面向信息安全的離散數(shù)學(xué)理實(shí)一體教學(xué)探索

孫登第　丁轉(zhuǎn)蓮　程凡

摘要：信息安全專業(yè)是近年來興起的信息科學(xué)新分支，具有交叉性、前沿性、應(yīng)用性等顯著特征。論文面向信息安全專業(yè)的核心基礎(chǔ)課程——離散數(shù)學(xué)展開理實(shí)一體教學(xué)模式探索，以理論教學(xué)為基礎(chǔ)、以實(shí)踐應(yīng)用為主線貫穿離散數(shù)學(xué)教學(xué)過程。通過教學(xué)體系、教學(xué)方法、教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)實(shí)踐四個(gè)階段相互關(guān)聯(lián)，逐層推薦，形成信息安全專業(yè)的離散數(shù)學(xué)教學(xué)體系，為信息安全其他課程奠定堅(jiān)實(shí)的理論與實(shí)踐基礎(chǔ)。

關(guān)鍵詞：信息安全;離散數(shù)學(xué); 教學(xué)實(shí)踐;課程體系

中圖分類號(hào)：G642 ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1009-3044（2019）13-0121-02

Abstract： Information security major is a new branch of information science in recent years. This paper is aimed at the core basic course of information security， discrete mathematics， and explores the theory-practice integration teaching mode， which consisted of four stages： teaching system， teaching method， teaching content and teaching practice. The four stages performs layer by layer to form the discrete mathematics teaching system， and lay a solid theoretical and practical foundation for other courses for information security major.

Key words： information security; discrete mathematics; teaching practice; curriculum system

1 引言

離散數(shù)學(xué)研究離散對(duì)象的存在、計(jì)數(shù)、結(jié)構(gòu)及其相互關(guān)系，其思想與方法體系廣泛地體現(xiàn)在以計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)為代表的信息科學(xué)諸多領(lǐng)域中[1]。從科學(xué)計(jì)算到信息處理、從理論計(jì)算機(jī)到計(jì)算機(jī)應(yīng)用技術(shù)、從計(jì)算機(jī)軟件到計(jì)算機(jī)硬件、從人工智能到認(rèn)知系統(tǒng)，無不與離散數(shù)學(xué)密切相關(guān)。在此背景下，自80年代國(guó)內(nèi)外高校紛紛獨(dú)立設(shè)置信息類專業(yè)以來，離散數(shù)學(xué)課程就成為信息科學(xué)的許多專業(yè)課程，如數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、操作系統(tǒng)、編譯原理、數(shù)據(jù)庫(kù)、算法設(shè)計(jì)、計(jì)算機(jī)組成、人工智能等必不可少的先行課程，旨在通過離散數(shù)學(xué)的教學(xué)使學(xué)生具備處理離散數(shù)據(jù)與結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)方法與計(jì)算工具，為后續(xù)課程的學(xué)習(xí)創(chuàng)造先行條件，同時(shí)提高學(xué)生抽象思維和嚴(yán)密的邏輯推理能力，為將來參與創(chuàng)新性的研究和開發(fā)工作打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)[1，2]。

近年來，隨著信息技術(shù)與大數(shù)據(jù)的迅猛發(fā)展，社會(huì)大步邁入了網(wǎng)絡(luò)時(shí)代。然而，互聯(lián)網(wǎng)在為人們提供極大便利的同時(shí)也帶來了不可忽視的負(fù)面沖擊，使得信息安全問題日益凸顯，嚴(yán)重威脅著經(jīng)濟(jì)社會(huì)的健康、穩(wěn)定和可持續(xù)發(fā)展[3，4]。因此，社會(huì)的網(wǎng)絡(luò)化迫切需要對(duì)信息安全開展系統(tǒng)性的研究和探索，并由此促使信息安全理論與技術(shù)不斷進(jìn)步、完善，逐步成長(zhǎng)為信息科學(xué)中一個(gè)重要的新分支——“信息安全”學(xué)科，形成自身的學(xué)科體系。在信息安全學(xué)科專業(yè)課程體系中，離散數(shù)學(xué)課程具有至關(guān)重要的作用，直接為信息安全核心課程提供邏輯基礎(chǔ)與算法、協(xié)議支持，影響信息安全知識(shí)體系構(gòu)建。

