基于熵值與變異系數(shù)定權(quán)法的控制網(wǎng)平差

周斌

摘 要：熵值與變異系數(shù)定權(quán)都是一種客觀的定權(quán)方法，能克服常規(guī)經(jīng)驗(yàn)定權(quán)的不足。文章將這兩種客觀定權(quán)方法引入工程控制網(wǎng)平差中，并與常規(guī)定權(quán)方法進(jìn)行比較。通過算例驗(yàn)證表明，文章方法顯然比常規(guī)定權(quán)法的精度要高。

關(guān)鍵詞：熵；變異系數(shù)；邊角網(wǎng)；權(quán)

中圖分類號(hào)：P207+.2 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：2095-2945（2019）21-0021-03

Abstract： Both the entropy value and the coefficient of variation are an objective method of determining power， which can overcome the deficiency of determining weight by experience. In this paper， these two objective weight methods are introduced into the side and angle adjustment of networks and compared with the regular weight method. From the application examples， the results showed that the adjustment accuracy of our proposed method was obviously higher than that of the regular weight method.

Keywords： entropy； variation coefficient； the side and angle networks； weight

常規(guī)工程控制網(wǎng)一般都是邊角網(wǎng)，通過角度和邊長(zhǎng)測(cè)量來(lái)確定待求點(diǎn)的坐標(biāo)，由于邊角網(wǎng)能同時(shí)顧及邊長(zhǎng)和角度的優(yōu)點(diǎn)，在工程控制網(wǎng)中比較普遍。一般情況下，在平差時(shí)都是通過儀器標(biāo)定的角度和邊長(zhǎng)測(cè)量精度來(lái)確定觀測(cè)值的權(quán)重，然后進(jìn)行平差計(jì)算。但因?yàn)閮x器的測(cè)角和測(cè)邊精度由生產(chǎn)商標(biāo)定后通常與實(shí)際測(cè)量情況會(huì)有差異，因此造成觀測(cè)值的權(quán)重與實(shí)際測(cè)量情況不一致，由此而影響內(nèi)業(yè)平差時(shí)的情況，最后對(duì)點(diǎn)位的解算結(jié)果造成影響。為了在平差時(shí)考慮這一問題，文獻(xiàn)3闡述了應(yīng)用二次定權(quán)法和Helmert驗(yàn)后方差法對(duì)邊角網(wǎng)進(jìn)行平差，取得了較好的效果，但這兩種方法理論和計(jì)算都較為復(fù)雜，不易測(cè)量工作人員理解。文獻(xiàn)4和文獻(xiàn)5分別應(yīng)用熵值法和變異系數(shù)法對(duì)水準(zhǔn)網(wǎng)和導(dǎo)線網(wǎng)進(jìn)行平差，相對(duì)于常規(guī)方法得到了比較好的結(jié)果。本文借鑒這一客觀定權(quán)的方法，將熵值法和變異系數(shù)法應(yīng)用到工程控制網(wǎng)的邊角定權(quán)中，并將定權(quán)結(jié)果和平差結(jié)果與常規(guī)方法進(jìn)行比較，結(jié)果表明本文方法能進(jìn)一步提高點(diǎn)位的解算精度。對(duì)工程控制網(wǎng)的平差解算具有一定借鑒作用。

1 一般定權(quán)方法

1.1 先驗(yàn)定權(quán)法

工程控制網(wǎng)中各邊長(zhǎng)觀測(cè)、角度觀測(cè)相互之間都是獨(dú)立的，為了確定邊、角觀測(cè)的權(quán)比，其？滓？茁和？滓■采用儀器生產(chǎn)商標(biāo)定的測(cè)角、測(cè)距儀器的先驗(yàn)精度或者是經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)。式中，？滓■=ma+mbSi。因此其定權(quán)公式為：

（1）

（2）

1.2 二次定權(quán)法

二次定權(quán)法的基本思路是將工程控制網(wǎng)的角度觀測(cè)值和邊長(zhǎng)觀測(cè)值分開進(jìn)行考慮，即利用角度組成的網(wǎng)型進(jìn)行測(cè)角網(wǎng)平差，利用邊長(zhǎng)組成的網(wǎng)型進(jìn)行測(cè)邊網(wǎng)平差，分別得到測(cè)角和測(cè)邊的后驗(yàn)精度。然后根據(jù)得到的測(cè)角和測(cè)邊的精度重新定權(quán)，一起進(jìn)行平差。這種方法的優(yōu)點(diǎn)是從理論上來(lái)講考慮嚴(yán)密，但缺點(diǎn)是并不是所有工程控制網(wǎng)都能適應(yīng)，因?yàn)橐ＷC測(cè)邊或測(cè)角能獨(dú)立組成網(wǎng)型。

2 客觀定權(quán)法

2.1 熵值法

熵（entropy）這一個(gè)詞最先來(lái)自熱力學(xué)，隨后被shannon將它應(yīng)用到信息論中，得到了很多學(xué)者和不同學(xué)科領(lǐng)域的關(guān)注。在工程技術(shù)、社會(huì)經(jīng)濟(jì)、信息處理等不同領(lǐng)域備受關(guān)注并得到了較多的研究和發(fā)展[6]。熵實(shí)際上描述的是信息的一種不確定性的度量，它是一種客觀的能反映信息本質(zhì)的量。當(dāng)系統(tǒng)處于m種不同狀態(tài)，每種狀態(tài)出現(xiàn)的概率為Pi（i=1，2，…，m）時(shí)，該系統(tǒng)的熵為：

