基于可靠度理論的尾礦壩失穩(wěn)概率及敏感性分析

李 濤，劉國棟,2，王 聰

(1.商洛學(xué)院城鄉(xiāng)規(guī)劃與建筑工程學(xué)院，陜西 商洛 726000；2.長安大學(xué)公路學(xué)院，陜西 西安 710064)

0 引言

由于尾礦庫在成庫過程中，受水流的分選作用、礦山機(jī)械放礦速度及放礦濃度、成庫環(huán)境等因素的綜合影響，通常會在庫區(qū)內(nèi)形成很多個大小不同、粒徑差異較大的透鏡體結(jié)構(gòu)，其復(fù)雜的沉積狀態(tài)，致使尾礦庫潰壩事故頻發(fā)[1]。而工程勘查通常受外界因素的影響，局部取點進(jìn)行鉆孔取樣，測得的土層信息離散性較大，不能正確反映由于局部土層突變而造成的參數(shù)變化，這也就使現(xiàn)階段尾礦庫常用計算方法(解析法、模擬法)的計算基礎(chǔ)(工程勘查結(jié)果)出現(xiàn)了嚴(yán)重問題。

在穩(wěn)定性上，通常采用極限平衡法或有限元法來計算壩坡的穩(wěn)定性系數(shù)，系數(shù)越大，就認(rèn)為壩體越安全。然而，在實際的生產(chǎn)過程中，由于土體的空間變異性，安全系數(shù)并不能完全反映邊坡的真實風(fēng)險水平，穩(wěn)定系數(shù)較高的壩體也有可能比較低的壩體更容易失穩(wěn)[2]，這也說明現(xiàn)有的計算方法不能完全反映尾礦壩的真實狀況。近年來伴隨著可靠度理論的發(fā)展，基于概率理論對尾礦庫進(jìn)行穩(wěn)定分析就成為了專家學(xué)者研究的焦點[3-5]。

目前常用的可靠度理論有多種。潘建平等[6]利用一次二階矩法對某尾礦庫建立了地震液化分析模型，并對抗液化安全系數(shù)與可靠度指標(biāo)間的關(guān)系進(jìn)行了探討；胡平安等[7]運用JC法可靠度理論對某壩體進(jìn)行了正常工況與洪水工況下的穩(wěn)定性分析，研究表明，概率方法更能反映壩體的真實狀態(tài)；儲昭飛等[8]針對巖土參數(shù)變異波動大的特點，利用分位概率設(shè)計法(Quantile-Value Method，QVM)對邊坡進(jìn)行了穩(wěn)定分析，并對抗剪強(qiáng)度的相關(guān)參數(shù)進(jìn)行了分項系數(shù)與分位概率的標(biāo)定及誤差分析，結(jié)果表明，QVM給定的極限狀態(tài)與目標(biāo)可靠度之間的誤差更小，更符合工程的實際；張浮平等[9]、唐朝暉等[10]、徐根洪等[11]利用蒙特卡羅模擬法(Monte Carlo Simulation)分別對邊坡可靠度修正方法、填土邊坡及強(qiáng)風(fēng)化巖石邊坡的穩(wěn)定性進(jìn)行了概率的可靠性分析，均建議在常規(guī)的設(shè)計與分析過程中需考慮巖土參數(shù)的空間變異性。

基于此，文中利用蒙特卡羅模擬法，考慮土層主要參數(shù)的空間變異性，對陜南某尾礦壩進(jìn)行了基于概率的壩體穩(wěn)定性分析，旨在為尾礦庫后期的運行與管理提供指導(dǎo)性的理論依據(jù)。

1 工程概況

該尾礦庫位于陜西桑溪鎮(zhèn)，屬山谷型尾礦庫。庫內(nèi)縱深1.1 km，總壩高為59.8 m，設(shè)計有效庫容98.4×104m3，屬Ⅳ等尾礦庫。初期壩壩高20 m，壩頂寬度2 m，采用M7.5微風(fēng)化的花崗石漿砌石擋墻結(jié)構(gòu)，內(nèi)外側(cè)坡度分別為1∶0.75與1∶0.2，底部設(shè)置排水涵管，并在涵管入口處設(shè)土工布；堆積壩共十二級，平均坡度為1∶5.26，坡度相對較緩。由于秦嶺山區(qū)夏日降雨充沛，2012年曾發(fā)生過壩體局部破壞，造成了尾礦的泄露，給下游的居民和農(nóng)田造成了巨大的影響。因此，為了防止此類災(zāi)害的再次發(fā)生，亟需掌握能夠真實反映庫區(qū)狀態(tài)的滲流特性與穩(wěn)定特性。