然而，通過調(diào)研得知，現(xiàn)階段國(guó)內(nèi)高校離散數(shù)學(xué)課程教學(xué)普遍存在著“重理論、輕實(shí)踐”的問題，即過分強(qiáng)調(diào)理論的推演、證明，而忽視了所學(xué)知識(shí)在現(xiàn)實(shí)中的應(yīng)用實(shí)踐。這種不均衡的教學(xué)模式顯然不利于信息安全專業(yè)的教學(xué)與人才培養(yǎng)。信息安全是一門理論與應(yīng)用兼顧的新興學(xué)科，它要求學(xué)生即要有深厚的密碼學(xué)基礎(chǔ)，又要具備很強(qiáng)的實(shí)踐操作能力。離散數(shù)學(xué)作為信息安全的專業(yè)核心課程具有知識(shí)點(diǎn)密集且相互交織、背景理論涉及面廣、具體應(yīng)用不突出的特點(diǎn)。這使得信息安全專業(yè)的本科生剛一接觸離散數(shù)學(xué)即覺得深?yuàn)W、晦澀、難以理解，導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)積極性不高，進(jìn)一步影響了后續(xù)課程的學(xué)習(xí)與系統(tǒng)培養(yǎng)，因此必須形成“理實(shí)一體”的離散數(shù)學(xué)教學(xué)模式，同時(shí)兼顧理論與實(shí)踐，支撐信息安全專業(yè)課程體系。

2 信息安全離散數(shù)學(xué)理實(shí)一體教學(xué)探索

鑒于離散數(shù)學(xué)在信息安全專業(yè)教學(xué)中的巨大作用，本文將從離散數(shù)學(xué)教學(xué)體系、教學(xué)方法、教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)實(shí)踐四個(gè)方面分別展開論述，以形成面向信息安全的離散數(shù)學(xué)理論與實(shí)踐一體化教學(xué)模式。

2.1 解析專業(yè)內(nèi)涵，優(yōu)化課程教學(xué)體系

離散數(shù)學(xué)的基本思想、基本理論與方法已經(jīng)滲透在信息安全專業(yè)的各個(gè)方面中，因此必須深挖信息安全專業(yè)內(nèi)涵，從中提煉出分散的離散數(shù)學(xué)知識(shí)，并以此優(yōu)化離散課程教學(xué)體系為能實(shí)現(xiàn)對(duì)信息安全專業(yè)教學(xué)的可靠支撐。與經(jīng)典的連續(xù)數(shù)學(xué)不同，離散數(shù)學(xué)所包含的內(nèi)容更為龐雜廣博，糅合了集合論、代數(shù)學(xué)等多門數(shù)學(xué)學(xué)科中有關(guān)離散對(duì)象的概念內(nèi)容。學(xué)界通常將其歸結(jié)為數(shù)理邏輯、集合論、代數(shù)結(jié)構(gòu)和圖論四部分。在傳統(tǒng)的離散數(shù)學(xué)教學(xué)中，各部分內(nèi)容逐章講述，缺乏側(cè)重點(diǎn)，授課內(nèi)容一般僅停留在書本知識(shí)表面，內(nèi)容較為淺顯，缺乏知識(shí)點(diǎn)背后的進(jìn)一步延伸與下層應(yīng)用能力。這種源自傳統(tǒng)數(shù)學(xué)學(xué)科的單層教學(xué)模式只要求學(xué)生掌握最基本的普遍理論與通用性方法，而對(duì)處于前沿工程領(lǐng)域的信息安全專業(yè)，顯然無法滿足學(xué)生知識(shí)擴(kuò)展與實(shí)踐應(yīng)用要求。因此，必須對(duì)離散數(shù)學(xué)課程教學(xué)體系層次化，在每部分的教學(xué)中逐層深入[5，6]，形成基礎(chǔ)知識(shí)——擴(kuò)展知識(shí)——前沿研究——實(shí)踐應(yīng)用四個(gè)層面的教學(xué)體系，具體示例如下。

