基于變式教學(xué)的數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計①——以“基本不等式”為例

鐘志華 李 渺

(1.南通大學(xué)理學(xué)院 226019；2.湖北工程學(xué)院 432000)

眾所周知，變式教學(xué)作為成熟的教學(xué)理論已成為我國數(shù)學(xué)教學(xué)的瑰寶.關(guān)于變式教學(xué)理論在數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計中的運(yùn)用也取得了非常豐碩的研究成果.本文以“基本不等式”為例，著重從情境創(chuàng)設(shè)、猜想發(fā)現(xiàn)、猜想證明、課堂小結(jié)及課后作業(yè)等方面探索如何充分發(fā)揮變式教學(xué)的指導(dǎo)作用，希望能為中學(xué)教師設(shè)計變式教學(xué)的數(shù)學(xué)課堂提供一個不一樣的視角.

1 教材地位與作用分析

不等式是數(shù)學(xué)的重要分支之一，許多數(shù)學(xué)公式、定理往往都是用不等式來表述的.因此，研究不等式的證明不僅對于不等式的學(xué)習(xí)具有十分重要的作用，而且對于其它數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)也可以起到很好的促進(jìn)作用，同時，不等式的證明在其它學(xué)科及生產(chǎn)實(shí)際中也具有非常廣泛的應(yīng)用.

而基本不等式又是不等式證明的重要基礎(chǔ)，雖然學(xué)生在此之前也學(xué)習(xí)過作差法、導(dǎo)數(shù)法等證明方法，但這些方法都有它們各自的局限性.基本不等式的學(xué)習(xí)不僅為諸如柯西不等式、冪平均不等式等重要不等式及更為復(fù)雜的不等式的證明奠定重要的知識基礎(chǔ)，而且也提供了重要的方法基礎(chǔ)，基本不等式的出現(xiàn)開辟了用不等式證明不等式的全新研究思路，為不等式的證明打開了嶄新的研究方向.

本節(jié)課選自人教A版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))教科書·數(shù)學(xué)》必修5第三章第4節(jié)第一課時，它是學(xué)生學(xué)習(xí)的第一個重要不等式.在此之前，學(xué)生已經(jīng)系統(tǒng)學(xué)習(xí)了不等式的性質(zhì)、一元一次不等式、一元二次不等式、二元一次不等式組及簡單的線性規(guī)劃問題等知識.基本不等式是對前面所學(xué)知識的進(jìn)一步深化與發(fā)展，同時也是今后學(xué)習(xí)其它更為復(fù)雜的不等式的證明、求函數(shù)的最值等知識的基礎(chǔ).在基本不等式證明過程中涉及很多重要數(shù)學(xué)思想方法，如數(shù)形結(jié)合法、等價轉(zhuǎn)換方法、分析法等，特別是分析法，它是一種十分重要的證明方法，它為數(shù)學(xué)證明提供了一種更加高效、簡潔的方法.這些方法不僅可以簡化數(shù)學(xué)證明，而且可以培養(yǎng)學(xué)生的推理能力和創(chuàng)新能力、激發(fā)學(xué)生的探究興趣、提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).綜上所述，學(xué)好本節(jié)課對今后的學(xué)習(xí)具有十分重要的作用.

2 學(xué)情分析

從已有知識和經(jīng)驗(yàn)來看，學(xué)生在此之前已經(jīng)系統(tǒng)學(xué)習(xí)了不等式的概念、性質(zhì)和一些簡單不等式的證明，對不等式的證明方法已經(jīng)有了一定的了解，同時，還學(xué)習(xí)了直角三角形的性質(zhì)與圓的性質(zhì)等知識，這些知識為本節(jié)課的學(xué)習(xí)奠定了良好的知識基礎(chǔ).另外，學(xué)生在此之前還學(xué)習(xí)了配方法、作差法及數(shù)形結(jié)合方法等數(shù)學(xué)思想方法，這些方法為基本不等式的探究與證明提供了方法上的保障.

從已有能力來看，學(xué)生經(jīng)過多年數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，已經(jīng)具備了一定的觀察能力、推理能力和思維轉(zhuǎn)換能力，只要教師啟發(fā)得當(dāng)，學(xué)生應(yīng)該是能通過觀察、分析、思考發(fā)現(xiàn)并證明基本不等式的.當(dāng)然，在基本不等式的探索發(fā)現(xiàn)過程中也會存在一定的困難，比如學(xué)生比較容易發(fā)現(xiàn)趙爽弦圖中的相等關(guān)系，而不容易發(fā)現(xiàn)其中的不等關(guān)系.另外，分析法的證明是新學(xué)內(nèi)容，對學(xué)生來說也是難點(diǎn)，在教學(xué)時要求不宜太高，只需要讓學(xué)生初步了解即可.