2 Monte Carloy試驗原理

2.1 基本原理

Monte Carlo試驗又稱統(tǒng)計試驗法或隨機(jī)模擬法，由于計算簡單、操作方便等優(yōu)點，在一些空間變異性較大，且相關(guān)參數(shù)不易獲得的工程中被廣泛的應(yīng)用[12]。作為一種數(shù)理統(tǒng)計方法，Monte Carlo試驗首先需要建立一個考慮n個風(fēng)險因素的狀態(tài)函數(shù)；然后，利用數(shù)學(xué)抽樣方法抽取樣本，代入狀態(tài)函數(shù)，計算所需的狀態(tài)值；最后，抽樣N次，則可計算出N個狀態(tài)值，若其中有M次風(fēng)險，則出現(xiàn)風(fēng)險事故的概率即為P=M/N。

2.2 尾礦庫Monte Carlo試驗參數(shù)選取

根據(jù)尾礦庫的地質(zhì)勘查結(jié)果，為了便于計算，先對尾礦庫的土層進(jìn)行了概化處理，將庫區(qū)內(nèi)土層劃分為尾細(xì)砂層與尾粉砂層，并利用Geo-Studio軟件的Seep/W與Slope/W模塊對洪水工況下的滲透穩(wěn)定性進(jìn)行了耦合分析。忽略土層的空間變異性，運用瑞典圓弧法進(jìn)行計算，其浸潤線與潛在的滑移面見圖1。

圖1 洪水工況下浸潤線及潛在滑移面示意圖Fig.1 Sketch map of saturation line and potential slip surface under flood condition

由圖1可以看出，洪水工況下，浸潤線最小埋深為0.92 m，在坡面處已接近出溢。最小安全系數(shù)的潛在滑移面在尾細(xì)砂層與尾粉砂層穿過，需要考慮各自土層參數(shù)的空間變異性，但由工程勘查結(jié)果，各層土及初期壩的參數(shù)見表1。

表1 土層計算參數(shù)

由表1可得，尾細(xì)砂層與尾粉砂層僅黏聚力存在差異，且相差不大。因此，近似將兩者等同為同一土層，主要土層參數(shù)包括容重、內(nèi)摩擦角、黏聚力、孔隙比、含水量等，則庫區(qū)的穩(wěn)定安全系數(shù)函數(shù)可以表示為：

F=g(x1，x2，x3，…，xn)(1)

上式即為采用Monte Carlo模擬法時的安全系數(shù)狀態(tài)方程，式中：F表示尾礦庫穩(wěn)定安全系數(shù)；x1，x2，x3，…，xn為n個具有一定概率分布函數(shù)且互不相關(guān)的能夠反映土層參數(shù)的隨機(jī)變量。參照相關(guān)文獻(xiàn)[2,12]，將地震作用、地下水位與初期壩的影響設(shè)置為定值，主要考慮庫區(qū)內(nèi)土層的重度γ，黏聚力c與內(nèi)摩擦角φ對安全系數(shù)F的影響。

(1)試驗次數(shù)

Monte Carlo模擬是基于大量的數(shù)據(jù)統(tǒng)計的結(jié)果，因此，試驗次數(shù)直接決定著試驗的精度。次數(shù)太少，可靠度分析的精度不夠；次數(shù)太多，則會造成計算機(jī)資源的浪費，計算成本太高。因此，Monte Carlo模擬建議的試驗次數(shù)為：

(2)

式中：ε——期望的可信度(0～100%)；

d——用小數(shù)形式表示的符合可信度的標(biāo)準(zhǔn)方差；

m——變量的個數(shù)。

假設(shè)試驗中參數(shù)的可信度均為90%，土層γ、c與φ均根據(jù)現(xiàn)場勘查測得，且符合正態(tài)分布，d值近似取為0.93。因此，Monte Carlo模擬的試驗次數(shù)為10 174，近似取為10 000次。

(2)抽樣次數(shù)

將安全系數(shù)小于1的概率稱為失穩(wěn)概率。假設(shè)失穩(wěn)概率Pf也服從正態(tài)分布，且N次抽樣中出現(xiàn)了M次失穩(wěn)情況，則：

(3)

式中：P與σPf——Pf的期望值與標(biāo)準(zhǔn)差。若顯著水平取為α，則：

(6)

