基于比例故障模型的發(fā)射車液壓系統(tǒng)狀態(tài)維修決策*

韓 華 余仁波 柳洪剛

（1.海軍潛艇學(xué)院 青島 266000）（2.海軍航空大學(xué) 煙臺(tái) 264001）

1 引言

液壓系統(tǒng)是導(dǎo)彈發(fā)射車的重要組成部分，主要完成導(dǎo)彈發(fā)射車的調(diào)平和起落架的起豎工作［1］。液壓系統(tǒng)工作負(fù)載大、環(huán)境復(fù)雜，容易出現(xiàn)爬行、滲漏等故障。實(shí)際上，如果液壓系統(tǒng)設(shè)計(jì)制造質(zhì)量好，則造成故障的原因大多是維護(hù)及保養(yǎng)不當(dāng)引起的。液壓系統(tǒng)70%的故障發(fā)生率，與液壓油有關(guān)，在這70%中約有90%是由于雜質(zhì)破壞所致［2］，所以液壓系統(tǒng)服役期限的長短取決于液壓介質(zhì)的清潔度以及液壓系統(tǒng)運(yùn)行中的正確監(jiān)測、維護(hù)及保養(yǎng)。

狀態(tài)維修（Condition Based Maintenance，CBM）作為一種新的維修思想，考慮系統(tǒng)運(yùn)行的狀態(tài)、系統(tǒng)個(gè)體差異，盡可能在故障發(fā)生前進(jìn)行維修，降低故障發(fā)生概率，減少維修費(fèi)用、提高裝備使用可靠度、提高裝備的利用率［3～5］。在狀態(tài)維修中，建立CBM模型的目的就是在系統(tǒng)運(yùn)行過程參數(shù)與系統(tǒng)本身完好程度之間建立精確的聯(lián)系［6］，它可分為確定性模型和概率性模型兩種，建模方法大致包括基于概率統(tǒng)計(jì)理論的方法和基于隨機(jī)過程理論的方法兩大類。針對液壓系統(tǒng)狀態(tài)監(jiān)測數(shù)據(jù)復(fù)雜、穩(wěn)定性差的特點(diǎn)，利用威布爾比例故障率模型能夠處理多個(gè)因素對生存時(shí)間影響的問題，又能在計(jì)算故障率的同時(shí)考慮壽命和狀態(tài)信息的優(yōu)勢，建立比例故障率模型。在保證最大可用度下，利用模擬的液壓系統(tǒng)監(jiān)測數(shù)據(jù)對維修決策方法進(jìn)行了仿真，得到具體的維修決策方案。

2 比例故障模型

比例故障率模型（Proportional Hazards Model，PHM）又稱Cox模型［7］，是一種適用性很強(qiáng)的壽命數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析方法，屬于一種根據(jù)裝備狀態(tài)監(jiān)測和歷史壽命等數(shù)據(jù)信息建立某一裝備失效模型的建模方法。該模型的最大優(yōu)勢是能夠處理多個(gè)因素對生存時(shí)間影響的問題，又能在計(jì)算故障率時(shí)同時(shí)考慮壽命和狀態(tài)信息，有著其他模型無法比擬的優(yōu)點(diǎn)。

比例故障率模型是指這樣一類模型，其模型具有如下性質(zhì)：不同個(gè)體的故障率函數(shù)成比例。PHM中引入新的信息，稱為協(xié)變量，反映裝備伏態(tài)信息，如振動(dòng)或油料分析測量的數(shù)據(jù)。比例故障率模型的基本形式為

其中：λ(t，z(t))為故障率；z(t)為協(xié)變量，即運(yùn)行狀態(tài)的監(jiān)測值，也可以是任何反映系統(tǒng)狀態(tài)的因素；λ0(t)為僅與時(shí)間相關(guān)的基本故障率；回歸參數(shù)γ表示協(xié)變量對故障率函數(shù)的影響。

從式（1）可以看出，對于兩個(gè)同類系統(tǒng)分別給定協(xié)變量值，其故障率函數(shù)之比為

因此，兩個(gè)系統(tǒng)故障率函數(shù)之比不隨時(shí)間t的變化而變化。

2.1 模型假設(shè)和符號(hào)說明

1）模型假設(shè)

