基于Pareto最優(yōu)均衡理論的商用車路徑跟蹤與抗側(cè)傾協(xié)同控制研究*

李玉善，遲元欣，季學(xué)武，劉玉龍，武 健

（1.山東科技大學(xué)交通學(xué)院，青島 266590； 2.清華大學(xué)，汽車安全與節(jié)能國家重點實驗室，北京 100084）

前言

智能車輛因為具有降低駕駛員工作負(fù)擔(dān)、提高汽車安全性等優(yōu)點得到了快速發(fā)展，智能商用車相比于乘用車，由于行駛環(huán)境和運營方式的特點，在推廣上顯示出明顯優(yōu)勢，已經(jīng)開始吸引人們的關(guān)注［1-2］。智能車輛通過自動轉(zhuǎn)向控制實現(xiàn)對期望路徑的跟蹤，稱為路徑跟蹤橫向控制［3］，而商用車質(zhì)心位置較高，側(cè)翻閾值和側(cè)傾穩(wěn)定性較低，橫向與側(cè)傾動力學(xué)相互耦合，轉(zhuǎn)向過程中的側(cè)翻事故屢屢發(fā)生。據(jù)統(tǒng)計，20%的商用車事故由側(cè)傾和橫向失穩(wěn)導(dǎo)致，其中66%發(fā)生在轉(zhuǎn)向過程中［4］，商用車的抗側(cè)傾控制吸引了廣泛的關(guān)注。

目前，關(guān)于商用車抗側(cè)傾控制的研究主要集中于主動抗側(cè)傾裝置及其控制，如差動制動［5］、主動抗側(cè)傾桿［6］、主動轉(zhuǎn)向以及差動制動和主動抗側(cè)傾桿之間的聯(lián)合控制［7］，在控制方法上，針對模型參數(shù)的不確定性，張志勇等人基于線性矩陣不等式的魯棒控制理論，提出了基于觀測器的抗側(cè)傾輸出反饋控制方法［8］；Vu等人基于H∞控制理論設(shè)計了對車速和簧載質(zhì)量魯棒的主動防側(cè)傾控制器［9］；Gaspar等人考慮車速時變特性，運用線性變參數(shù)（LPV）法進行了主動防傾桿和主動制動的聯(lián)合控制［10］；Boada等人提出了一種基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的強化學(xué)習(xí)算法來提高商用車的側(cè)傾穩(wěn)定性［11］；靳立強等人基于零力矩點位置計算了側(cè)翻時間，當(dāng)側(cè)翻時間小于設(shè)定門限值時，基于模糊PID控制策略對不同車輪施加制動力矩［12］。在這些控制器設(shè)計過程中，將車輪轉(zhuǎn)角視為系統(tǒng)外界不確定擾動輸入，基于相應(yīng)抗側(cè)傾性能指標(biāo)設(shè)計抗側(cè)傾控制器，并求得在前輪不確定擾動輸入下保證車輛側(cè)傾穩(wěn)定性的控制輸入。而實際上，車輛的橫向動力學(xué)和側(cè)傾動力學(xué)通過橫向-側(cè)傾慣性積相互耦合，在智能商用車上的表現(xiàn)為車輛的側(cè)傾動力學(xué)受橫向控制系統(tǒng)轉(zhuǎn)角輸入的影響，同時橫向動力學(xué)也受抗側(cè)傾系統(tǒng)控制輸入的影響，僅將二者互為分散地設(shè)計橫向與抗側(cè)傾控制策略將忽略二者之間的相互作用。

動態(tài)博弈理論在處理多目標(biāo)優(yōu)化、多參與者存在相互交互的復(fù)雜系統(tǒng)問題上具有潛在應(yīng)用［13-15］，針對商用車路徑跟蹤橫向-側(cè)傾控制過程中，轉(zhuǎn)向子系統(tǒng)與抗側(cè)傾子系統(tǒng)等多個子系統(tǒng)之間交聯(lián)耦合又相互影響，各子系統(tǒng)控制輸入彼此互相影響又共同對車輛橫擺-側(cè)傾動力學(xué)產(chǎn)生作用，因此，基于動態(tài)博弈理論設(shè)計商用車橫向-側(cè)傾穩(wěn)定性控制器具有明顯的優(yōu)勢。