3 教學(xué)目標(biāo)分析

(1)理解基本不等式的內(nèi)容，能用文字語言、符號語言和圖形語言來表示基本不等式；初步了解分析法的概念、過程及其與綜合法之間的區(qū)別與聯(lián)系.

(2)經(jīng)歷基本不等式的探索發(fā)現(xiàn)與證明過程，從中體會數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法；

(3)在對“會動的趙爽弦圖”的觀察、分析、思考過程中，體驗(yàn)數(shù)學(xué)探究的樂趣，感受數(shù)學(xué)文化的歷史悠久與博大精深，激發(fā)學(xué)好數(shù)學(xué)的興趣和積極性.

設(shè)計意圖基本不等式這一節(jié)課的主要內(nèi)容是基本不等式的發(fā)現(xiàn)、證明與應(yīng)用，但由于時間所限，本節(jié)課只能講基本不等式的發(fā)現(xiàn)與證明，不能講基本不等式的應(yīng)用.因此，把理解基本不等式的內(nèi)容作為知識與技能方面的主要目標(biāo)，分析法雖然也是本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容，但由于學(xué)生剛剛接觸分析法，理解還存在一定困難，故將分析法的教學(xué)目標(biāo)定為初步了解這一層次.

4 教學(xué)重難點(diǎn)分析

(1)教學(xué)重點(diǎn)：重要不等式的發(fā)現(xiàn)與證明.

(2)教學(xué)難點(diǎn)：重要不等式的發(fā)現(xiàn)與分析法的理解.

設(shè)計意圖義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)指出，數(shù)學(xué)教學(xué)最重要的是讓學(xué)生在觀察、操作、猜想、推理、驗(yàn)證等過程中，親身體驗(yàn)如何“做數(shù)學(xué)”、如何實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)的“再創(chuàng)造”，并從中感受數(shù)學(xué)的力量.[1]而基本不等式這節(jié)課既涉及兩個不等式的發(fā)現(xiàn)又涉及到它們的證明，這些內(nèi)容難度適中、形式豐富，不僅可以充分激發(fā)學(xué)生的探究熱情，而且可以培養(yǎng)學(xué)生的探究能力，讓學(xué)生獲得探究的體驗(yàn).但這兩個不等式在本節(jié)課中的地位并非等量齊觀，因?yàn)橹灰莆樟酥匾坏仁?，那么基本不等式就迎刃而解?故將重要不等式的發(fā)現(xiàn)與證明作為本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn).

趙爽弦圖雖然學(xué)生在初中就已經(jīng)熟悉，但受思維定勢的影響，學(xué)生往往比較容易發(fā)現(xiàn)趙爽弦圖中的相等關(guān)系，而不容易發(fā)現(xiàn)其中的不等關(guān)系.因此，如何引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)大正方形面積大于四個直角三角形面積之和并進(jìn)而得出基本不等式是本節(jié)課的一大難點(diǎn)；分析法之所以是本節(jié)課的難點(diǎn)，是因?yàn)榉治龇ㄒ郧皩W(xué)生從來沒有接觸過，它需要學(xué)生對數(shù)學(xué)思維的本質(zhì)有較高的認(rèn)識，同時在運(yùn)用過程中還要特別注意“以上各步皆可逆”這一使用條件.

5 教法學(xué)法分析

(1)本節(jié)課主要采用問題解決教學(xué)法與直觀教學(xué)法來進(jìn)行教學(xué).