采用熵值法確權(quán)的關(guān)鍵在于確定決策矩陣，在邊角網(wǎng)中一個(gè)角度和一條邊的觀測(cè)組成一個(gè)被評(píng)價(jià)的對(duì)象，角度和邊長(zhǎng)相當(dāng)于評(píng)價(jià)指標(biāo)。如果角度和邊長(zhǎng)數(shù)目不相等則不足的用0代替，以構(gòu)成完整矩陣[4]。

利用熵權(quán)法確定各指標(biāo)的權(quán)系數(shù)的詳細(xì)步驟為：

（1）首先對(duì)原始決策矩陣X進(jìn)行無(wú)量綱化處理，使其轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)化矩陣R=（rij）m×n：

（2）根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化矩陣R=（rij）m×n，由下式求出影響因子的出現(xiàn)概率Pij

（5）

（3）然后根據(jù)下式求指標(biāo)的熵，其中0≤Ei≤1。

（6）

（4）第j個(gè)指標(biāo)的熵權(quán)Dj為：

（7）

（5）確定最終權(quán)Pi為：

Pi=Pij·Dj （8）

2.2 變異系數(shù)法

變異系數(shù)法是直接考慮各指標(biāo)所包含的相關(guān)信息，根據(jù)相關(guān)公式計(jì)算來(lái)求得各指標(biāo)的權(quán)重，也是一種客觀賦權(quán)的方法。其基本思想是，在評(píng)價(jià)指標(biāo)體系中，指標(biāo)取值差異越大的指標(biāo)，也就是越難以現(xiàn)的指標(biāo)，這樣的指標(biāo)更能反映被評(píng)價(jià)單位的差距[7]。變異系數(shù)法定權(quán)其決策矩陣的構(gòu)造與熵值法相同。

確定各指標(biāo)的權(quán)系數(shù)的步驟如下：

（1）首先根據(jù)下式計(jì)算每個(gè)指標(biāo)的變異系數(shù)：

式中：Vj是第j項(xiàng)指標(biāo)的變異系數(shù)，也稱為標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)；？滓j是第j項(xiàng)指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)差；是第j項(xiàng)指標(biāo)的平均數(shù)。

（2）然后根據(jù)下式求各指標(biāo)的權(quán)重：

（10）

（3）最后由式（6）求出的Pij與Wj的乘積來(lái)確定最終權(quán)重。

3 應(yīng)用實(shí)例

某工程控制網(wǎng)如圖1所示，是一個(gè)邊角網(wǎng)，由5個(gè)已知點(diǎn)和2個(gè)未知點(diǎn)組成，外業(yè)進(jìn)行了角度和邊長(zhǎng)的觀測(cè)，其中同等精度的觀測(cè)了9個(gè)角度，相應(yīng)的測(cè)角中誤差為±2.5″；同時(shí)觀測(cè)了5條邊長(zhǎng)，相應(yīng)的測(cè)距精度為±3mm+1×10-6D。采用如下幾種方案進(jìn)行定權(quán)然后平差計(jì)算，方案1采用經(jīng)驗(yàn)定權(quán)法進(jìn)行平差計(jì)算；方案2采用二次定權(quán)法進(jìn)行平差計(jì)算；方案3采用熵值定權(quán)法進(jìn)行平差計(jì)算；方案4采用變異系數(shù)法定權(quán)進(jìn)行平差計(jì)算。四種方案定權(quán)結(jié)果見表1所示，根據(jù)不同方案的定權(quán)進(jìn)行平差計(jì)算，計(jì)算的結(jié)果見表2所示。

從表1的不同方案定權(quán)結(jié)果中可以看出，兩種客觀定權(quán)法的定權(quán)結(jié)果與一般定權(quán)所得的結(jié)果相差較大，這是因?yàn)橐话愣?quán)法在定權(quán)時(shí)通常是根據(jù)儀器標(biāo)定的先驗(yàn)精度來(lái)進(jìn)行，這與實(shí)際情況存在差別。而控制網(wǎng)中，邊長(zhǎng)和角度都是影響平差精度的因素，應(yīng)該要合理分配其權(quán)比。相比較兩種客觀定權(quán)法的定權(quán)結(jié)果，相差不大，這是因?yàn)閮煞N方法在定權(quán)時(shí)都考慮了邊長(zhǎng)和角度觀測(cè)值對(duì)點(diǎn)位精度的影響的客觀性，差異只是具體計(jì)算方式不同。

從表2的不同方案計(jì)算結(jié)果中可以看出，運(yùn)用兩種客觀定權(quán)法所平差的結(jié)果提高了精度，該控制網(wǎng)中兩個(gè)未知點(diǎn)P1和P2，其點(diǎn)位中誤差都減少了近10mm。在這四種不同的方案進(jìn)行平差計(jì)算，采用熵值法進(jìn)行定權(quán)再進(jìn)行平差計(jì)算得到的結(jié)果精度最高，采用變異系數(shù)法進(jìn)行定權(quán)再進(jìn)行平差結(jié)果精度稍低，而一般的先驗(yàn)定權(quán)法精度最低。由此可見，采用客