區(qū)間值映射的半連續(xù)性與凸性

李娜,包玉娥

(內(nèi)蒙古民族大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,內(nèi)蒙古 通遼 028043)

1 引言

區(qū)間值映射是取值為區(qū)間數(shù)的函數(shù),是區(qū)間分析(區(qū)間數(shù)學(xué))中的重要組成部分.為了建立區(qū)間值最優(yōu)化理論[1-2]、區(qū)間值微分方程理論[3-4],人們開(kāi)始討論區(qū)間值映射的可微性及凸性等問(wèn)題,并建立了相關(guān)理論.

最優(yōu)化理論作為數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支,有著廣泛的應(yīng)用.然而在現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的建模過(guò)程中,由于一些數(shù)據(jù)或信息的不確定性,許多數(shù)學(xué)規(guī)劃中用區(qū)間數(shù)表示數(shù)據(jù)或信息的變化范圍[5-6].在討論區(qū)間值規(guī)劃的KKT最優(yōu)性條件時(shí)區(qū)間值映射的凸性及相關(guān)性質(zhì)起著關(guān)鍵作用[1,7-8].

文獻(xiàn) [9-10]討論了區(qū)間值映射的極限及可微等問(wèn)題,并給出了相關(guān)性質(zhì)及其應(yīng)用.本文在此基礎(chǔ)上,進(jìn)一步討論區(qū)間值映射的半連續(xù)性及凸性問(wèn)題.在第3節(jié)中,建立區(qū)間值映射的半連續(xù)性概念,并給出相關(guān)的性質(zhì).在第4節(jié)中,討論半連續(xù)區(qū)間值映射的凸性問(wèn)題.

2 預(yù)備知識(shí)

本節(jié)介紹區(qū)間數(shù)及區(qū)間值映射的一些相關(guān)概念.

設(shè) R表示實(shí)數(shù)集,對(duì)任意R且,稱有界閉區(qū)間為區(qū)間數(shù),記為區(qū)間數(shù)全體構(gòu)成的集合記為[R],并稱 [R]為區(qū)間數(shù)空間.特別是,對(duì)a∈R,記為=[a,a],則∈[R].當(dāng)0時(shí),稱為正區(qū)間數(shù),其全體記為[R+],并稱為正區(qū)間數(shù)空間.下面首先介紹區(qū)間數(shù)空間[R]上的加法運(yùn)算、數(shù)乘運(yùn)算及大小關(guān)系[8,11].

在上述序關(guān)系之下,易推出下面的結(jié)論.

引理 2.1設(shè)a,b,c,d∈[R],則

(1)a≤b?a+c≤b+c.

(2)a≤b?ka≤kb(k≥0).

(3)a≤b,c≤d?a+c≤b+d.

設(shè)M是n維歐式空間Rn的一個(gè)非空子集,映射F:M→[R]稱為區(qū)間值映射,且記為

定義2.1[1,11]設(shè)M是n維歐式空間Rn的一個(gè)非空凸子集,映射F:M→[R]為區(qū)間值映射.若對(duì)任何α∈(0,1),有F(αx+(1?α)y)≤ αF(x)+(1?α)F(y),?x,y∈M,則稱F為M上的凸區(qū)間值映射.

引理 2.2[12]設(shè)M是n維歐式空間Rn的一個(gè)非空子集,若f是M上的實(shí)值函數(shù)且存在α ∈(0,1),使得f(αx+(1?α)y)≤ αf(x)+(1?α)f(y),?x,y∈M,則數(shù)集

在[0,1]中稠密.

3 區(qū)間值映射的半連續(xù)性

本節(jié)主要引進(jìn)區(qū)間值映射的半連續(xù)性概念及相關(guān)性質(zhì).為此,首先給出區(qū)間數(shù)空間子集的有界及確界的概念.

定義 3.1設(shè)A為區(qū)間數(shù)空間[R]中的非空子集.若存在區(qū)間數(shù)a∈[R],使得對(duì)任何x∈A,有x≤a,則稱a為A的一個(gè)上界,且稱A為有上界的子集.

