淺析貝葉斯定理及其應(yīng)用

廖辰益

摘要：兩百多年前英國數(shù)學(xué)家貝葉斯提出的貝葉斯定理，經(jīng)過不斷地發(fā)展，現(xiàn)在已經(jīng)成為現(xiàn)代社會某些重要領(lǐng)域的基礎(chǔ)。貝葉斯定理廣泛運(yùn)用于人工智能、機(jī)器學(xué)習(xí)、金融、醫(yī)療等領(lǐng)域，為這些領(lǐng)域提供了發(fā)展的基礎(chǔ)。本文從貝葉斯定理的起源開始，緊接著對有關(guān)貝葉斯定理的基本概念進(jìn)行闡述和對相關(guān)公式進(jìn)行解釋與推導(dǎo)，再對貝葉斯定理在醫(yī)療與過濾信息的應(yīng)用進(jìn)行簡單分析，最后根據(jù)貝葉斯定理的優(yōu)缺點(diǎn)對貝葉斯定理進(jìn)行評價。

關(guān)鍵詞：貝葉斯定理 ? 全概率公式 ? 聯(lián)合概率 ? 假陽性問題 ? 過濾垃圾短信

一、貝葉斯定理的提出

貝葉斯定理最早是由英國的學(xué)者托馬斯·貝葉斯（1702～1763）提出來的。他在生前主要研究概率論方面的知識，成功歸納出了概率統(tǒng)計的基本理論。他死后，他的朋友理查德·普萊斯將他的著作《幾率性問題得到解決》發(fā)表了出去，但因?yàn)樨惾~斯定理的應(yīng)用不夠完善，幾個世紀(jì)以來都沒有被廣泛接受[1]。但是，隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，計算機(jī)的出現(xiàn)和發(fā)展，社會的進(jìn)步與發(fā)展，貝葉斯定理的重要性日益增加，現(xiàn)在已經(jīng)廣泛應(yīng)用于金融、人工智能等方面。

貝葉斯定理的提出最早是用來解決逆向概率問題的。概率問題分為正向概率問題和逆向概率問題，正向概率問題就是像“箱子里有5個大小相同，質(zhì)量相等的小球，2個黃球，3個紅球，隨機(jī)摸出一個，得到紅球的概率為多少”這樣的問題，而逆向概率問題相反，就變?yōu)榱恕皬南渥与S機(jī)摸出一個得到紅球的概率為40%，問箱子里有多少球”，很明顯，后者的難度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于前者。

二、貝葉斯定理

（一）貝葉斯公式

貝葉斯公式又稱貝葉斯定理、貝葉斯規(guī)則，是概率統(tǒng)計中的應(yīng)用所觀察到的現(xiàn)象對有關(guān)概率分布的主觀判斷進(jìn)行修正的標(biāo)準(zhǔn)方法，如下所示為貝葉斯公式[2]：

先驗(yàn)概率，人們在對事件進(jìn)行主觀判斷中得到的概率，用P（A）表示。后驗(yàn)概率，即在客觀調(diào)查的基礎(chǔ)上所修正的概率，也稱為條件概率。B事件發(fā)生情況下A事件發(fā)生的概率，A在B的條件下的概率，用P（A|B）表示。調(diào)整因子，是從先驗(yàn)概率到后驗(yàn)概率的修正，若先驗(yàn)概率為P（A），后驗(yàn)概率為P（A|B），則調(diào)整因子為P（B|A）/P（B）。當(dāng)調(diào)整因子=1時，事件A發(fā)生的概率與不受事件B影響，當(dāng)調(diào)整因子<1時，先驗(yàn)概率被削弱，當(dāng)調(diào)整因子>1時，先驗(yàn)概率得到增強(qiáng)。聯(lián)合概率，是指多個事件發(fā)生的情況下，另外一件事發(fā)生的概率[3]。聯(lián)合概率的計算公式為：

（二）貝葉斯公式的推導(dǎo)

