為什么內(nèi)能是溫度的單值函數(shù)？

摘要：熱學(xué)是普通物理學(xué)的重要組成部分，而熱能在工程上的應(yīng)用也十分廣泛，所以學(xué)好熱學(xué)具有較高的實(shí)際價(jià)值。熱學(xué)的理論部分之間相互聯(lián)系并且層層遞進(jìn)，對某一理論的仔細(xì)分析與深刻認(rèn)識對于熱學(xué)的整體學(xué)習(xí)也有著促進(jìn)作用。

關(guān)鍵詞：統(tǒng)計(jì)物理學(xué) ? 熱力學(xué) ? 溫度

我們在學(xué)習(xí)普通物理熱學(xué)部分時(shí)常常聽到“內(nèi)能是溫度的單值函數(shù)”這一論斷，有時(shí)這一結(jié)論也作為理想氣體的定義內(nèi)容之一。內(nèi)能是能量，而溫度是狀態(tài)參數(shù)，將這一論斷進(jìn)一步表述也就是說對于任意一個(gè)確定的溫度（自變量）都對應(yīng)著一個(gè)確定的內(nèi)能（應(yīng)變量）。首先我們討論的對象是氣體，因?yàn)闊崮軇?dòng)力裝置的工質(zhì)大多是氣體，其次這一結(jié)論的推導(dǎo)過程都需要?dú)怏w是理想氣體，所以可以初步得出當(dāng)討論對象是理想氣體時(shí)才能運(yùn)用這一結(jié)論。下面將分三個(gè)步驟仔細(xì)分析推導(dǎo)，得出理想氣體的內(nèi)能公式。

一、什么是理想氣體

我們都知道氣體是由大量分子組成的，其密度一般要比液體和固體小得多，現(xiàn)實(shí)中的氣體是比較復(fù)雜的。理想氣體如同質(zhì)點(diǎn)一樣是一種抽象模型，實(shí)際上在現(xiàn)實(shí)中理想氣體并不存在，但是在誤差允許范圍內(nèi)一般氣體都可以近似認(rèn)為是理想氣體。我們在討論質(zhì)點(diǎn)時(shí)是忽略微小的次要因素而突出主要因素，這里也用到了同樣的思想方法。那么理想氣體具有哪些特征？

從宏觀上看，實(shí)驗(yàn)表明，一般氣體在密度不太高、壓強(qiáng)不太大（與大氣壓比較）和溫度不太低（與室溫比較）的實(shí)驗(yàn)范圍內(nèi)，滿足理想氣體物態(tài)方程：

也就是說，如果討論對象是理想氣體，則默認(rèn)該氣體在變化范圍內(nèi)都無條件服從理想氣體物態(tài)方程，不會超出常態(tài)而不再滿足該方程。

從微觀上看，理想氣體具有一定的微觀模型，主要表現(xiàn)在兩個(gè)方面：

第一個(gè)方面，理想氣體是非常多個(gè)質(zhì)點(diǎn)的無規(guī)則運(yùn)動(dòng)。

在常態(tài)下，氣體分子本身線度相比與分子間距離是十分微小的，約是分子距離的1/20。氣體分子力的作用距離很短，而且分子間表現(xiàn)為吸引力時(shí)的作用力相比于碰撞時(shí)很小，所以分子間除了相互碰撞的瞬間外可以認(rèn)為互不影響。同時(shí)氣體分子之間以及氣體分子和器壁之間的碰撞可以認(rèn)為是完全彈性碰撞，能量不會因碰撞而損失。上述微觀模型表明，理想氣體可以看做是一個(gè)分子在不斷碰撞的自由運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)系。

第二個(gè)方面，既然分子熱運(yùn)動(dòng)是一種無規(guī)則運(yùn)動(dòng)，那么它就具有一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。

氣體分子在從非平衡態(tài)達(dá)到平衡態(tài)時(shí)經(jīng)歷了分子間或與器壁間的不斷碰撞，最終達(dá)到熱運(yùn)動(dòng)平衡，而氣體分子質(zhì)量較輕，受重力影響較小，不難想象，在最終這樣一種平衡態(tài)中，氣體分子應(yīng)該是均勻分布，也就是說分子數(shù)密度處處相等。

某一個(gè)氣體分子在某一時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)速率與運(yùn)動(dòng)方向都是隨機(jī)的，由此可以得出分子速度在三個(gè)維度的平方平均值相等，即：

