雙偶數(shù)階始元幻方的同余構(gòu)造法

張 婧，劉興祥，董朦朦

(延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西延安716000)

矩陣不僅是各數(shù)學(xué)學(xué)科，而且也是許多理工學(xué)科的主要數(shù)學(xué)工具。矩陣的研究極大地推動和豐富了其他眾多學(xué)科的發(fā)展。近年來，許多學(xué)者關(guān)注幻方研究的問題，其研究成果[1-10]也相當(dāng)豐富。關(guān)于幻方的構(gòu)造已有很多種方法，本文在充分掌握了幻方定義之后，給出雙偶數(shù)階(4k階)始元幻方的一種構(gòu)造方法。

1 預(yù)備知識

定義1[1]若矩陣A=(aij)n×n∈{1，2，…，n2}n×n滿足

①?i∈{1，2，…，n}有

②?j∈{1，2，…，n}有(1 1 … 1)1×n·

③Sr=Sc=(1 1 … 1)1×n·

④當(dāng)i≠k或j≠l時，?i,j,k,l∈{1，2，…n)均有aij≠akl。

則矩陣A為n階始元和幻方，并稱S為n階始元和幻方A的幻和。

2 主要結(jié)論

定理設(shè)矩陣A=(aij)n×n∈Fn×n，

其中，集合P={0,1},Q={2,3}，則矩陣A是n(n=4k,k∈N*)階始元幻方。

證明令S={u|u≡a(mod4),a=0,1}，

T={v|v≡b(mod4),b=2,3}，

又由定理可知，當(dāng)i∈S時，矩陣A的行和滿足

32k3+2k。

同樣地，當(dāng)i∈T時，

32k3+2k。

即矩陣A的行和Sr=32k3+2k。

同理，矩陣A的列和Sc=32k3+2k。

又因?yàn)楫?dāng)i∈S時，4k+1-i∈S；當(dāng)i∈T時，4k+1-i∈T。所以

aij+a4k+1-i,n+1-i=n(n-i)+(4k+1-i)+

n(n-(4k+1-i))+(n+1-(4k+1-i))=

n2+1=

16k2+1，

ai,4k+1-i+a4k+1-i,i=16k2+1。

所以矩陣A的主對角線和與副對角線和分別為

32k3+2k。

當(dāng)i≠k或j≠l時，?i,j,k,l∈{1，2，…n}，

n(i-1)+j≠n(k-1)+l≠

n(n-i)+(n+1-j)≠n(n-k)+(n+1-l)，

即當(dāng)i≠k或j≠l時，?i,j,k,l∈{1,2,…n}均有aij≠akl。

故矩陣A為n(n=4k,k∈N*)階和幻方，簡稱n階幻方。

又?i,j,∈{1，2，…n}均有1≤(i-1)×n+j≤n2，1≤(n-i)×n+(n+1-j)≤n2，所以矩陣A中的元素滿足1≤aij≤n2，即矩陣A的元素是{1，2，…,n2}的全排列。綜上所述，矩陣A為n(n=4k,k∈N*)階始元幻方。

根據(jù)上述定理我可以寫出4階始元幻方A和8階始元幻方B如下：

3 小結(jié)

本文在充分掌握了幻方的基本知識后，運(yùn)用其元素的規(guī)律構(gòu)造了4k階始元幻方。運(yùn)用元素間基本規(guī)律構(gòu)造2k+1階幻方以及4k+2階幻方的方法有待進(jìn)一步研究。