本文中針對商用車路徑跟蹤橫向與抗側(cè)傾控制，提出了一種基于動態(tài)Pareto最優(yōu)均衡的協(xié)同式最優(yōu)控制策略，在路徑跟蹤-抗側(cè)傾全局性能指標(biāo)優(yōu)化的基礎(chǔ)上，橫向控制器與抗側(cè)傾控制器充分考慮彼此的控制輸入，得到滿足Pareto最優(yōu)均衡的控制策略。為此，首先建立路徑跟蹤橫向與抗側(cè)傾控制智能車-道路閉環(huán)模型。其次基于最優(yōu)控制理論，設(shè)計了分散式橫向與抗側(cè)傾控制器作為對比，基于合作式閉環(huán)Pareto均衡理論設(shè)計了橫向-抗側(cè)傾協(xié)同式最優(yōu)控制器。最后進行仿真對比，結(jié)果表明，所設(shè)計的協(xié)同式最優(yōu)控制策略能夠降低系統(tǒng)橫向-側(cè)傾動力學(xué)之間的相互影響，在保證路徑跟蹤精度的同時有效提高了商用車側(cè)傾和橫向穩(wěn)定性。

1 智能商用車-道路閉環(huán)模型

1.1 商用車橫擺-側(cè)傾耦合模型

為描述車輛轉(zhuǎn)向輸入對側(cè)傾和操穩(wěn)的響應(yīng)，Segal最早建立了包含橫向、橫擺和側(cè)傾運動的線性車輛3自由度模型［16］，為研究主動防側(cè)傾裝置，Tan等人建立了包含抗側(cè)傾執(zhí)行機構(gòu)模型的車輛橫擺-側(cè)傾耦合模型［17］。主動轉(zhuǎn)向、差動制動等防側(cè)傾方法需要對前輪進行直接的橫向或縱向控制，會對路徑跟蹤橫向控制產(chǎn)生直接影響，因此本文中采用主動抗傾桿作為主動抗側(cè)傾裝置，建立抗側(cè)傾控制車輛模型，如圖1所示，將車輛分為簧載質(zhì)量和前后非簧載質(zhì)量3部分，僅考慮簧載質(zhì)量的橫向、橫擺運動，以及簧載質(zhì)量和前后非簧載質(zhì)量繞車輛側(cè)傾軸線的轉(zhuǎn)動，建立簧載質(zhì)量側(cè)傾、橫向、橫擺以及前后軸非簧載質(zhì)量側(cè)傾動力學(xué)模型，如式（1）～式（5）所示，各符號詳細(xì)描述見表1。

圖1 商用車橫-擺-側(cè)傾耦合模型

表1 模型中的符號與描述

式中前后軸側(cè)向力Fyi可由前后軸等效側(cè)偏剛度表示為

在前后軸側(cè)偏剛度較小的情況下，前后軸等效側(cè)偏角可表示為

為了對路徑跟蹤的橫向跟蹤誤差進行表達，首先需要描述車輛的實時橫向位置和航向角，在車輛航向角很小的情況下，橫向位置可表示為

根據(jù)式（1）～式（8），建立用于路徑跟蹤橫向與抗側(cè)傾控制器設(shè)計的車輛狀態(tài)空間方程：

式中：x為系統(tǒng)狀態(tài)向量；u為系統(tǒng)輸入；y為系統(tǒng)輸出。

根據(jù)矩陣A，B，C，D，利用MATLAB函數(shù)c2d可得到車輛離散狀態(tài)方程：

1.2 智能車-道路閉環(huán)模型

Sharp等人［18］通過將預(yù)瞄點信息與離散車輛狀態(tài)方程結(jié)合，得到多點預(yù)瞄路徑跟蹤模型，車輛前方的Np＋1個預(yù)瞄點的期望信息可通過道路移位寄存器矩陣表示為