設(shè)計意圖問題解決教學(xué)是教師通過創(chuàng)設(shè)問題情境，讓學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的全過程.通過問題解決可以讓學(xué)生更加深刻地了解知識產(chǎn)生和獲得的全過程，并在此過程中掌握科學(xué)研究的一般方法，獲得探索發(fā)現(xiàn)的成功體驗(yàn).本節(jié)課中無論是兩個不等式的發(fā)現(xiàn)與證明，還是“當(dāng)且僅當(dāng)”、“分析法”等新概念、新方法的引入都應(yīng)該讓學(xué)生在充分探索的基礎(chǔ)上自然而然地產(chǎn)生出來，而不應(yīng)該由教師強(qiáng)加給學(xué)生.要實(shí)現(xiàn)以上目標(biāo)，教師需要在精心設(shè)計的基礎(chǔ)上由淺入深地構(gòu)建“問題串”來啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生去探索、去發(fā)現(xiàn).選擇直觀教學(xué)法是考慮到本節(jié)課中無論是重要不等式的發(fā)現(xiàn)還是基本不等式的理解都需要借助于一定的圖形直觀，同時直觀教學(xué)法還可以體現(xiàn)和培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合思想.

(2)本節(jié)課的學(xué)法主要采用自主探究與合作學(xué)習(xí)相結(jié)合的方式.

設(shè)計意圖重要不等式的發(fā)現(xiàn)與證明、基本不等式的發(fā)現(xiàn)與幾何解釋的構(gòu)建都需要學(xué)生在教師的引導(dǎo)下通過觀察、操作、思考、猜想、驗(yàn)證等途徑才能完成，這些過程采取自主探究的方式比較合適.而重要不等式的多種證法的探究、基本不等式的多種幾何解釋的提出很難依靠一兩個學(xué)生獨(dú)立完成，這就需要合作學(xué)習(xí)，需要學(xué)生在充分思考的基礎(chǔ)上通過相互交流、彼此合作才能完成.而相互交流與合作又可以促進(jìn)學(xué)生取長補(bǔ)短、共同提高.

6 教學(xué)過程設(shè)計

6.1 創(chuàng)設(shè)變式情境，培養(yǎng)提問能力

在學(xué)習(xí)勾股定理的時候，我們曾經(jīng)利用趙爽弦圖給出了勾股定理的證明.今天老師把這個趙爽弦圖做成了動畫，變成了“會動的趙爽弦圖”(向?qū)W生播放動畫)，看到這個動畫你們能提出什么問題？

設(shè)計意圖阿基米德說過，“給我一個支點(diǎn)，我可以撬起整個地球”.如果把這句話移植到數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，我們可以說數(shù)學(xué)課堂的支點(diǎn)就是情境創(chuàng)設(shè).情境創(chuàng)設(shè)不能僅僅滿足于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，而應(yīng)該把創(chuàng)設(shè)情境作為培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題能力的一種重要手段.

趙爽弦圖學(xué)生在初中時就已經(jīng)接觸到，這里采用圖形變式將傳統(tǒng)的趙爽弦圖改變?yōu)椤皶拥内w爽弦圖”，一方面可以制造“懸念”，激發(fā)學(xué)生探究的興趣；另一方面，則可以創(chuàng)設(shè)一種問題情境，引發(fā)學(xué)生提出“這個圖有什么特點(diǎn)或性質(zhì)？”“趙爽弦圖在變化過程中有沒有什么性質(zhì)保持不變？”等一系列問題.同時，它還可以讓學(xué)生在圖形的運(yùn)動變化過程中更好地把握事物的本質(zhì)、感受“變化中的不變性”這一重要數(shù)學(xué)思想.

當(dāng)然，要學(xué)生一下子就能發(fā)現(xiàn)動畫中的不等關(guān)系可能還存在一定困難，因?yàn)?，學(xué)生在過去接觸得比較多的主要是相等關(guān)系.這時，教師不必急于把學(xué)生的思維馬上拽回來，不妨先讓學(xué)生自由探索，他們可能會發(fā)現(xiàn)圖中的相等線段、相等角、全等三角形等等，待學(xué)生探索到一定程度以后，教師可以適時給予總結(jié)并順勢提出進(jìn)一步探索的問題：“同學(xué)們剛才通過探索發(fā)現(xiàn)了圖中的許多相等關(guān)系，那我們還能提出什么問題呢？”將學(xué)生的思維自然而然地引向趙爽弦圖中的不等關(guān)系的探索.

6.2 設(shè)計變式問題，啟發(fā)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)

如果學(xué)生在教師的啟發(fā)引導(dǎo)下能提出“圖中存在不存在不等關(guān)系？”，那么教師可以追問“我們應(yīng)該從什么方面去考慮呢？”如果學(xué)生在教師的啟發(fā)下還不能提出這一問題，這時教師可以直接提問學(xué)生“在會動的趙爽弦圖中，我們是否可以找到某種確定的不等關(guān)系呢？”將學(xué)生的思維引向?qū)D中不等關(guān)系的探索.

