基于正交實(shí)驗(yàn)的主反射鏡輕量化設(shè)計(jì)

高天元，婁楠，韓旭，林鶴

（長(zhǎng)春理工大學(xué) 光電工程學(xué)院，長(zhǎng)春 130022）

空間激光通信發(fā)展迅速，相對(duì)傳統(tǒng)空間通信方式，空間激光通信具有容量大、系統(tǒng)體積小、質(zhì)量輕、功耗低、抗干擾能力強(qiáng)等特點(diǎn)［1-2］。在激光通信系統(tǒng)中，中繼系統(tǒng)多由大口徑反射式系統(tǒng)構(gòu)成，本文使用卡塞格林系統(tǒng)作為中繼系統(tǒng)。作為航空航天通信系統(tǒng)，在滿足面型精度高，熱穩(wěn)定性好的基礎(chǔ)上還需要滿足重量輕，比剛度高的要求。為實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，需要對(duì)主反射鏡進(jìn)行輕量化設(shè)計(jì)。

目前針對(duì)主反射鏡輕量化的設(shè)計(jì)大都基于經(jīng)驗(yàn)設(shè)計(jì)或者拓?fù)鋬?yōu)化法設(shè)計(jì)，這些方法都具有較大局限性，經(jīng)驗(yàn)設(shè)計(jì)無(wú)法對(duì)輕量化主反射鏡的性能進(jìn)行量化，而拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)雖然能對(duì)主反射鏡結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，卻不能同時(shí)考慮主反射鏡結(jié)構(gòu)尺寸的多個(gè)參數(shù)對(duì)主反射鏡面型及重量的影響，無(wú)法對(duì)主反射鏡結(jié)構(gòu)進(jìn)行全局優(yōu)化。例如：楊佳文采用各參數(shù)靈敏性分析的方法對(duì)主鏡進(jìn)行優(yōu)化［3］；于躍利用參數(shù)化迭代法設(shè)計(jì)法對(duì)反射鏡結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化［4］；包奇紅在對(duì)一直徑610mm的輕量化主鏡進(jìn)行設(shè)計(jì)時(shí)采用多島遺傳算法對(duì)各參數(shù)逐一進(jìn)行優(yōu)化［5］；謝杰采用有限元分析法，利用主反射鏡的變形云圖來(lái)分析各參數(shù)的對(duì)于主反射鏡面型的影響［6］；王富國(guó)在對(duì)1.2mSIC主反射鏡進(jìn)行輕量化設(shè)計(jì)時(shí)采用的是有限元法與經(jīng)驗(yàn)設(shè)計(jì)法相結(jié)合的方法［7］。

以一對(duì)多激光通信中繼系統(tǒng)中的主反射鏡作為研究對(duì)象，運(yùn)用正交實(shí)驗(yàn)的方法對(duì)不同參數(shù)組合下的主反射鏡進(jìn)行光機(jī)熱集成分析，通過(guò)有限元軟件輔助分析來(lái)對(duì)主反射鏡的各個(gè)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，通過(guò)多參數(shù)全局優(yōu)化最終得到綜合性能最優(yōu)的主反射鏡結(jié)構(gòu)。

1 主反射鏡結(jié)構(gòu)與正交實(shí)驗(yàn)方案

1.1 主反射鏡結(jié)構(gòu)

主反射鏡來(lái)源于空間用一對(duì)多激光通信中繼系統(tǒng)的主反射鏡。主反射鏡為口徑為276mm，球半徑為675mm的拋物面鏡，工作波段為近紅外波段。由于為中小口徑空間用反射鏡，因此鏡體材料擬采用SIC-CVD，SIC-CVD有比剛度高，導(dǎo)熱性能出眾，熱穩(wěn)態(tài)變形小等特點(diǎn)。

由于主反射鏡的徑厚比會(huì)對(duì)主反射鏡的應(yīng)變產(chǎn)生影響，因此引入平板實(shí)心鏡體的徑厚比Δ計(jì)算經(jīng)驗(yàn)公式［4］，對(duì)主反射鏡尺寸進(jìn)行估算：

式中，δ為鏡面允許最大變形量（按照λ=632.8nm的PV值等于10），單位為μm；g為重力加速度；ρ為材料密度，單位為kg/m3；D為主反射鏡的直徑，單位為m；E為材料的彈性模量，單位為Mpa。由此可以計(jì)算出Δ=10.12，并推算出主反射鏡的厚度約為25mm，因此在建模過(guò)程中將主反射鏡設(shè)計(jì)為中心厚度25mm。