式中：yd為當(dāng)前時刻車輛前方Np＋1個點的期望橫向位置yd0，yd1，yd2，…，ydNp-1，ydNp組 成的列向量；ydi為當(dāng)前時刻輸入的預(yù)瞄點期望橫向位置；ψd為當(dāng)前時刻車輛前方Np＋1個點的期望航向角 ψd0，ψd1，ψd2，…，ψdNp-1，ψdNp組成的列向量；ψdi為當(dāng)前時刻輸入的預(yù)瞄點期望航向角；Dd為道路移位寄存器矩陣；Ed為道路輸入矩陣。Dd和Ed可表示為

將道路預(yù)瞄信息模型增廣到式（14）車輛離散狀態(tài)方程中得到車輛-道路閉環(huán)模型：

2 路徑跟蹤橫向控制與抗側(cè)傾控制策略設(shè)計

2.1 二次代價函數(shù)

2.1.1 路徑跟蹤橫向控制二次代價函數(shù)

選取預(yù)瞄點處的橫向位置誤差（y（k）-yd（k））與航向角誤差（ψ（k）-ψd（k））作為路徑跟蹤性能指標(biāo)加權(quán)項，假設(shè)控制域為Nu步，則二次代價函數(shù)為

式中：RP為路徑跟蹤橫向控制性能指標(biāo)加權(quán)矩陣；SP為輸入加權(quán)矩陣；為終端加權(quán)矩陣，通常為RP。

式中：q1和q2為性能指標(biāo)加權(quán)系數(shù)；p1為輸入加權(quán)系數(shù)。

2.1.2 防側(cè)傾控制二次代價函數(shù)

選取簧載質(zhì)量側(cè)傾角φ、前軸歸一化載荷轉(zhuǎn)移Rf、后軸歸一化載荷轉(zhuǎn)移Rr、簧載質(zhì)量與前軸非簧載質(zhì)量側(cè)傾角之差（φ-φuf）和簧載質(zhì)量與后軸非簧載質(zhì)量側(cè)傾角之差（φ-φur）作為主動抗側(cè)傾控制性能指標(biāo)加權(quán)項，Rf和Rr如式（21）所示。

假設(shè)控制域為Nu步，則有限時域離散形式二次代價函數(shù)為

式中：RA為抗側(cè)傾控制性能指標(biāo)加權(quán)矩陣；SA為輸入加權(quán)矩陣為終端加權(quán)矩陣，通常為RA。

式中：q3～q7為性能指標(biāo)加權(quán)系數(shù)；p2和p3為輸入加權(quán)系數(shù)。

2.2 分散式最優(yōu)控制策略

車輛在進行自動橫向控制與抗側(cè)傾控制時，路徑跟蹤控制器和抗側(cè)傾控制器有各自的控制目標(biāo)，最基本的控制方法是利用分散式最優(yōu)控制將兩個控制器簡單組合，每個控制器根據(jù)線性二次型最優(yōu)理論計算自己的控制律，而控制器間沒有交互，其控制框架如圖2所示。圖中，JP（Nu，k）和JA（Nu，k）如式（19）和式（22）所示。

圖2 分散式最優(yōu)控制框架

將式（19）與式（22）結(jié)合，得到分散式全局二次代價函數(shù)J（Nu，k）：

式中：R1為分散式全局性能指標(biāo)加權(quán)矩陣；P0為終端加權(quán)矩陣；S為輸入加權(quán)矩陣，通常取P0=R1；z為狀態(tài)矢量。