數(shù)理邏輯——基礎(chǔ)知識(shí)（命題邏輯、謂詞邏輯和推理理論等）——擴(kuò)展知識(shí)（邏輯運(yùn)算、位運(yùn)算）——前沿研究（形式邏輯、智能算法）——實(shí)踐應(yīng)用（搜索引擎、硬件設(shè)計(jì)）

集合論——基礎(chǔ)知識(shí)（集合、關(guān)系和函數(shù)等）——擴(kuò)展知識(shí)（容斥、序列）——前沿研究（運(yùn)籌、密碼）——實(shí)踐應(yīng)用（最優(yōu)調(diào)度、軟件測(cè)試、公鑰）

代數(shù)系統(tǒng)——基礎(chǔ)知識(shí)（代數(shù)、半群、群、環(huán)、域等）——擴(kuò)展知識(shí)（置換群、李群）——前沿研究（近世代數(shù)）——實(shí)踐應(yīng)用（加密算法）

圖論——基礎(chǔ)知識(shí)（圖、路徑、回路、樹等）——擴(kuò)展知識(shí)（匹配、著色、支撐、覆蓋）——前沿研究（圖論應(yīng)用）——實(shí)踐應(yīng)用（指令優(yōu)化、路徑尋優(yōu)）

通過上述分層式的教學(xué)體系建設(shè)，形成更為廣大的教學(xué)參考空間，更為豐富、有效的問題解決方案，促進(jìn)學(xué)生專業(yè)思維理念的形成。

2.2融入專業(yè)知識(shí)，精選理論課程內(nèi)容

離散數(shù)學(xué)在信息安全專業(yè)的整個(gè)課程體系中具有極其重要的地位，與后續(xù)專業(yè)課程聯(lián)系極為密切。然而，當(dāng)前的信息安全專業(yè)教學(xué)往往將離散數(shù)學(xué)與其他相關(guān)課程嚴(yán)格區(qū)分開來，強(qiáng)調(diào)離散數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)理論講授，而不涉及與其緊密相關(guān)的信息安全知識(shí);其他課程只講授應(yīng)用問題與方法，而缺乏理論背景與基本原理，這無疑造成了信息安全專業(yè)教學(xué)中的知識(shí)割裂，加劇了課程體系的碎片化、斷層化。通過長(zhǎng)期的教學(xué)研究與調(diào)研發(fā)現(xiàn)，針對(duì)信息安全專業(yè)具體性、實(shí)用性的教學(xué)需求，可以從以下兩個(gè)方面優(yōu)化調(diào)整離散數(shù)學(xué)課程內(nèi)容。

首先，根據(jù)教學(xué)大綱的要求，離散數(shù)學(xué)的教學(xué)要為信息安全專業(yè)的學(xué)生提供數(shù)學(xué)、邏輯、算法等方面的策略、思維與技術(shù)支持，提高學(xué)生解決信息安全實(shí)際問題的能力。因此，離散數(shù)學(xué)的課程內(nèi)容必須與其他課程密切結(jié)合起來，形成橫向的課程關(guān)聯(lián)，如圖1所示。在此基礎(chǔ)上，依據(jù)其他課程與實(shí)際專業(yè)需求進(jìn)一步調(diào)整、精選離散數(shù)學(xué)課程內(nèi)容使其更具兼容性。這種調(diào)整也可以與前述課程教學(xué)體系的層次優(yōu)化相結(jié)合，互為依托。以滿足信息安全專業(yè)建設(shè)需求。