在探究不等關(guān)系的過程中，學(xué)生可能會將注意力集中到邊與邊之間的不等關(guān)系，這時教師要適時引導(dǎo)學(xué)生把思維轉(zhuǎn)向面積之間關(guān)系的研究，比如教師可以這樣提問學(xué)生，“這些關(guān)系我們過去都研究過，同學(xué)們再看看有沒有新的發(fā)現(xiàn)？”或“我們剛才一直都在研究線段之間的關(guān)系，同學(xué)們能不能換個角度再來進(jìn)行研究？”經(jīng)過這樣的啟發(fā)，學(xué)生一般都能想到研究圖中面積之間的不等關(guān)系.如果還是想不到，此時可以提問學(xué)生在證明勾股定理時考慮的是什么？或直接提示“面積”二字.

在探究面積之間的不等關(guān)系時，學(xué)生可能會說出“大正方形面積大于小正方形面積”、“大正方形面積大于每一個直角三角形面積”、“大正方形面積大于四個直角三角形面積之和”等多種不同答案.這時教師不應(yīng)急于對學(xué)生的結(jié)果進(jìn)行評判，而應(yīng)該先對學(xué)生的探索發(fā)現(xiàn)加以肯定和鼓勵，然后再提出“你們覺得這些結(jié)果中哪個結(jié)論最有價值？”這樣的問題，順勢地把評價的權(quán)利交還給學(xué)生.

經(jīng)過這樣的啟發(fā)以后，學(xué)生一般都能發(fā)現(xiàn)“大正方形的面積永遠(yuǎn)大于四個直角三角形的面積之和”這一結(jié)論最有價值.此時，教師可以進(jìn)一步追問學(xué)生“一定大于嗎？”讓學(xué)生意識到還有相等情況存在，如果學(xué)生發(fā)現(xiàn)不了，教師可以通過動畫將“會動的趙爽弦圖”中的小正方形縮成一點(diǎn)來啟發(fā)學(xué)生.

在學(xué)生得出重要不等式的文字表達(dá)形式以后，教師還可以進(jìn)一步追問學(xué)生“這個結(jié)論能不能用數(shù)學(xué)符號來表示？”“如果可以，那又該怎么表示？”引導(dǎo)學(xué)生得出重要不等式的符號表征——a2+b2≥2ab.這樣設(shè)計的意圖是通過語言變式來促進(jìn)學(xué)生從多角度來理解重要不等式.

在引入“當(dāng)且僅當(dāng)”這一術(shù)語時，教師可以通過“等號什么時候成立？”“在其它情況下等號成不成立？”這兩個問題讓學(xué)生弄清楚“當(dāng)a=b時取等號”與“僅當(dāng)a=b時取等號”分別表示“由a=b?a2+b2=2ab”與“由a2+b2=2ab?a=b”這兩個完全互逆的思維過程，而“當(dāng)且僅當(dāng)”表示的則是這兩種思維過程的結(jié)合體，所以要用“且”這個詞將“當(dāng)”與“僅當(dāng)”連在一起.

設(shè)計意圖著名數(shù)學(xué)家哈爾莫斯有句名言“問題是數(shù)學(xué)的心臟”.愛因斯坦也曾經(jīng)指出，提出一個問題往往比解決一個問題更重要.可見，無論是在教學(xué)還是在科學(xué)研究中都離不開問題.事實(shí)上，在數(shù)學(xué)探究教學(xué)中，無論是情境的創(chuàng)設(shè)、猜想的發(fā)現(xiàn)還是猜想的證明都需要問題來引導(dǎo)，若沒有各種可供解決的問題存在,或沒有解決問題的行為的產(chǎn)生，探究也就無從談起.為了更好地啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行探究，本設(shè)計在猜想發(fā)現(xiàn)這一環(huán)節(jié)由淺入深地設(shè)計了環(huán)環(huán)相扣的10個問題，目的是希望通過教師循循善誘的引導(dǎo)讓學(xué)生主動探究、主動發(fā)現(xiàn)猜想.