Bitmead［19］指出，基于龐伽里特金原理求解離散時間線性二次型最優(yōu)控制器，可從初始條件P0開始迭代差分形式的黎卡提方程，如式（25）所示。

十個吃客有九個會說，毛蟹炒年糕里的年糕最好吃。年糕浸滿了蟹味，包裹著醬汁，軟軟糯糯的，比蟹都要嗲，會吃的都要去挑年糕吃，受冷落的都是毛蟹。可我就不這么認(rèn)為，我就是那十分之一，就是覺著蟹好吃。

在k時刻，控制域Nu內(nèi)第j步最優(yōu)輸入為

取k時刻所得控制序列的第一個輸入w（k）opt作為當(dāng)前時刻的最優(yōu)輸入，則線性時不變（LTI）系統(tǒng)的滾動時域二次型最優(yōu)控制輸入為

2.3 基于Pareto最優(yōu)均衡的協(xié)同式控制策略

由圖2所示的控制結(jié)構(gòu)可以看出，系統(tǒng)狀態(tài)z（k）同時受輸入 δf，Tf和Tr的影響，分散式最優(yōu)控制中的每個最優(yōu)控制器在計算最優(yōu)控制策略時，忽略了另外一個控制器的控制目標(biāo)和控制輸入，因而此時路徑跟蹤橫向控制器所計算的最優(yōu)車輪轉(zhuǎn)角可能對防側(cè)傾控制目標(biāo)產(chǎn)生不利影響，反之亦然。

Pareto均衡理論作為一種合作式博弈策略，在系統(tǒng)動態(tài)演化過程中，各控制參與者在進行控制決策時，不僅考慮自身的利益函數(shù)，還會考慮其他參與者的利益函數(shù)。為更好地減弱商用車橫向-側(cè)傾動力學(xué)的耦合，本文中基于Pareto均衡理論設(shè)計了協(xié)同式最優(yōu)控制框架，如圖3所示。

圖3 基于Pareto均衡的交互共享式控制框架

這種控制框架中有兩條通道，兩個最優(yōu)控制器之間彼此交互，分享各自的控制目標(biāo)和控制輸入，路徑跟蹤橫向控制器和防側(cè)傾控制器同時將各自性能指標(biāo)的線性加權(quán)之和作為自身的性能指標(biāo)，如式（28）所示，根據(jù)此性能指標(biāo)并同時考慮對方控制器的控制輸入來計算自身的最優(yōu)控制策略，因此每個控制器不僅使自己的性能指標(biāo)極小，還極小化自身控制輸入對另一性能指標(biāo)影響，達到全局最優(yōu)。

根據(jù)Pareto最優(yōu)均衡理論，則式（19）和式（22）所示二次型目標(biāo)函數(shù)為

式中R2為Pareto最優(yōu)全局性能指標(biāo)加權(quán)矩陣，如式（29）所示。

式中ρ1和ρ2為加權(quán)系數(shù)。為便于Pareto協(xié)同最優(yōu)控制器的設(shè)計，將式（17）所示的智能車-道路閉環(huán)模型改寫為

根據(jù)式（32）可得到協(xié)態(tài)變量與狀態(tài)變量之間的線性關(guān)系：

根據(jù)式（30）、式（32）和式（33），可得如下一組耦合黎卡提迭代方程：

3 仿真與結(jié)果分析

本文中基于多點預(yù)瞄理論制定路徑跟蹤控制策略，并在此基礎(chǔ)上分別設(shè)計了分散式最優(yōu)橫向-抗側(cè)傾控制策略、Pareto協(xié)同式最優(yōu)橫向-抗側(cè)傾控制策略；為進一步說明控制結(jié)果，選取蛇形線作為期望路徑進行跟蹤，將所設(shè)計的兩種控制策略與單純路徑跟蹤時的控制策略進行對比，仿真驗證所提出的基于Pareto協(xié)同式最優(yōu)控制策略的有效性。