其次，離散數(shù)學(xué)是大學(xué)初期的計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)類課程，其主要內(nèi)容，如集合論、代數(shù)系統(tǒng)等與先行課程“線性代數(shù)”和后續(xù)課程“組合數(shù)學(xué)”是一脈相承的，這些課程共同形成信息安全專業(yè)的數(shù)學(xué)體系，因此在離散數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容也必須體現(xiàn)這種縱向關(guān)聯(lián)。值得注意的是，前述離散數(shù)學(xué)課程教學(xué)體系調(diào)整也是強(qiáng)調(diào)課程內(nèi)容的線性排布與逐層深入，這與離散數(shù)學(xué)的縱向教學(xué)恰好一致，可以進(jìn)一步加深課程內(nèi)部關(guān)聯(lián)與外延擴(kuò)展，增強(qiáng)信息安全專業(yè)的學(xué)生對(duì)相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)的系統(tǒng)掌握，形成前后連貫、層次分明的數(shù)學(xué)理論體系。

2.3 創(chuàng)新教學(xué)方法，調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性

傳統(tǒng)的離散數(shù)學(xué)教學(xué)注重理論知識(shí)的傳授，而忽略應(yīng)用實(shí)踐。針對(duì)信息安全專業(yè)課程的研究性、前沿性特點(diǎn)，在離散數(shù)學(xué)的教學(xué)環(huán)節(jié)中要充分調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性與主動(dòng)性，借助啟發(fā)式教學(xué)法、情景式教學(xué)法、講座式教學(xué)法等行之有效的交房方法，講教結(jié)合，強(qiáng)調(diào)知識(shí)與能力并進(jìn)，引導(dǎo)學(xué)生自主思考，形成以學(xué)生為中心，課堂講授、廣泛閱讀和自我探索相結(jié)合的教學(xué)方法體系，使學(xué)生不僅掌握信息安全基本知識(shí)，還能把握信息安全背景與發(fā)展趨勢(shì)、了解信息安全前沿?zé)狳c(diǎn)、具備創(chuàng)新意識(shí)與知識(shí)更新能力。

針對(duì)信息安全專業(yè)課程的實(shí)用性、工具性特點(diǎn)，在離散數(shù)學(xué)的教學(xué)中還要注重融入知識(shí)應(yīng)用，借助案例教學(xué)的方式提升抽象知識(shí)的具體化講述。例如，在密碼學(xué)中，凱撒密碼是一種最簡(jiǎn)單且最廣為熟知的加密技術(shù)[7]。它通過簡(jiǎn)單的替換原理將明文中的所有字母都在字母表上進(jìn)行向后（或者向前）的偏移移動(dòng)，將明文替換為密文，而其中人為確定的偏移量即是凱撒密碼中的加解密密鑰K。比如，偏移量為3，字母A將被字母D替換，而其中的K為3，即密鑰是3。其他的字母加密以此類推即可。解密的時(shí)候倒推回去即可。在離散數(shù)學(xué)的代數(shù)系統(tǒng)理論中，群是具有封閉性、可結(jié)合性、含幺元以及每個(gè)元素都具有逆元的代數(shù)結(jié)構(gòu)。凱撒密碼從本質(zhì)上說就是建立在26個(gè)字母之上，利用字母與密鑰進(jìn)行運(yùn)算的剩余模群。通過對(duì)群理論的學(xué)習(xí)和實(shí)驗(yàn)操作，可以極大地加深學(xué)生對(duì)代數(shù)結(jié)構(gòu)理論知識(shí)與凱撒密碼典型案例的理解。再比如公鑰密碼學(xué)中，費(fèi)馬小定理和歐拉定理為其提供了數(shù)學(xué)上的安全性保障。通過案例學(xué)習(xí)，有助于學(xué)生掌握相關(guān)離散數(shù)學(xué)定理，并更好地理解算法安全性與應(yīng)用機(jī)制。