設(shè)有事件A、B，且P（B）>0，則由條件概率公式可得：

由全概率公式可得：

將兩式聯(lián)立，即可得到貝葉斯公式

三、貝葉斯公式的應(yīng)用

（一）假陽性問題

醫(yī)療檢測是我們生活中常見的一個問題，醫(yī)療正確檢測率關(guān)乎到每個人的生命安全。運(yùn)用貝葉斯公式可以解決醫(yī)療檢測的概率問題?，F(xiàn)假設(shè)某種醫(yī)療設(shè)備的報錯率為1%，而被檢測人員只能檢測出陰性和陽性兩種情況。在被檢測人員中，有90%的人呈陰性，還有10%的人呈陽性，判斷假陽性的概率。

我們先假設(shè)事件A為呈陽性，事件B為呈陰性，則事件A的先驗(yàn)概率P（A）=10%，事件B的先驗(yàn)概率P（B）=90%。

設(shè)事件S為陽性檢出事件?？傻?/p>

在檢測人員呈陰性的條件下陽性檢出的概率P（S|B）=1%

在檢測人員呈陽性的條件下陽性檢出的概率P（S|A）=99%

由全概率公式可得

陽性檢出的先驗(yàn)概率P（S）=P（S|B）P（B）+P（S|A）P（A）=1%×90%+99%×10%=10.8%

最后由貝葉斯公式可得

P（B|S）=P（B）P（S|B）/P（S）=90%×1%/10.8%=8.333333%

P（B|S）是檢測出陽性的條件下被檢測人員為陰性的發(fā)生概率，即為假陽性的概率。

由此可見，我們直覺判斷的概率與實(shí)際的概率相差甚遠(yuǎn)，貝葉斯公式對于醫(yī)療檢測具有重要意義[4]。

（二）過濾垃圾短信

隨著手機(jī)的使用越來越普及與廣泛，手機(jī)短信成為了我們獲取信息的一種重要方式?？墒窃谌粘５纳钪校覀儏s時常碰到這樣的問題：手機(jī)信息一大堆，有許多還是垃圾短信，而對自己有用的信息卻不知怎么找，那我們該如何解決這樣的問題呢？

現(xiàn)在的手機(jī)很多都有過濾垃圾短信的功能。只要設(shè)置了這個功能，垃圾短信問題就能迎刃而解。而這個功能實(shí)質(zhì)上就是用貝葉斯公式為基礎(chǔ)來實(shí)現(xiàn)的。通過對垃圾短信特定的詞眼的分析，找到垃圾短信的標(biāo)志，從而過濾垃圾短信。再加上不斷地修正，使過濾垃圾短信的準(zhǔn)確率不斷提高。

假設(shè)現(xiàn)在有一條短信，含有“ox”詞，它為垃圾短信或正常短信，由手機(jī)的數(shù)據(jù)庫可得，在不知道有無“ox”一詞的情況下短信為垃圾短信的概率為90%，短信為垃圾短信時出現(xiàn)“ox”這個詞的概率為90%，短信為正常短信時出現(xiàn)“ox”這個詞的概率為90%，要計算出這條短信是垃圾短信的概率，就先設(shè)垃圾短信為S，正常短信為H，而用A表示出現(xiàn)“ox”這個詞的事件。

可得正常短信的先驗(yàn)概率P（H）=1-90%=10%

垃圾短信的先驗(yàn)概率P（S）=90%

在短信為垃圾短信時出現(xiàn)“ox”這個詞的概率P（A|S）=90%

短信為正常短信時出現(xiàn)“ox”這個詞的概率P（A|H）=90%

由全概率公式可得，出現(xiàn)“ox”這個詞的概率為P（A）=P（A|S）P（S）+P（A|H）P（H）=90%

由貝葉斯公式可得，在出現(xiàn)“ox”這個詞時短信為垃圾短信的概率，即這條短信是垃圾短信的概率為

P（S|A）=P（S）P（A|S）/P（A）=90%×90%/90%=90%

再結(jié)合其他詞出現(xiàn)的概率，通過聯(lián)合概率進(jìn)行再計算，手機(jī)短信正確判定率會有所提高。

假設(shè)有另外一個詞“l(fā)eap”，其中，短信為垃圾短信時出現(xiàn)“l(fā)eap”這個詞的概率為50%，短信為正常短信時出現(xiàn)“l(fā)eap”這個詞的概率為30%。

我們可以設(shè)出現(xiàn)“l(fā)eap”這個詞的事件P（B）.