（1）故障率函數(shù)的比值不依賴于時(shí)間t；

（2）完全信息水平，即在監(jiān)測時(shí)，獲得的關(guān)于系統(tǒng)狀態(tài)的信息是完全的；

（3）在狀態(tài)數(shù)據(jù)使用方面只使用狀態(tài)監(jiān)測數(shù)據(jù)，不考慮事件數(shù)據(jù)，例如，裝備安裝、停工、大修等；

（4）只考慮單系統(tǒng)狀態(tài)。

2）符號(hào)說明

β、η是模型中待估計(jì)參數(shù)，β為形狀參數(shù)，η為尺寸參數(shù)；γ是p維協(xié)變量γ=[γ1，γ2，…，γp]的回歸系數(shù)矢量；z是p維協(xié)變量z=[z1，z2，…，zp]的系統(tǒng)狀態(tài)監(jiān)測特征量矢量；R(t)為可靠度函數(shù)；f(t)為樣本分布的密度函數(shù)；λ(t)為故障率函數(shù)；n為n個(gè)試驗(yàn)樣品；i為試驗(yàn)樣品的編號(hào)，如第i個(gè)試驗(yàn)樣品；δi為0-1變量，δi=1表示第i個(gè)樣品在試驗(yàn)過程中發(fā)生了故障，δi=0表示第i個(gè)樣品在試驗(yàn)過程中沒發(fā)生故障；Ai為第i個(gè)試驗(yàn)樣品的剩余壽命。

2.2 威布爾比例故障率模型WPHM

威布爾分布是可靠性工程領(lǐng)域中應(yīng)用最為廣泛的壽命分布［8］，其最大優(yōu)點(diǎn)在于對各種類型的試驗(yàn)數(shù)據(jù)具有極強(qiáng)的適應(yīng)能力。兩參數(shù)的威布爾分布的基本形式為

從式（5）可以看出δi是一個(gè)示性變量，δi=1表示第i個(gè)樣品在試驗(yàn)過程中發(fā)生了故障，則Ti=Ai；δi=0表示第i個(gè)樣品在試驗(yàn)過程中沒發(fā)生故障，則Ti=Li。這時(shí)，n個(gè)樣本的似然函數(shù)為

其中，β、η為參數(shù)。

下面介紹建立威布爾分布比例故障率模型的過程。

1）樣本數(shù)據(jù)的建立

比例故障率模型能夠很好地建立起系統(tǒng)運(yùn)行狀態(tài)和故障率之間的關(guān)系，對各種類型試驗(yàn)數(shù)據(jù)具有極強(qiáng)的適應(yīng)性，能夠在考慮系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)的同時(shí)也考慮到運(yùn)行環(huán)境、負(fù)載大小以及系統(tǒng)運(yùn)行歷史數(shù)據(jù)等因素對裝備壽命的影響。因此在建立該模型的開始階段，要盡可能全面地考慮所有影響系統(tǒng)運(yùn)行壽命的因素，通常將各種狀態(tài)信息特征量和環(huán)境應(yīng)力、工況條件等均作為伴隨變量考慮進(jìn)來。

2）涉及截尾的問題

壽命數(shù)據(jù)的一個(gè)重要特點(diǎn)是廣泛存在截尾現(xiàn)象。截尾數(shù)據(jù)的樣本分布與通常數(shù)據(jù)的分布是不同的，截尾的機(jī)制不同，在建立模型時(shí)也必須考慮找到不同的參數(shù)估計(jì)和校驗(yàn)方法。

假定考察n個(gè)樣本，分別規(guī)定試驗(yàn)截尾時(shí)間L1，L2，…，Ln，第i個(gè)樣品的壽命為Ai，假定各樣本壽命分布為獨(dú)立同分布的，其密度函數(shù)為g(t)，可靠度函數(shù)為R(t)，樣品i的壽命Ai只有在Ai≤Li時(shí)才能被觀察到。在此條件下，試驗(yàn)后可得到第i個(gè)樣品的工作時(shí)間長度Ti，其表達(dá)式為

引入0～1變量δi表達(dá)式為

如果在n個(gè)樣本中有r個(gè)發(fā)生故障，可以在實(shí)驗(yàn)結(jié)束后對樣本進(jìn)行重新排序，將故障樣本排序?yàn)榈?到第r，第r+1到第n個(gè)樣本為截尾樣本。這時(shí)，樣本的似然函數(shù)為