2.4 貫穿實(shí)踐應(yīng)用，推動(dòng)理實(shí)一體

實(shí)踐教學(xué)是信息安全專業(yè)離散數(shù)學(xué)教學(xué)的新要求。傳統(tǒng)的離散數(shù)學(xué)教學(xué)主要通過口頭講授，缺乏學(xué)生實(shí)踐與師生互動(dòng)。面對(duì)信息安全領(lǐng)域的快速發(fā)展與實(shí)用需求，單方面的理論課程難以達(dá)到預(yù)期效果，無法形成覆蓋學(xué)、研、做、用的立體教學(xué)體系。因此，為適應(yīng)信息安全專業(yè)發(fā)展需求，必須建立離散數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課程，將應(yīng)用實(shí)踐貫穿于離散數(shù)學(xué)教學(xué)當(dāng)中。目前，國(guó)內(nèi)外高校在離散數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課設(shè)置方面還都處于摸索階段，可借鑒的成熟例子非常有限，本文將在這方面展開如下探索。

離散數(shù)學(xué)的實(shí)驗(yàn)教學(xué)可以分為實(shí)驗(yàn)、實(shí)訓(xùn)和實(shí)戰(zhàn)三個(gè)環(huán)節(jié)。首先，在日常的理論課后輔以實(shí)驗(yàn)教學(xué)，重新調(diào)整離散數(shù)學(xué)課程配置，設(shè)置一批針對(duì)信息安全的實(shí)驗(yàn)內(nèi)容，并修訂、編寫相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)指導(dǎo)教案與教學(xué)課件。其次，依據(jù)離散數(shù)學(xué)主要內(nèi)容，在數(shù)理邏輯、集合論、代數(shù)結(jié)構(gòu)和圖論四個(gè)階段的理論和實(shí)驗(yàn)教學(xué)介紹后，各安排若干與階段學(xué)習(xí)內(nèi)容相關(guān)的驗(yàn)證性、綜合性實(shí)訓(xùn)課題，鞏固階段性的理論與實(shí)驗(yàn)教學(xué)[8]。最后，在高?，F(xiàn)有本科教學(xué)實(shí)驗(yàn)室基礎(chǔ)上，通過校企合作、共建實(shí)習(xí)基地等教學(xué)平臺(tái)，開展具有一定真實(shí)應(yīng)用價(jià)值的大型實(shí)戰(zhàn)訓(xùn)練，瞄準(zhǔn)當(dāng)前信息安全領(lǐng)域前沿問題，嘗試給出基于離散數(shù)學(xué)知識(shí)的解決方案與算法程序，以培養(yǎng)學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通，綜合實(shí)踐的能力。此外，還可以依托“信息安全”專業(yè)各類競(jìng)賽，對(duì)學(xué)生從離散數(shù)學(xué)理論知識(shí)到編程實(shí)踐進(jìn)行系統(tǒng)訓(xùn)練，充分鍛煉學(xué)生抽象知識(shí)與創(chuàng)新運(yùn)用能力。

3 結(jié)束語(yǔ)

當(dāng)前，隨著大數(shù)據(jù)、云計(jì)算、人工智能等新技術(shù)的不斷涌現(xiàn)，信息安全日趨重要，促使國(guó)內(nèi)外高校紛紛獨(dú)立設(shè)置信息安全專業(yè)，并受到廣大學(xué)子青睞。如何建設(shè)系統(tǒng)知識(shí)齊備、實(shí)踐應(yīng)用深厚的信息安全專業(yè)，是擺在信息科學(xué)高等教育面前的重要問題。本文詳細(xì)闡述了面向信息安全的離散數(shù)學(xué)課程教學(xué)模式改革思路，通過教學(xué)體系、教學(xué)方法、教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)實(shí)踐四個(gè)層次相互關(guān)聯(lián)，逐層推進(jìn)，搭建離散數(shù)學(xué)理論與實(shí)踐一體化教學(xué)體系，以強(qiáng)化學(xué)生的邏輯思維能力和抽象思維能力。

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【通聯(lián)編輯：王力】