文中，kα/2——N(0,1)分布的α/2百分位點，α取為0.1。

為了提高試驗的準(zhǔn)確度，減小絕對誤差，需要加大模擬次數(shù)。因此，一些學(xué)者建議Monte Carlo模擬的抽樣次數(shù)為：

(8)

通常情況下，失穩(wěn)概率Pf的數(shù)值很小，因此，N的數(shù)值就比較大，建議近似取N=500～10 000次，可以滿足試驗精度的要求[13]。

(3)可靠性指標(biāo)

安全系數(shù)反映了邊坡的相對穩(wěn)定，失穩(wěn)概率反映了邊坡的失穩(wěn)風(fēng)險水平，兩者間沒有直接的聯(lián)系，而可靠性指標(biāo)則作為一種考慮不確定性因素的安全系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)化指標(biāo)而被廣泛應(yīng)用。

若已知了Monte Carlo模擬參數(shù)的概率分布函數(shù)，則可靠性指標(biāo)β[14]可表示為：

(9)

式中：μ和σ——公式(1)的數(shù)學(xué)期望與標(biāo)準(zhǔn)差，分別由下式進(jìn)行計算：

(10)

式中：n——抽樣總次數(shù)；

Fi——每次抽樣的失穩(wěn)概率。

3 概率分析

將尾細(xì)砂與尾粉砂視作同一土層，黏聚力取兩者平均值，以庫區(qū)砂層表示，服從正態(tài)分布。利用正態(tài)概率密度函數(shù)(圖2)的特性：任意點與期望點及其在X軸上投影所圍成的面積僅取決于標(biāo)準(zhǔn)值與平均值的差值。因此，經(jīng)過計算，當(dāng)x的取值在±1σ之間時，所圍面積為68.26%，也即其概率值為68.26%；當(dāng)x的取值在±5σ之間時，其概率值就幾乎為100%。因此，Slope/W就默認(rèn)標(biāo)準(zhǔn)差均為±5σ。以天然重度為例，當(dāng)μ=19 kN/m3，σ=0.6時，其波動的區(qū)間就為：16～22 kN/m3。Monte Carlo模擬的土層參數(shù)值見表2所示，天然重度的概率密度與概率分布函數(shù)見圖2與圖3所示。

表2 Monte Carlo模擬試驗參數(shù)

圖2 天然重度概率密度函數(shù)Fig.2 Probability density function of natural unit weight

圖3 天然重度概率分布函數(shù)Fig.3 Probability distribution function of natural unit weight

表3為不同的抽樣方式下， Monte Carlo試驗的統(tǒng)計結(jié)果表。但整體來說，抽樣方式的不同，對平均安全系數(shù)μ的影響較小，對失穩(wěn)概率σ、Pf及β的影響較大，而每個條塊都抽樣與僅抽樣一次，提供了相應(yīng)統(tǒng)計結(jié)果的范圍。不管采用哪種抽樣方式，σ、Pf與β的范圍分別為：0.042～0.122，0.011～9.489，3.619～1.238。也可以看出，當(dāng)采用間隔30 m與60 m二種不同的抽樣方式時，μ是一樣的，但后者的失穩(wěn)概率卻是前者的2.908倍，因此，也驗證了將安全系數(shù)作為評判尾礦壩體是否穩(wěn)定的標(biāo)準(zhǔn)是不合適的。

表3 Monte Carlo試驗統(tǒng)計結(jié)果表(洪水水位)

不管采用哪種抽樣方式，安全系數(shù)密度函數(shù)與分布函數(shù)的形狀是相似的，平均安全系數(shù)相差也不大。圖4與圖5為僅抽樣一次時的Monte Carlo試驗概率統(tǒng)計函數(shù)。由圖4可以看出，安全系數(shù)依舊服從正態(tài)分布。由圖5則可以很方便的計算出所需計算點處的失穩(wěn)概率與超越概率，例如，A點的超越概率為50%，B點的失效概率為9.489%。

圖4 安全系數(shù)概率密度函數(shù)(僅抽樣一次)Fig.4 Probability density function of safety factor (Sampling only once)

圖5 安全系數(shù)概率分布函數(shù)(僅抽樣一次)Fig.5 Probability distribution function of safety factor (Sampling only once)

圖6為可靠度指標(biāo)與失穩(wěn)概率的關(guān)系曲線，由圖可以看出，兩者是一一對應(yīng)的。經(jīng)公式擬合，可得：

Pf=-0.89+36.48×0.36β(11)

圖6 可靠度指標(biāo)與失穩(wěn)概率的關(guān)系曲線Fig.6 Relationship between reliability index and instability probability