那么短信為垃圾短信時出現(xiàn)“l(fā)eap”這個詞的概率P（B|S）=50%，短信為正常短信時出現(xiàn)“l(fā)eap”這個詞的概率P（B|H）=30%

由全概率公式可得P（B）=P（B|S）P（S）+P（B|H）P（H）=50%×90%+30%×10%=48%

再由聯(lián)合概率公式可得，短信為垃圾短信的概率

P=P（A）P（B）/{P（A）P（B）+[1-P（A）][1-P（B）]}=90%×48%/[90%×48%+（1-90%）×（1-48%）]=89.2562%

通過計算聯(lián)合概率，修正了短信為垃圾短信的概率。以此類推，再結(jié)合其他詞在垃圾短信和正常短信中出現(xiàn)的概率，利用全概率公式算出這些詞的先驗(yàn)概率，再用聯(lián)合概率公式求出短信為垃圾短信的概率，對概率進(jìn)行不斷修正，提高手機(jī)過濾垃圾短信的準(zhǔn)確率。

四、貝葉斯定理的優(yōu)劣

貝葉斯定理相比于傳統(tǒng)的經(jīng)典估計，以主觀性為切入點(diǎn)，有著很大優(yōu)勢。能重復(fù)估計概率并不斷修正概率，從而使概率的準(zhǔn)確率提高。貝葉斯公式的創(chuàng)造，推動了概率統(tǒng)計學(xué)的發(fā)展，并廣泛運(yùn)用于現(xiàn)代社會，在以后的社會還會有更大的用途。

但貝葉斯定理也存在著一定的局限性，因?yàn)槭且灾饔^判斷為前提，帶有較強(qiáng)的主觀性[5]。由于每個人對先驗(yàn)信息的解讀不同，得出來的先驗(yàn)概率不同，從而得出的后驗(yàn)概率也是千差萬別，這種估計的概率缺乏科學(xué)的客觀性。

五、結(jié)語

貝葉斯定理的發(fā)現(xiàn)，大大推動了概率統(tǒng)計學(xué)的發(fā)展，由原本的無法修正概率的傳統(tǒng)概率估計到可對概率進(jìn)行不斷修正的貝葉斯定理，提高了概率統(tǒng)計的實(shí)用性與可更新性。貝葉斯定理相對于傳統(tǒng)概率估計是概率統(tǒng)計學(xué)中一扇新的大門。貝葉斯定理從提出開始就在不斷的發(fā)展中，特別是到了我們今天日新月異的現(xiàn)代社會，它的用途越來越廣泛。貝葉斯定理廣泛運(yùn)用于金融、醫(yī)療、人工智能等領(lǐng)域，像貝葉斯網(wǎng)絡(luò)、貝葉斯機(jī)器學(xué)習(xí)等都得益于貝葉斯定理才能迅速發(fā)展并運(yùn)用人工智能領(lǐng)域中，為我們的生活帶來了諸多新奇與便利。隨著社會的發(fā)展，貝葉斯定理也會不斷地發(fā)展，從而貝葉斯定理也將會更好的運(yùn)用于其他領(lǐng)域和更多的新領(lǐng)域。

參考文獻(xiàn)：

[1]王麗.淺析貝葉斯公式及其在概率推理中的應(yīng)用[J].科技創(chuàng)新導(dǎo)報，2010，（24）：136-136.

[2]陶永祥.淺談全概率公式和貝葉斯公式的應(yīng)用[J].牡丹江大學(xué)學(xué)報，2009，（04）：132+135.

[3]謝宏斌.貝葉斯公式的應(yīng)用和推廣[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2017，（10）：8-8.

[4]張秀英，陳梅華.貝葉斯（Bayes）公式及其在統(tǒng)計決策中的應(yīng)用[J].河南廣播電視大學(xué)學(xué)報，2000，（01）：44-46.

[5]楊靜，陳冬，程小紅.貝葉斯公式的幾個應(yīng)用[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2011，27（02）：166-169.

（作者單位：廣東梅縣東山中學(xué)）