理想氣體的物態(tài)方程和微觀模型是我們推導(dǎo)以下公式的基礎(chǔ)，如果沒有這些條件，就不能得出最終的結(jié)果。

二、理想氣體的壓強(qiáng)

對于固體，它對另一物體的壓強(qiáng)我們一般認(rèn)為是穩(wěn)定的，不變的。那么對于氣體而言，從微觀角度看，氣體分子不斷撞擊器壁，雖然分子速度大小不一，撞擊力度不同，但是分子數(shù)足夠多，撞擊足夠頻繁，這時(shí)候在宏觀上所表現(xiàn)出來的力就近似穩(wěn)定不變，而且?guī)缀跆幪幭嗟?，這就是氣體壓強(qiáng)的微觀解釋。下面我們來具體分析決定氣體壓強(qiáng)的因素。

為方便分析，我們選取一個(gè)長方體的容器，里面充滿了N個(gè)同種氣體分子，并且已經(jīng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，它的左右兩壁面面積為ab，長度為c。下面來研究左右兩壁面的壓強(qiáng)，此時(shí)只需考慮氣體分子的水平速度分量。

首先假設(shè)容器內(nèi)只有2個(gè)氣體分子（它們在水平方向上的速度分量不為0）。如果它們之間不發(fā)生碰撞，那么會不斷與器壁發(fā)生碰撞，對器壁產(chǎn)生沖量。如果它們之間發(fā)生碰撞，那么在完全彈性碰撞之后，動(dòng)量和不變，又因?yàn)橘|(zhì)量相等，所以速度矢量和不變，兩分子與沒碰撞的情形相比較，在同一時(shí)間對器壁產(chǎn)生同樣的沖量。這就表明，不管兩分子間是否發(fā)生碰撞，它們單位時(shí)間對器壁產(chǎn)生的沖量是相等的，這一結(jié)論很容易推廣到N個(gè)氣體分子的情形，所以我們研究這一問題時(shí)可以認(rèn)為分子間無碰撞。

對于單個(gè)分子，它的質(zhì)量為m0，它在某一時(shí)刻具有的速度是v，垂直于左右兩面的分量為vx，它先和右面發(fā)生彈性碰撞，其水平動(dòng)量改變量是2m0vx，器壁受沖量為I0=2m0vx。這個(gè)分子來回撞擊一次器壁的時(shí)間為2c/vx，單位時(shí)間撞擊的次數(shù)是vx/2c，單位時(shí)間器壁平均所受沖量即平均受力為：

對于所有分子來說，單位時(shí)間器壁平均受力為：

體現(xiàn)在宏觀上，器壁所受壓強(qiáng)是均勻的，為器壁平均受力除以受力面積ab，即：

上式表明理想氣體的壓強(qiáng)與分子數(shù)密度以及分子平均平動(dòng)動(dòng)能有關(guān)。分子數(shù)密度越大，分子平均平動(dòng)動(dòng)能越大，分子撞擊器壁程度越劇烈，那么氣體的壓強(qiáng)就越大，這一結(jié)論和我們的直觀感受也一致。

這里需要明確幾點(diǎn)，雖然這一結(jié)論是由特殊的長方體容器推得，但是不難得出，對于任意形狀的容器，上述公式仍然適用。氣體產(chǎn)生的壓強(qiáng)本身是不連續(xù)，不恒定的，上式求得的是壓強(qiáng)的統(tǒng)計(jì)平均值，也就是壓強(qiáng)的微觀解釋，體現(xiàn)在宏觀上則是幾乎連續(xù)而穩(wěn)定。對于氣體內(nèi)部壓強(qiáng)則應(yīng)是各處均勻而且等于器壁所受壓強(qiáng)，因?yàn)槿绻麅?nèi)部放一無體積的器壁，仍能推出與上述一致的壓強(qiáng)公式。實(shí)驗(yàn)還得出，混合氣體的壓強(qiáng)等于容器內(nèi)只放有每一種氣體的壓強(qiáng)的代數(shù)和。

三、理想氣體的溫度

對于溫度的概念，一般的認(rèn)識是物體的冷熱程度，一個(gè)物體的溫度越高我們就說它越熱。那對于理想氣體而言它的溫度高低代表著什么？上面我們已經(jīng)導(dǎo)出了理想氣體的壓強(qiáng)公式（3），而理想氣體又是服從理想氣體物態(tài)方程（1）的，我們將這兩個(gè)式子聯(lián)立就能解出溫度關(guān)于平均平動(dòng)動(dòng)能的表達(dá)式：