4 敏感性分析

利用概率分析，我們可以分析出尾礦庫在多因素不確定變量的影響下，發(fā)生失穩(wěn)破壞的概率，但是如果想要知道各變量對失穩(wěn)概率的影響程度，就需要進(jìn)行敏感性分析，也即需要將隨機(jī)變量按照均勻概率分布函數(shù)進(jìn)行選取。

采用表2的試驗統(tǒng)計參數(shù)，文中對庫區(qū)內(nèi)砂層的主要土層參數(shù)進(jìn)行了Monte Carlo敏感性分析。為了便于對比分析，所有指標(biāo)均進(jìn)行了歸一化處理，即x軸的敏感性范圍為0～1(圖7)。

圖7 Monte Carlo敏感性分析曲線Fig.7 Monte Carlo sensitivity analysis curve

由圖7可以看出，對于該庫區(qū)砂層，各項參數(shù)對安全系數(shù)的影響敏感性為：黏聚力>內(nèi)摩擦角>砂層容重。在土層參數(shù)中，黏聚力起主要控制作用，而且對安全系數(shù)的變化影響程度要遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于內(nèi)摩擦角與容量，使安全系數(shù)的波動范圍處于0.905～1.394之間，而內(nèi)摩擦角與容重的變化范圍相對較小，分別處于0.975～1.281與1.006～1.298。當(dāng)庫區(qū)砂層容重在16～22 kN/m3的范圍內(nèi)變動時，安全系數(shù)的失效概率為0，也即容重的變化不會使尾礦庫發(fā)生失穩(wěn)現(xiàn)象。因此，今后尾礦庫在運行的過程中，要盡量避免土層發(fā)生過大的擾動，以避免黏聚力發(fā)生太大波動，影響尾礦庫的安全穩(wěn)定性。

Monte Carlo模擬利用概率分析，能夠考慮空間變異特性及不確定因素的影響，不考慮問題的維數(shù)，也不必對問題進(jìn)行精細(xì)化與離散化建模，因這些優(yōu)點而被廣泛的應(yīng)用。但由于Monte Carlo模擬需要將確定性問題轉(zhuǎn)化為隨機(jī)性問題，且需要試驗和抽樣較多的次數(shù)，方能得到相對可靠的結(jié)果。因此，相關(guān)參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差與試驗和抽樣次數(shù)的確定，就變得至關(guān)重要。如何在考慮參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差的基礎(chǔ)上，在相對較少的試驗和抽樣次數(shù)上(節(jié)約資源)得到具有一定可靠度的抽樣結(jié)果，還需要在今后繼續(xù)研究。

5 結(jié)論

使用工程勘查結(jié)果對尾礦庫滲流穩(wěn)定性進(jìn)行定量分析，沒有考慮庫區(qū)土層的空間變異性，簡單的使用安全系數(shù)作為評判唯一標(biāo)準(zhǔn)就帶有很強(qiáng)的主觀性，還可能出現(xiàn)安全系數(shù)與工程實際不符的現(xiàn)象。本文運用Monte-Carlo概率分析與敏感性分析，對砭家溝尾礦庫洪水工況下的滲流穩(wěn)定性進(jìn)行了分析，主要得出了以下結(jié)論：

(1)抽樣方式的不同，沒有導(dǎo)致平均安全系數(shù)的變化，但是卻使失穩(wěn)概率和可靠性指標(biāo)發(fā)生了大幅波動。隨著抽樣次數(shù)的減少，失穩(wěn)概率逐漸增大，可靠性指標(biāo)逐漸降低，且兩者存在一一對應(yīng)關(guān)系。僅抽樣一次到每個條塊都抽樣，提供了失穩(wěn)概率及可靠性指標(biāo)的范圍分別為：9.489～0.011與3.619～1.238。Monte-Carlo概率分析也驗證了僅靠安全系數(shù)來衡量壩體是否失穩(wěn)是不可取的。

(2)經(jīng)過對庫區(qū)砂層參數(shù)的敏感性分析，可以得到各項參數(shù)對尾礦庫安全系數(shù)的影響敏感性為：砂層黏聚力>內(nèi)摩擦角>容重。經(jīng)過對敏感性曲線的分析，可以看出，砭家溝尾礦庫庫區(qū)砂層容重的變化，不會產(chǎn)生失穩(wěn)現(xiàn)象；黏聚力對庫區(qū)安全性的影響最為敏感，使安全系數(shù)的波動范圍最大，處于0.905～1.394。今后在使用的過程，還需要注意使土層不發(fā)生過大的擾動，避免黏聚力發(fā)生波動。