤ 44時(shí)溫度y隨時(shí)間x變化的函數(shù)圖像.

解析：（1）①因?yàn)? ×（-20）= - 80，8 ×（-10）= -80，10 ×（-8）= - 80，16 × （-5）= -80，20 × （- 4）= -80，所以當(dāng)4 ≤ x [<] 20時(shí)，[y=-80x].

②當(dāng)20 ≤ x [<] 24時(shí)，設(shè)[y]關(guān)于[x]的函數(shù)解析式為[y=kx+b]，將（20，-4）和（21，-8）代入上面函數(shù)解析式，得

[20k+b=4 ，21k+b=-8 ，?k=-4 ，b=76 ，]所以[y=-4x+76].

（2）從表格中的數(shù)據(jù)變化規(guī)律，可知該冷柜的工作周期為20 min，因?yàn)楫?dāng)x = 42時(shí)，與x = 22時(shí)的y值相同，所以[a] = -12.

（3）描點(diǎn)、連線，畫出函數(shù)圖像如圖3所示.

點(diǎn)評：函數(shù)的表示方法有三種：圖像法、列表法和解析法.本題運(yùn)用列表法，借助表格數(shù)據(jù)表示函數(shù)關(guān)系.本題歸根結(jié)底是考查一次函數(shù)的表示法和意義.

三、文字信息類方案最優(yōu)問題

利用一次函數(shù)解決生活中的最優(yōu)化問題，最能體現(xiàn)數(shù)學(xué)的實(shí)用性，因此此類問題在中考命題中“出鏡率”極高.

[例3]江漢平原享有“中國小龍蝦之鄉(xiāng)”的美稱，甲、乙兩家農(nóng)貿(mào)商店，平時(shí)以同樣的價(jià)格出售品質(zhì)相同的小龍蝦，“龍蝦節(jié)”期間，甲、乙兩家商店都讓利酬賓，付款金額y甲、y乙（單位：元）與原價(jià)x（單位：元）之間的函數(shù)關(guān)系如圖4所示.

（1）直接寫出y甲，y乙關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;

（2）“龍蝦節(jié)”期間，如何選擇甲、乙兩家商店購買小龍蝦能更省錢？

解析：（1）設(shè)[y甲][=kx，]把（2000，1600）代入，得[2000x=1600]，解得[k=0.8，]則[y甲][=0.8x;]當(dāng)[0

當(dāng)[x≥2000]時(shí)，設(shè)[y乙][=mx+n]，把（2000，2000），（4000，3400）代入，

得[2000m+n=2000 ，4000m+n=3400 ，?m=0.7 ，n=600 ，]

所以[y乙]=[x ，（0

（2）當(dāng)[00.7x+600]，解得[x>6000];若到甲、乙兩商店購買一樣省錢，則[0.8x=0.7x+600]，解得[x=6000].

故當(dāng)購買金額按原價(jià)小于6000元時(shí)，到甲商店購買更省錢;當(dāng)購買金額按原價(jià)大于6000元時(shí)，到乙商店購買更省錢;當(dāng)購買金額按原價(jià)等于6000元時(shí)，到甲、乙兩商店購買花錢一樣.

點(diǎn)評：這類問題往往涉及比大小，因此解答時(shí)需用到分類討論思想和一元一次不等式，體現(xiàn)了一次函數(shù)與一元一次不等式之間的內(nèi)在聯(lián)系.

從以上三類問題不難得到，用一次函數(shù)解決實(shí)際問題的一般步驟為：首先，讀懂題意，設(shè)出待求問題中的變量;其次，建立一次函數(shù)關(guān)系式模型;第三，確定自變量的取值范圍;最后，將一次函數(shù)與方程或不等式（組）結(jié)合，從而解決實(shí)際問題.

（特約編輯 安? ? 平）