3）伴隨變量的篩選

狀態(tài)監(jiān)測數(shù)據(jù)在可靠性理論中普遍定義為協(xié)變量，在對比例故障率模型進(jìn)行建模時(shí)，協(xié)變量可以分為外部協(xié)變量和內(nèi)部協(xié)變量。外部協(xié)變量是影響裝備的外部環(huán)境因素，一般不會(huì)隨著系統(tǒng)運(yùn)行過程而發(fā)生改變，進(jìn)而不會(huì)引起系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)特性的變化。而內(nèi)部協(xié)變量是裝備內(nèi)部隨機(jī)過程產(chǎn)生的輸出，隨著系統(tǒng)的運(yùn)行而發(fā)生改變。

設(shè)計(jì)協(xié)變量的相關(guān)系數(shù)矩陣，為了使各個(gè)伴隨變量參數(shù)之間獨(dú)立性較好，要求各變量之間的偏相關(guān)系數(shù)盡量小，可以用主成分分析、聚類分析、因子分析等降維方法來從相關(guān)的參數(shù)里選擇出相互獨(dú)立的變量參數(shù)。

在變量篩選過程中，通常顯著性水平P值在置信度為95%下，小于0.05的變量被納入模型，大于0.1的變量則從該模型中剔除。

同時(shí)必須注意，經(jīng)過篩選后的伴隨變量要與實(shí)際情況相吻合，盡可能使選擇的參數(shù)能較為完整地從多個(gè)方面反映系統(tǒng)或者裝備的失效狀態(tài)。

4）WPHM模型的建立

協(xié)變量篩選得出之后，比例故障率模型中的基準(zhǔn)分布函數(shù)決定該模型的類別，威布爾分布是可靠度理論及有關(guān)壽命等問題中常采用的分布之一，比例故障率模型中基本故障率函數(shù)為威布爾分布時(shí)［9］，令

然后，將式（3）代入式（1），得到威布爾比例故障率模型為

式中，γ為p維協(xié)變量γ=[γ1，γ2，…，γp]的回歸系數(shù)矢量，z為p維協(xié)變量z=[z1，z2，…，zp]的系統(tǒng)狀態(tài)監(jiān)測特征量矢量。

WPHM模型中待估計(jì)的參數(shù)有β，η，γ，常選擇極大似然估計(jì)法對其進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。

5）WPHM模型的參數(shù)估計(jì)

在應(yīng)用比例故障率模型之前，需要先對模型中的參數(shù)β、η、γ進(jìn)行可靠性估計(jì)，從而確定模型的具體形式。矩估計(jì)法、圖參數(shù)估計(jì)法和極大似然估計(jì)法是常見的可靠性參數(shù)估計(jì)方法。極大似然估計(jì)法在處理截尾數(shù)據(jù)的情況下具有明顯的優(yōu)勢，所以，利用極大似然估計(jì)法對威布爾比例故障率模型中的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。

由f(t)=R(t)λ(t)，對式（6）進(jìn)行變換，得到：

令λ0(t)=f(t)，將式（3）代入式（10），得到似然函數(shù)：

對上式取對數(shù)，得到lnL為

根據(jù)極大似然估計(jì)法，分別對對數(shù)似然函數(shù)lnL(X|β，η，γ)中的待估計(jì)參數(shù)β，η，γ求偏導(dǎo)數(shù)，令各偏導(dǎo)數(shù)等于零得到非線性方程組。將監(jiān)測得到的協(xié)變量zi(t)及壽命數(shù)據(jù)t代入方程組，用New-ton迭代法或者Nelder-mead's算法可以求解得到β，η，γ的估計(jì)值，，，從而得到參數(shù)估計(jì)后的威布爾比例故障率模型為

當(dāng)確定了狀態(tài)與故障率函數(shù)之間的關(guān)系后，按照一定的目標(biāo)函數(shù)（最小維修費(fèi)用或者最大可用度等）建立維修決策模型，以故障率作為決策變量就可以得到故障率的閾值，最后根據(jù)狀態(tài)計(jì)算出當(dāng)前故障率分布，與閾值比較選擇合適的維修措施。

3 以最大可用度為目標(biāo)函數(shù)的維修決策

假設(shè)裝備在一個(gè)預(yù)防維修周期內(nèi)，平均工作時(shí)間為Tu，平均維修時(shí)間為Td，平均預(yù)防性維修時(shí)間為Tp，平均修復(fù)性維修時(shí)間為Tc（Tc＞Tp），因此，每一次預(yù)防性維修周期維修時(shí)間Td為［10］