主反射鏡的支撐擬采用背部支撐的方式，支撐點(diǎn)個(gè)數(shù)也會(huì)對(duì)鏡面的面型產(chǎn)生一定的影響，在此引入公式［4］對(duì)其進(jìn)行計(jì)算：

式中，N為支撐點(diǎn)個(gè)數(shù)；r為主反射鏡的半徑，單位為m；t為主反射鏡的厚度。由此可算出N=3.2，因此背部支撐點(diǎn)個(gè)數(shù)按照3個(gè)來(lái)設(shè)計(jì)。

此外，主反射鏡的輕量化形式擬采用背部開放式三角形孔的形式對(duì)其進(jìn)行減重，主反射鏡模型的參數(shù)化建立由SolidWorks軟件完成，如圖1所示。

圖1 主反射鏡結(jié)構(gòu)示意圖

1.2 正交實(shí)驗(yàn)方案

主反射鏡的工作環(huán)境溫度為15℃～25℃，標(biāo)準(zhǔn)工作溫度為20℃，此外，由于在地面進(jìn)行裝調(diào)與檢測(cè)，因此需要考慮1G重力釋放的工況。此物理場(chǎng)作用下有眾多因素制約著主反射鏡面型的變化大小和主反射鏡的整體重量大小，為了弄清哪些因素最為敏感，哪些因素搭配會(huì)產(chǎn)生極值，如何才能在眾多組合中選出最優(yōu)，在此引入正交實(shí)驗(yàn)的方法，來(lái)對(duì)主反射鏡的結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化。

根據(jù)主反射鏡結(jié)構(gòu)特點(diǎn)選取4因素3水平的正交表，4因素用a、b、c、d表示，其中a表示背面筋的厚度大小，單位為mm；b表示主反射鏡輕量化孔的內(nèi)切圓大小，單位為mm；c表示反射鏡面的厚度大小，單位為mm；d表示主反射鏡支撐孔的徑向位置（支撐孔的徑向位置用其圓的直徑表示），單位為mm。正交表L9(34)，如表1所示。

表1 L9(34)正交實(shí)驗(yàn)方案表

2 主反射鏡建模與支撐結(jié)構(gòu)的建立

2.1 主反射鏡建模

利用patran軟件進(jìn)行建模，由于正交實(shí)驗(yàn)需要對(duì)同一模型修改不同參數(shù)反復(fù)進(jìn)行仿真，因此將主反射鏡進(jìn)行參數(shù)化建模，鏡面與后表面的筋近似為2維單元以方便修改［8］，網(wǎng)格采用手動(dòng)劃分的形式［9］，網(wǎng)格劃分的效果如圖2所示。

圖2 主反射鏡有限元模型

2.2 約束的設(shè)立

約束的設(shè)立決定了支撐結(jié)構(gòu)的形式以及仿真時(shí)邊界條件的設(shè)立，最后將直接影響到設(shè)計(jì)優(yōu)化的結(jié)果，因此約束的設(shè)立顯得格外重要。在此引入運(yùn)動(dòng)學(xué)支撐的概念，所謂運(yùn)動(dòng)學(xué)支撐是指方案中被支撐剛體結(jié)構(gòu)的所有剛體運(yùn)動(dòng)剛好被完全限制，此時(shí)被支撐結(jié)構(gòu)與其他剛體構(gòu)件之間不存在彈性耦合［11-12］。

對(duì)于三維空間中的主反射鏡來(lái)說(shuō)有六個(gè)自由度，分別為三個(gè)平動(dòng)自由度和三個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，有多種方式可以來(lái)對(duì)主反射鏡進(jìn)行約束。主反射鏡工作環(huán)境有溫度的變化，此時(shí)由于主反射鏡材料和主反射鏡支撐底座材料的熱膨脹系數(shù)不同，二者之間存在著徑向連接位置的位移差，進(jìn)而容易產(chǎn)生應(yīng)力應(yīng)變。為了最大限度減小溫度變化引起的熱應(yīng)力，在此選擇三槽構(gòu)型對(duì)有限元模型進(jìn)行約束，三槽構(gòu)型屬于運(yùn)動(dòng)學(xué)支撐的一種形式，如圖3所示為三槽構(gòu)型的優(yōu)選方案，此時(shí)以旋轉(zhuǎn)拋物面的原點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立柱坐標(biāo)系。在設(shè)立約束時(shí)，限制其周向位移與軸向位移兩個(gè)自由度，釋放徑向位移的自由度，此時(shí)的有限元模型在溫度變化的條件下不會(huì)發(fā)生偏心：