6.3 利用解法變式，拓展思維空間

發(fā)現(xiàn)猜想以后自然就要證明.這時教師可以順勢提出“有誰能夠證明這個不等式嗎？”根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生一般會采用作差法來進(jìn)行證明，如果學(xué)生還有困難，教師可以提醒學(xué)生，“過去我們證明不等式一般采用什么方法？”讓學(xué)生通過回憶想到利用作差法來進(jìn)行證明.接著，教師可以進(jìn)一步提問學(xué)生，“除了作差法，還有其他想法嗎？”

設(shè)計意圖因?yàn)樵趯W(xué)生記憶中證明不等式常用的方法就是作差法，讓學(xué)生說出想法或思路是為后面引出分析法證明做鋪墊.此時，如果學(xué)生有想法，則可以讓學(xué)生將自己的思考過程在黑板上寫下來；如果學(xué)生沒有想法，教師可以帶領(lǐng)學(xué)生對要證明的不等式進(jìn)行分析：我們解題時常用的思路一般有兩種，一是從條件出發(fā)去推導(dǎo)結(jié)論，二是從結(jié)論出發(fā)去尋找結(jié)論滿足的條件.這兩種方法分別稱為“由因溯果法”和“執(zhí)果索因法”.而且一般來說，如果從條件推結(jié)論比較容易，就采用“由因溯果法”，反之，則采用“執(zhí)果索因法”.就本題而言，由于題目當(dāng)中沒有任何條件，因此，在進(jìn)行證明時不得不從結(jié)論出發(fā)來進(jìn)行思考.從而引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入下面的探究過程：

同學(xué)們，我們來看結(jié)論，要證a2+b2≥2ab這個不等式，根據(jù)不等式的基本性質(zhì)就是要證明a2+b2-2ab≥0，將式子配方，就是要證明(a-b)2≥0.而式子的左邊是完全平方式，當(dāng)然成立.這樣，我們在進(jìn)行證明時，就可以先從(a-b)2≥0出發(fā)，然后將左邊展開，最后再通過移項(xiàng)即可得到a2+b2≥2ab.

在證明完成以后，教師應(yīng)及時對這兩種思考問題的過程進(jìn)行比較、總結(jié)并在此基礎(chǔ)上提出“分析法”、“綜合法”這兩個概念.在此過程中，教師可以向?qū)W生介紹分析法產(chǎn)生的由來：許多數(shù)學(xué)家們一開始也像大家一樣，先從結(jié)論出發(fā)來分析解題的思路，然后再把分析過程顛倒過來書寫證明過程.后來，有的數(shù)學(xué)家就開始思考，每次這樣來回折騰太麻煩，有沒有更簡單的書寫方法呢？于是，聰明的數(shù)學(xué)家就想到一個巧妙的“偷懶”辦法，那就是先檢查一下原來的分析過程是不是都能倒回去，如果可以就直接在證明分析結(jié)束時加上“以上各步皆可逆”，就可作為一種證明方法了.

設(shè)計意圖由學(xué)生說出的思路來引出分析法，體現(xiàn)了學(xué)生在課堂中的主體性，這不僅可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，而且可以加深對分析法的理解.揭示分析法的產(chǎn)生原因，一方面可以讓學(xué)生充分認(rèn)識分析法的本質(zhì)，讓學(xué)生真正認(rèn)識到為什么在用分析法進(jìn)行證明時要加上“以上各步皆可逆”這句話，明確分析法在什么時候能用、什么時候不能用.避免在實(shí)際運(yùn)用過程中生搬硬套，不仔細(xì)檢查是否真的“以上各步皆可逆”，而僅僅把它作為一句套話.另一方面，則可以讓學(xué)生更好地了解數(shù)學(xué)家的思維過程，破除學(xué)生對數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)研究的神秘感，激發(fā)學(xué)生研究數(shù)學(xué)的積極性.這樣，通過解法變式，不僅可以拓展學(xué)生的思維空間，而且可以克服學(xué)生的思維定勢.