設(shè)a0為A的一個(gè)上界,若對(duì)A的任何上界a,都有a0≤a,則稱a0為A的上確界,記作a0=supA.同理可以定義A的下界和下確界b0=infA.

若A既有上界又有下界,則稱A為有界集.

定理3.1若A為區(qū)間數(shù)空間[R]中的有界集,則A的上確界supA和下確界infA都存在,且supA=[supsup],infA=[infinf],其中.

證明設(shè)A為區(qū)間數(shù)空間[R]中的有界集,則存在,使得對(duì)任何x=[]∈A,有a≥x≥b,即且.所以由實(shí)數(shù)集的確界原理,有

下面證明a0=supA=[supsup],b0=infA=[infinf].

只需證明a0=supA=[supsup]即可,b0=infA=[infinf]的證明類似.

假設(shè)a0supA,那么存在A的一個(gè)上界a1=[11]∈[R],使得a0>a1.從而01且01.又因?yàn)閷?duì)任何x∈A,有x≤a1,即1且1.所以

這與0及0的定義相矛盾,故a0=supA=[supsup].

定義 3.2設(shè)F:M→[R]是一個(gè)區(qū)間值映射,x0∈M.如果對(duì)任意ε>0,存在δ>0,對(duì)任何x∈M,當(dāng)‖x?x0‖<δ時(shí),有,則稱F在點(diǎn)x0處下半連續(xù).

如果F對(duì)M中的每一點(diǎn)都下半連續(xù),則稱F在M上下半連續(xù).

定理 3.2設(shè)F:M→[R]是下半連續(xù)的區(qū)間值映射,則實(shí)值函數(shù)(x)和(x)在M上下半連續(xù).

證明設(shè)F:M→[R]是下半連續(xù)的區(qū)間值映射,x0∈M,則對(duì)任意ε>0,存在δ>0,當(dāng)x∈M且‖x?x0‖<δ時(shí),有F(x0)≤F(x)+.所以

從而由實(shí)值函數(shù)的半連續(xù)性概念,有實(shí)值函數(shù)(x)和(x)在M上下半連續(xù).

定義 3.3設(shè)F是區(qū)間值映射,若存在A=[]∈[R],當(dāng)x∈M時(shí),有F(x)≤A,則稱F為有上界的區(qū)間值映射.如果存在B=[]∈[R],當(dāng)x∈M時(shí),有F(x)≥B,則稱F為有下界的區(qū)間值映射.

定理 3.3設(shè)M為閉集,F:M→[R]為下(上)半連續(xù)區(qū)間值映射,則F為有下(上)界的區(qū)間值映射.

證明設(shè)F:M→[R]為閉集M上的下半連續(xù)區(qū)間值映射,x0∈M,則對(duì)任意ε0>0,存在δ0>0,當(dāng)x∈M且‖x?x0‖<δ時(shí),有

同理可證有界閉集的上半連續(xù)區(qū)間值映射有上界.

定理 3.4設(shè)F和G都是M上的上(下)半連續(xù)區(qū)間值映射,則F+G是M上的上(下)半連續(xù)區(qū)間值映射.

證明設(shè)F和G都是M上的上半連續(xù)區(qū)間值映射,x0∈M,則對(duì)任意ε>0,存在δ1>0,δ2>0,使得當(dāng)x∈M且‖x?x0‖<δ1時(shí),有

當(dāng)x∈M且‖x?x0‖<δ2時(shí),有

取δ=min{δ1,δ2},則當(dāng)x∈M且‖x?x0‖<δ時(shí),有

從而(F+G)(x)≤(F+G)(x0)+,即F+G是M上的上半連續(xù)區(qū)間值映射.

關(guān)于下半連續(xù)的情況證明類似于上半連續(xù),從略.

稱F:M→[R+]為非負(fù)區(qū)間值映射,關(guān)于非負(fù)區(qū)間值映射有下面的結(jié)論.

定理 3.5設(shè)F和G都是M上的非負(fù)上半連續(xù)區(qū)間值映射,則F·G也是M上的上半連續(xù)區(qū)間值映射.