圖3 三槽構(gòu)型約束示意圖

以光軸同拋物面的交點(diǎn)為圓心建立圓柱坐標(biāo)，對(duì)于三個(gè)支撐點(diǎn)約束其周向轉(zhuǎn)動(dòng)和軸向的平動(dòng)，釋放其徑向平動(dòng)自由度，這樣一來(lái)在工作環(huán)境溫度的變化下，允許鏡體的徑向膨脹收縮，限制了其周向轉(zhuǎn)動(dòng)以及沿光軸方向位移，在保證鏡體偏心和沿軸位移量最小的情況下最大限度地減小了鏡體所受的應(yīng)力。如圖4所示為主反射鏡變形云圖：

圖4 25℃，1G重力釋放條件下主反射鏡變形云圖（mm）

2.3 支撐結(jié)構(gòu)

盡管理想化的運(yùn)動(dòng)支撐在實(shí)際中不可能實(shí)現(xiàn)，支撐結(jié)構(gòu)仍然需要向理想運(yùn)動(dòng)模型上靠攏。若采用兩腳架的形式對(duì)主反射鏡進(jìn)行支撐，接觸部分采用撓性元件進(jìn)行連接［10］，此時(shí)的約束條件和理想條件下的三槽構(gòu)型最為接近，結(jié)構(gòu)如圖5所示。

圖5 主反射鏡兩腳架支撐結(jié)構(gòu)示意圖

3 仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果與討論

根據(jù)表1的表格中各個(gè)因素和取值，通過(guò)patran和nastran模擬仿真，計(jì)算出9種方案下的模型節(jié)點(diǎn)剛體位移。將節(jié)點(diǎn)初始坐標(biāo)與節(jié)點(diǎn)位移量導(dǎo)出，通過(guò)矢高位移法計(jì)算出工作環(huán)境下鏡面的RMS值，對(duì)比不同的方案下主反射鏡面型RMS值和輕量化程度來(lái)選取最優(yōu)的方案。定義主反射鏡輕量化比［11］為主反射鏡輕量化結(jié)構(gòu)減去的質(zhì)量占未輕量化結(jié)構(gòu)的質(zhì)量的比值，對(duì)于主反射鏡輕量化程度分析則可根據(jù)表格2中的各因素和取值，通過(guò)SolidWorks軟件對(duì)比無(wú)輕量化結(jié)構(gòu)主反射鏡和輕量化之后主反射鏡的質(zhì)量，以此來(lái)對(duì)比不同方案下主反射鏡的輕量化。

Ki為任一列上水平號(hào)為i時(shí)，對(duì)應(yīng)的結(jié)果之和，ki：ki=KiS，其中S為任一列上各水平出現(xiàn)的次數(shù)；Rk（極差）：在任一列上：

Rk=max{k1,k2,k3}-min{k1,k2,k3}。

Qi為任一列上水平號(hào)為i時(shí)，對(duì)應(yīng)的結(jié)果之和，qi：qi=Qi/S，其中S為任一列上各水平出現(xiàn)的次數(shù)；Rq（極差）：在任一列上：

Rq=max{q1,q2,q3}-min{q1,q2,q3}。

表2 25℃，1G重力釋放條件下不同組合下主反射鏡RMS值和輕量化比

表3 25℃，1G重力釋放條件下各參數(shù)RMS值水平

表4 25℃，1G重力釋放條件下各參數(shù)輕量化比水平

由于多個(gè)因素之間相互影響，因此需要將多因素結(jié)合對(duì)比，比較圖6（a）中的運(yùn)算結(jié)果中每一個(gè)因素各水平條件的均值，可以得出最優(yōu)組合為a2b2c1d2，即主反射鏡背面筋厚度為3mm；輕量化孔內(nèi)切圓大小為33mm；反射面厚度為2mm；支撐點(diǎn)徑向位置圓大小為176mm。通過(guò)該參數(shù)返回實(shí)驗(yàn)進(jìn)行建模仿真運(yùn)算，可以得出RMS值為2.961nm。此時(shí)鏡體質(zhì)量為1.855kg，輕量化比為69.038%