其中k=R/NA=1.38×10-23J/K，是玻爾茲曼常量。這一式子告訴我們，理想氣體的溫度反應(yīng)的是氣體分子的平均平動(dòng)動(dòng)能大小，反過來也可以說溫度是氣體分子平均平動(dòng)動(dòng)能的量度。值得注意的是，這一關(guān)系式并不能直接產(chǎn)生，而是因?yàn)閺奈⒂^上導(dǎo)出了氣體的壓強(qiáng)公式，又結(jié)合宏觀上理想氣體的物態(tài)方程間接得出。如果不去考慮具體的數(shù)量關(guān)系，我們可以說理想氣體分子的平均平動(dòng)動(dòng)能和溫度一一對應(yīng)，也就是說理想氣體分子的平均平動(dòng)動(dòng)能是溫度的單值函數(shù)。

四、理想氣體的內(nèi)能

氣體分子內(nèi)部的能量稱為內(nèi)能。由氣體動(dòng)理論可以知道，氣體分子的運(yùn)動(dòng)有平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)和振動(dòng)3種。單原子分子只有3個(gè)自由度，都是平動(dòng)自由度;雙原子分子具有3個(gè)平動(dòng)自由度和2個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度;三原子以及三原子以上分子具有3個(gè)平動(dòng)自由度和3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度。對于一般氣體，常溫下沒有振動(dòng)，也就沒有振動(dòng)自由度，這里理想氣體只考慮剛性分子，即不發(fā)生振動(dòng)。

氣體動(dòng)理論又告訴我們，分子能量按照自由度平均分配，由平均平動(dòng)動(dòng)能和溫度的關(guān)系得出每個(gè)自由度分配到的能量為1/2kT。所以對于一種具有i個(gè)自由度的氣體，它的分子平均總動(dòng)能為：

這樣我們就得出分子總動(dòng)能也只是溫度的單值函數(shù)的結(jié)論，因?yàn)閷τ谝环N氣體分子它的自由度不會改變。而對于理想氣體，其內(nèi)部分子勢能相對于動(dòng)能十分微小，也就是分子勢能可以忽略不計(jì)，這也是理想氣體的定義之一。那么，對于理想氣體，它的內(nèi)能也就是內(nèi)部所有分子的總動(dòng)能之和，即：

上式告訴我們，對于一定量的理想氣體，內(nèi)能與物質(zhì)的量、自由度、溫度有關(guān)。而對于某一實(shí)際氣體，它的物質(zhì)的量和自由度都是確定的，都可以變成一個(gè)常數(shù)，只剩下一個(gè)變量T。至此，所有的推導(dǎo)得出了一個(gè)論斷，那就是“內(nèi)能是溫度的單值函數(shù)”。

五、結(jié)語

根據(jù)以上分析，我們得出這樣的結(jié)論，如果被討論的對象滿足以下三點(diǎn)：

1.該物體是氣體。氣體具有質(zhì)量小，密度小的特點(diǎn)，外場對于氣體的影響比較小，可以忽略不計(jì)，如重力場、地磁場等，氣體在短時(shí)間內(nèi)可以保持一個(gè)較好的平衡態(tài)。

2.該氣體是理想氣體。服從理想氣體物態(tài)方程，并且具有一定的微觀模型。

3.該理想氣體由剛性分子組成。物體內(nèi)能只包括內(nèi)部分子的動(dòng)能并且不考慮分子振動(dòng)。

那么我們可以作出“內(nèi)能是溫度的單值函數(shù)”這一論斷。

值得一提的是，雖然需要滿足的條件有三條，但在實(shí)際應(yīng)用中的局限性并沒有那么大，因?yàn)橐话銡怏w在常溫（或者溫度不太高且不太低）、常壓（或者壓強(qiáng)不太大且不太?。┫露寄艽笾聺M足以上條件，得出的結(jié)果誤差不會太大。而當(dāng)氣體狀態(tài)超出常態(tài)較多時(shí)我們就需要對公式進(jìn)行一定比例的修正或者用實(shí)驗(yàn)的方法測出實(shí)驗(yàn)真值。

參考文獻(xiàn)：

[1]程守洙.普通物理學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2016.

（作者簡介：顧天賜，蘇州大學(xué)文正學(xué)院在讀大學(xué)生。）