其中，R(T，Z)是系統(tǒng)在T時(shí)刻的可靠度，得到一個(gè)預(yù)防性維修周期內(nèi)裝備平均工作時(shí)間的Tu，即

進(jìn)而，得到穩(wěn)態(tài)可用度［11］為

顯然，當(dāng)θ最小時(shí)，A最大，所以下面求得最小的θ。

由于已經(jīng)根據(jù)歷史數(shù)據(jù)回歸出了裝備故障率與時(shí)間和伴隨變量的關(guān)系，并且穩(wěn)態(tài)可用度只有一個(gè)極值點(diǎn)。因此，可以用數(shù)值解法算出其中一組失效數(shù)據(jù)的平均可用度最大時(shí)的更換間隔期T，將此最佳更換維修時(shí)間T和T時(shí)刻對應(yīng)的伴隨變量值代入回歸的故障率模型，得到一個(gè)故障率λ′，然后以此為標(biāo)準(zhǔn)就可以對相同型號(hào)的裝備實(shí)測數(shù)據(jù)進(jìn)行決策。

要使新裝備的平均可用度最大，其故障率λ必須小于故障率閾值，換句話說就是如果λ大于等于λ′就必須維修，即

其中，β、γ、η為比例故障率模型中的參數(shù)，然后，將式（19）兩邊取對數(shù)，得到

式中，n為狀態(tài)監(jiān)測次數(shù)，zn(t)表示第n次監(jiān)測時(shí)系統(tǒng)的狀態(tài)信息。

以式（20）作為維修決策判別式，將監(jiān)測的狀態(tài)參數(shù)z1(t)、z2(t)、…、zn(t)和時(shí)間t代入式（20）進(jìn)行計(jì)算，如果此式成立，則繼續(xù)工作；否則，需要進(jìn)行預(yù)防性維修。同時(shí)，如果運(yùn)行過程中出現(xiàn)故障，則立即進(jìn)行維修，維修后系統(tǒng)如新，狀態(tài)恢復(fù)到初始狀態(tài)。

4 基于最大可用度的比例故障率模型仿真

從狀態(tài)數(shù)據(jù)中截取20組故障狀態(tài)的數(shù)據(jù)作為樣本數(shù)據(jù)，以液壓系統(tǒng)故障時(shí)狀態(tài)評估數(shù)據(jù)［12］為自變量，監(jiān)測的調(diào)平油缸壓力、分流集流閥流量、……、齒輪泵溫度、液控單向閥壓力、主管路壓力等16個(gè)參數(shù)為預(yù)設(shè)協(xié)變量。

當(dāng)存在多個(gè)協(xié)變量對狀態(tài)評估值均有影響時(shí)，首先需要通過相關(guān)性分析確定顯著性協(xié)變量，然后建立協(xié)變量與狀態(tài)數(shù)據(jù)之間的關(guān)系模型，并根據(jù)該模型中協(xié)變量的作用大小，對當(dāng)前液壓系統(tǒng)的狀態(tài)進(jìn)行分析和預(yù)測。各協(xié)變量的計(jì)算結(jié)果見表1。

同時(shí)，得到顯著性分析的殘差分布如圖1所示。

然后，根據(jù)表1的分析結(jié)果，按照P值檢驗(yàn)準(zhǔn)則，可知水平變送器壓力、濾油器流量、齒輪泵溫度、液控單向閥壓力、輔助泵出口壓力、手搖泵出口壓力、泵出口流量八個(gè)協(xié)變量因無顯著作用而被剔除，最終余下八個(gè)協(xié)變量分流集流閥流量、調(diào)平油缸壓力、起豎油缸位移、泵出口流量1、鎖定油缸壓力、分流節(jié)閥流量、換向閥壓力、主管路壓力被篩選進(jìn)入模型，記為

另一方面，由圖1顯著性分析殘差分布結(jié)果可知，預(yù)測值與觀測值的分布類似，且回歸方程預(yù)測值與已觀測值的標(biāo)準(zhǔn)殘差分布集中，說明回歸方程的預(yù)測效果比較好，即選擇的八個(gè)顯著性協(xié)變量能夠解釋大部分的協(xié)變量。