表3的極差分析數(shù)據(jù)表明，各因素對(duì)于主反射鏡面型變化的影響敏感程度的關(guān)系大概為d＞c＞a＞b，即主反射鏡支撐孔的徑向位置對(duì)主反射鏡面型的影響最大，隨后是主反射鏡反射面厚度，再次是主反射鏡背面筋厚度，對(duì)主反射鏡面型影響程度最小的為輕量化孔內(nèi)切圓大小。由圖6（a）參數(shù)變化趨勢(shì)可以看出在取值范圍內(nèi)，因素a主反射鏡背面筋厚度在3mm時(shí)，主反射鏡面型RMS值最??；因素b主反射鏡輕量化孔內(nèi)切圓大小在為36mm時(shí)，主反射鏡面型RMS值最??；因素c反射面厚度在2mm時(shí)，主反射鏡面型RMS值最?。灰蛩豥主反射鏡背面支撐點(diǎn)徑向位置圓大小在198mm時(shí)，主反射鏡面型RMS值最小。

圖6 各參數(shù)影響敏感程度對(duì)比折線圖

由于主反射鏡為空間激光通信基臺(tái)中繼系統(tǒng)的一部分，所以在設(shè)計(jì)之初在考慮其光學(xué)性能的同時(shí)應(yīng)兼顧其重量，因此其輕量化比也是設(shè)計(jì)優(yōu)化的一個(gè)重要參考因素。參考表4，可以得出關(guān)于輕量化比的最優(yōu)組合為a1b3c1d3，即主反射鏡背面筋厚度為2mm；輕量化孔內(nèi)切圓大小為36mm；反射面厚度為2mm；支撐點(diǎn)徑向位置圓大小為198mm，此時(shí)主反射鏡的輕量化比為77.57804%，主反射鏡重量為1.3435kg，減重量達(dá)到4.6484kg。各因素對(duì)于主反射鏡輕量化比影響大小程度的關(guān)系應(yīng)為a＞b＞c＞d，即主反射鏡背面筋厚度對(duì)主反射鏡重量影響最大，主反射鏡支撐點(diǎn)徑向位置圓大小對(duì)其影響最小。

由圖6（b）參數(shù)變化趨勢(shì)可以看出在取值范圍內(nèi)，因素a主反射鏡背面筋厚度越小，主反射鏡輕量化比最大；因素b主反射鏡輕量化孔內(nèi)切圓大小越大，主反射鏡輕量化比越大；因素c反射面厚度越小時(shí)，主反射鏡輕量化比越大；因素d主反射鏡背面支撐點(diǎn)徑向位置圓大小在198mm時(shí)，主反射鏡輕量化比最大。因素d對(duì)于主反射鏡的輕量化的影響可以忽略不計(jì)，因此主要考慮a、b、c三個(gè)因素。

通過(guò)圖6（b）比較可知，因素a（主反射鏡背面筋厚度）對(duì)于主反射鏡輕量化比影響極大，通過(guò)減小主反射鏡背面筋的厚度可以極大得減小主反射鏡的重量，所以在此可以選擇折中方案a1b2c1d2，可以保證主反射鏡的面型偏差在較小的范圍內(nèi)的同時(shí)達(dá)到相對(duì)較大的輕量化比。模擬仿真結(jié)果表明，該折中方案中主反射鏡面型的RMS值為2.976nm，相對(duì)于RMS值最小的組合面型精度差極其微小，但其輕量化比為75.029%，輕量化后質(zhì)量為1.496kg，相比RMS值最小組合的輕量化比增加了5.991%，而這些減輕的重量對(duì)于航空航天來(lái)說(shuō)擁有極其重要的意義。

4 結(jié)論

基于正交實(shí)驗(yàn)法和有限元分析軟件可以成功實(shí)現(xiàn)主反射鏡在多物理場(chǎng)下多結(jié)構(gòu)參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計(jì)。研究結(jié)果表明工作環(huán)境下，對(duì)于主反射鏡面型精度影響最敏感的因素為主反射鏡背面支撐孔位置，而影響主反射鏡輕量化比的主要因素為主反射鏡背面筋厚度。將主反射鏡面型精度最高組合同輕量化比最高組合進(jìn)行折中設(shè)計(jì)，所得的主反射鏡結(jié)構(gòu)為主反射鏡背面筋厚度為2mm；主反射鏡輕量化孔內(nèi)切圓大小為33mm；反射面厚度為2mm；主反射鏡支撐點(diǎn)徑向位置圓大小為176mm。本文闡述了一種基于正交實(shí)驗(yàn)的主反射鏡結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法，相較傳統(tǒng)的拓?fù)鋬?yōu)化法具有多因素同時(shí)優(yōu)化，實(shí)驗(yàn)過(guò)程簡(jiǎn)單的優(yōu)點(diǎn)。