證明設(shè)F和G都是M上的非負(fù)上半連續(xù)區(qū)間值映射,對(duì)x0∈M及0<ε<1,令

則 0<ε0<1且存在δ1>0和δ2>0使得當(dāng)x∈M且‖x?x0‖<δ1時(shí),有

當(dāng)x∈M且‖x?x0‖<δ2時(shí),有

取δ=min{δ1,δ2},則當(dāng)x∈M且‖x?x0‖<δ時(shí),由F和G的非負(fù)性有

從而

4 區(qū)間值映射的凸性

本節(jié)討論半連續(xù)區(qū)間值映射的凸性問(wèn)題.在本節(jié)中設(shè)M是n維歐式空間Rn的一個(gè)非空凸子集.首先將引理2.2推廣到區(qū)間值映射,給出下面的一個(gè)引理.

引理 4.1設(shè)F:M→[R]是一個(gè)區(qū)間值映射,如果存在α∈(0,1),使得

則數(shù)集

在[0,1]中稠密.

證明證明與文獻(xiàn)[12]中定理2的證明類似,從略.

定理 4.1設(shè)F:M→[R]是下半連續(xù)區(qū)間值映射,如果存在α∈(0,1)使得

則F是M上的一個(gè)凸區(qū)間值映射.

證明對(duì)λ ∈(0,1),由引理 4.1可知存在點(diǎn)列λn∈K(n=1,2,···),使得

又由F的下半連續(xù)性及‖(λnx+(1?λn)y)?(λx+(1?λ)y)‖→0(n→ ∞)可得,對(duì)任意ε>0,存在N∈N+,當(dāng)n>N時(shí),有

于是由λn∈K,有

所以

從而由ε的任意性,當(dāng)n→∞時(shí)有

即

因此F是M上的一個(gè)凸區(qū)間值映射.

定理 4.2設(shè)F:M→[R]是上半連續(xù)區(qū)間值映射,如果存在α∈(0,1)使得

則F是M上的凸區(qū)間值映射.

證明對(duì)于λ∈(0,1),由引理4.1,可以選取單調(diào)遞增點(diǎn)列λn∈K(n=1,2,···),使得λn→λ(n→∞),則

對(duì)x,y∈M,令s=λx+(1?λ)y,且

則s,yn∈M且

所以

另一方面,對(duì)任意ε>0,存在N∈N+,當(dāng)n>N時(shí),有

又由λn∈K,有

從而

由ε的任意性,當(dāng)n→∞時(shí)有

于是由區(qū)間數(shù)的序關(guān)系,有F(λx+(1?λ)y)≤λF(x)+(1?λ)F(y),?x,y∈M.因此F是M上的凸區(qū)間值映射.

定理 4.3設(shè)M是閉凸集,F:M→[R]是下半連續(xù)區(qū)間值映射.如果對(duì)任何x,y∈M,存在λ ∈(0,1)使得F(λx+(1?λ)y)≤ λF(x)+(1?λ)F(y),則F是M上的凸區(qū)間值映射.

證明設(shè)F:M→[R]下半連續(xù),則由定理3.2,(x)和(x)是閉凸集M上下半連續(xù)的實(shí)值函數(shù).于是由實(shí)分析的性質(zhì),(x)和(x)的上圖

都是Rn+1中的閉集.

如果對(duì)任何x,y∈M,存在λ∈(0,1)使得

假設(shè)F:M→[R]不是凸區(qū)間值映射,則存在x,y∈M及λ0∈(0,1)使得

則存在{tn}∈[0,1]使得utn∈epi且tn→r(n→∞).于是由ut在點(diǎn)r∈[0,1]處的連續(xù)性及 epi的閉性,有ur∈epi.又由u0=epi,有r>0.從而當(dāng)t∈[0,r),有utepi.

另一方面,令

則同樣vs∈epi且s>0,使得當(dāng)t∈[0,s)時(shí),有vtepi.從而對(duì)任何λ∈(0,1),有

這與(4.1)式相矛盾.即F:M→[R]是凸區(qū)間值映射.

注 4.1在定理4.3中,當(dāng)F:M→[R]是上半連續(xù)時(shí),定理的結(jié)論也成立.