即lnt與ln(l n(S(t)))或ln(H(t))之間呈線性關(guān)系，按照裝備使用經(jīng)驗(yàn)［13］設(shè)定C1C2為0.012，根據(jù)歷史故障數(shù)據(jù)，聯(lián)立式（13）、式（21）和式（22），利用Matlab編程，采用最小二乘優(yōu)化方法，解出聯(lián)立的超定方程組，有

式中，X(t)={x1(t)，x2(t)，…，x8(t)} 分別表示分流集流閥流量、調(diào)平油缸壓力、起豎油缸位移、泵出口流量1、鎖定油缸壓力、分流節(jié)流閥流量、換向閥壓力、主管路壓力的狀態(tài)監(jiān)測數(shù)據(jù)。

以最大可用度為目標(biāo)進(jìn)行決策，由式（15）設(shè)定故障維修時(shí)間與預(yù)防性維修時(shí)間之比：

其中，Mct為故障后維修時(shí)間；Mpt為預(yù)防性維修時(shí)間。由式（16）、式（23）和式（24）得到系統(tǒng)可用度曲線如圖2所示。

分析圖2系統(tǒng)可用度曲線，可知：

1）系統(tǒng)在剛開始運(yùn)行時(shí)，即時(shí)間小于6000h時(shí)，系統(tǒng)的可用度增加明顯，實(shí)際上系統(tǒng)剛開始運(yùn)行存在磨合期，這時(shí)可靠度相對較低，隨著系統(tǒng)磨合的進(jìn)一步深入，系統(tǒng)的穩(wěn)定性和可靠性都在顯著增加；

圖2 系統(tǒng)可用度曲線

2）系統(tǒng)在運(yùn)行6234h后可用度達(dá)到極大值0.961，這時(shí)系統(tǒng)磨合成熟，可靠度高，運(yùn)行穩(wěn)定；

3）當(dāng)運(yùn)行時(shí)間大于6300h，系統(tǒng)可靠度在慢慢下降，但是下降的幅度遠(yuǎn)比磨合期增加的幅度要小，系統(tǒng)運(yùn)行比較可靠。

由圖2得到系統(tǒng)運(yùn)行到最大可用度0.961時(shí)的時(shí)間t=6234h，將t以及t時(shí)刻的狀態(tài)數(shù)據(jù)代入式（23）得到維修的故障率閾值λ′=0.003，根據(jù)式（19）做出維修決策曲線，將當(dāng)前時(shí)刻監(jiān)控到的狀態(tài)參數(shù)代入式（23）計(jì)算，并在圖中畫點(diǎn)。該點(diǎn)若處于決策曲線上方，則立即維修；若處于曲線下方，則繼續(xù)工作。根據(jù)仿真狀態(tài)數(shù)據(jù)，代入式（23）得到?jīng)Q策值，并在圖中畫出決策點(diǎn)如圖3所示。

圖3 故障維修決策圖

分析圖3故障維修決策圖，有以下結(jié)論：

1）系統(tǒng)的故障率呈現(xiàn)逐漸增加的趨勢，并且在系統(tǒng)磨合期結(jié)束時(shí)可靠度最大，即可靠度最大的時(shí)故障率最低，這與實(shí)際情況是吻合的；

2）系統(tǒng)在運(yùn)行一段時(shí)間（自然時(shí)間）后，即在9000h后開始出現(xiàn)故障，分別在9101h、9235h、9488h、9625h、9941h、10148h、10308h、10571h、10728h、10963h、11035h、11605h出現(xiàn)的故障需要立即維修，共計(jì)12次。

5 結(jié)語

針對液壓系統(tǒng)狀態(tài)監(jiān)測數(shù)據(jù)復(fù)雜、穩(wěn)定性差的特點(diǎn)，采用威布爾比例故障率模型處理多個(gè)因素對生存時(shí)間影響的問題，通過相關(guān)性分析確定顯著性協(xié)變量，建立協(xié)變量與狀態(tài)數(shù)據(jù)之間的關(guān)系模型，并根據(jù)該模型中協(xié)變量的作用大小，以最大可用度為目標(biāo)，綜合考慮壽命與狀態(tài)信息，采用模擬監(jiān)測數(shù)據(jù)對維修決策方法進(jìn)行仿真。仿真結(jié)果表明，比率故障率模型仿真決策方法注重對故障信息的分析，可得到裝備故障率閾值，液壓系統(tǒng)維修決策科學(xué)、合理。