6.4 借助語言變式，引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)新知

著名數(shù)學(xué)家波利亞在介紹解題方法時曾經(jīng)有一句名言：“不斷變換你的問題”.美國著名教育學(xué)家布魯納也曾經(jīng)將轉(zhuǎn)化看作是學(xué)習(xí)的三個重要過程之一.可見，變換在學(xué)習(xí)中的重要性.在我國數(shù)學(xué)教育界，體現(xiàn)變換思想的變式教學(xué)一直被認(rèn)為是我國數(shù)學(xué)教育的優(yōu)良傳統(tǒng).因此，在學(xué)生學(xué)習(xí)了重要不等式以后，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生對所學(xué)知識進(jìn)行變形并主動與已有知識建立聯(lián)系.這不僅有助于深化學(xué)生對新知識的理解，同時也有助于促進(jìn)知識的遷移與應(yīng)用.此時，教師可以適時向?qū)W生提出如下問題：“在學(xué)習(xí)新知識的時候，我們往往喜歡將未知的形態(tài)轉(zhuǎn)化為自己熟悉的形態(tài)，很明顯，這個重要不等式x2+y2≥2xy的左邊和右邊我們并不熟悉，那我們能不能做一些工作，使得不等式兩邊變成我們熟悉的樣子呢？”

設(shè)計意圖以化歸思想引出基本不等式，不僅符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，而且自然而然地達(dá)到承前啟后的效果.同時，對以后進(jìn)一步學(xué)習(xí)不等式的證明及其它數(shù)學(xué)知識也有十分重要的指導(dǎo)作用.

得到基本不等式以后，教師還可以繼續(xù)提問學(xué)生“這個不等式還可以用文字語言和圖形語言來表示嗎？”“如果可以，那應(yīng)該怎么表示？”讓學(xué)生進(jìn)一步用文字語言和圖形語言來表示基本不等式.

基本不等式的文字語言表示對學(xué)生來說并不存在多大困難.幾何解釋雖然有很多，但學(xué)生并不容易想到.此時，教師可以通過“我們以前在什么圖形中見到過兩條線段的算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)(比例中項(xiàng))？”來啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行聯(lián)想.如果學(xué)生還有困難，教師可以降低要求，向?qū)W生呈現(xiàn)圖形并引導(dǎo)學(xué)生思考“你能看出圖中的基本不等式嗎？”來讓學(xué)生找到基本不等式的幾何解釋.

設(shè)計意圖提出用文字語言和圖形語言來表示基本不等式的目的是讓學(xué)生從不同的側(cè)面理解不等式.這不僅有助于學(xué)生深化對基本不等式的理解，而且為后面學(xué)習(xí)基本不等式的應(yīng)用打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).同時，也有助于滲透數(shù)形結(jié)合思想、多元表征思想及變式教學(xué)思想.至于基本不等式的證明雖然也是本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，但由于與重要不等式的證明非常類似，這里再講就會顯得多余.基本不等式的證明可以放在之后的練習(xí)中，讓學(xué)生自己嘗試證明，這樣效果會更好.

6.5 利用變式思想，優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)

提問：這節(jié)課我們學(xué)了哪些重要知識和方法？有什么收獲與體會？

設(shè)計意圖由于本節(jié)課的新學(xué)內(nèi)容比較多，教師可以通過適當(dāng)引導(dǎo)讓學(xué)生從兩個不等式的三種語言表征、三種證明方法及其背后蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法、兩個不等式之間的區(qū)別與聯(lián)系等方面對本節(jié)課所學(xué)的內(nèi)容進(jìn)行總結(jié).

這樣設(shè)計一方面可以讓學(xué)生通過回顧系統(tǒng)梳理本節(jié)課的知識要點(diǎn)，促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的優(yōu)化；另一方面，可以培養(yǎng)學(xué)生善于反思、善于總結(jié)的習(xí)慣.讓學(xué)生說出學(xué)習(xí)后的收獲與體會，學(xué)生既可以從探究發(fā)現(xiàn)過程中所獲得的成就感和喜悅感等方面來闡述，也可以從分析法的起源了解數(shù)學(xué)家的所思所想，學(xué)會像數(shù)學(xué)家那樣去思考，激發(fā)數(shù)學(xué)研究的積極性.這不僅可以提升學(xué)生的發(fā)散思維能力，而且可以培養(yǎng)學(xué)生良好的情感態(tài)度價值觀并在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

6.6 呈現(xiàn)變式圖形，引發(fā)課后探究

課后作業(yè)：如下圖，PA=a，PB=b.你能找到基本不等式的幾何解釋嗎？還能找到哪些線段之間的不等關(guān)系？能用不等式表示出來嗎？

設(shè)計意圖呈現(xiàn)這一圖形，一方面可以讓學(xué)生了解基本不等式的多種幾何解釋，另一方面則可以讓學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識探索冪平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)與算術(shù)平均數(shù)、幾何平均數(shù)之間的關(guān)系，進(jìn)一步開拓思路、擴(kuò)大視野.