歸一化載荷轉(zhuǎn)移能夠衡量車輛側(cè)傾穩(wěn)定性，當(dāng)歸一化載荷轉(zhuǎn)移超過1或-1時，車輛發(fā)生側(cè)翻，為了分析對側(cè)傾穩(wěn)定性控制效果，選取3種控制方法下的前后軸歸一化載荷轉(zhuǎn)移進行比較，如圖4和圖5所示，圖中點劃線表示歸一化載荷轉(zhuǎn)移為-1。

圖4 前軸歸一化載荷轉(zhuǎn)移

圖5 后軸歸一化載荷轉(zhuǎn)移

圖中的無控制是指車輛僅進行路徑跟蹤控制而不進行抗側(cè)傾控制，由于沒有側(cè)傾控制，后軸的歸一化載荷轉(zhuǎn)移超過-1，發(fā)生側(cè)翻；相比于無抗側(cè)傾控制情況，分散式最優(yōu)控制可顯著提高車輛側(cè)傾穩(wěn)定性，而Pareto協(xié)同式最優(yōu)對側(cè)傾穩(wěn)定性的提高效果明顯好于分散式最優(yōu)，分散式最優(yōu)控制和Pareto協(xié)同式最優(yōu)控制輸入力矩如圖6所示，后者的輸入力矩要稍微大于前者。

為分析3種情況下車輛路徑跟蹤的控制效果，選取3種控制方法下車輛的橫向位置，航向角進行比較分析，如圖7和圖8所示。

通過比較無控制與分散式最優(yōu)兩種控制算法下車輛的橫向位置和航向角，可發(fā)現(xiàn)無控制下車輛的橫向位移和航向角都更接近期望路徑，這可能是由于分散式最優(yōu)控制中的側(cè)傾控制輸入對橫向控制產(chǎn)生影響，而基于Pareto最優(yōu)均衡理論設(shè)計的協(xié)同式最優(yōu)控制策略，路徑跟蹤效果明顯好于無控制與分散式最優(yōu)控制，說明Pareto協(xié)同式最優(yōu)控制策略可減小抗側(cè)傾控制輸入對橫向路徑跟蹤效果的影響。

圖6 兩種控制策略下前后軸抗側(cè)傾力矩

圖7 不同控制算法下的橫向位移

圖8 不同控制算法下的航向角

由于車輛的操縱穩(wěn)定性與側(cè)傾穩(wěn)定性相互耦合，車輛橫擺角速度與側(cè)傾角呈復(fù)雜的非線性關(guān)系［21］，因此有必要判斷施加的主動抗側(cè)傾力矩對操縱穩(wěn)定性的影響，車輛的操縱穩(wěn)定域可由相平面ββ′得到，且可用穩(wěn)定性指標(biāo) λ評估［22］，λ如式（35）所示，當(dāng)λ≤1時，商用車處于穩(wěn)定域內(nèi)。

在分散式最優(yōu)和Pareto協(xié)同式最優(yōu)兩種控制方法下的β-β′相平面和λ如圖9和圖10所示。

圖9 β-β′相圖

圖10 操縱穩(wěn)定性指標(biāo)

由圖可以看出，Pareto協(xié)同式最優(yōu)控制下車輛的橫向穩(wěn)定性明顯好于無抗側(cè)傾控制和分散式最優(yōu)控制。

4 結(jié)論

本文中建立了5自由度智能商用車-道路閉環(huán)模型，基于線性二次最優(yōu)理論設(shè)計了路徑跟蹤橫向-抗側(cè)傾分散式最優(yōu)控制器，基于Pareto最優(yōu)均衡理論設(shè)計了Pareto協(xié)同式最優(yōu)控制策略，基于智能車-道路閉環(huán)模型對兩種控制策略進行了仿真驗證。仿真結(jié)果表明，相比于分散式最優(yōu)控制策略，Pareto協(xié)同式最優(yōu)控制策略能夠減小橫向與抗側(cè)傾控制之間的耦合，在提高車輛路徑跟蹤精度的同時顯著提高車輛的橫向和側(cè)傾穩(wěn)定性。