四則運(yùn)算之“序”的教學(xué)之“理”*

□ 徐宏臻

一、緣起

學(xué)校舉辦賽課活動，內(nèi)容是蘇教版四年級上冊第七單元的“整數(shù)四則混合運(yùn)算”例1（主題圖如圖1）。筆者發(fā)現(xiàn)，許多教師在引導(dǎo)學(xué)生分步列式的基礎(chǔ)上，啟發(fā)學(xué)生結(jié)合事理和數(shù)量關(guān)系列出綜合算式12×3+15×4或 15×4+12×3，并確定先算什么，后算什么，最后算什么。許多教師教完例1后，就引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出混合運(yùn)算的順序規(guī)則：在沒有括號的算式里，有乘、除法和加、減法，要先算乘、除法，再算加、減法。

圖1

接著教學(xué)“試一試”。“試一試”是計算150+120÷6×5，教材旁白：要先算什么呢？學(xué)生根據(jù)例1得出的運(yùn)算順序規(guī)則，容易說出：在沒有括號的算式里，有乘、除法和加、減法，要先算乘、除法，再算加、減法。可是，緊接此后，教材又要求學(xué)生歸納和總結(jié)沒有括號的混合運(yùn)算式題的運(yùn)算順序。明明教師在教學(xué)例1時，已經(jīng)得出了混合運(yùn)算的順序規(guī)則，并且在“試一試”時又用到了這一規(guī)則，為什么教材這時又要求學(xué)生歸納和總結(jié)這一規(guī)則？教師這樣教是不是邏輯混亂、循環(huán)論證？評課時筆者提出這一問題，在場的三十多位教師無人答得上來。

無獨(dú)有偶，在另一次“同課異構(gòu)”教學(xué)中，筆者又聽了兩節(jié)這樣的課，其中一節(jié)課同上所教。另一節(jié)課則在上課伊始，就通過復(fù)習(xí)三年級的混合運(yùn)算順序，諸如200+100×5，200-100÷5等，引導(dǎo)學(xué)生得出上述混合運(yùn)算的順序規(guī)則。接著，就讓學(xué)生直接運(yùn)用這一規(guī)則進(jìn)行計算。那么，執(zhí)教者是否思考過教材編排的序及其邏輯聯(lián)系，究竟怎樣讓學(xué)生理解規(guī)則內(nèi)在的“理”？

二、找序

圖2

蘇教版教材“混合運(yùn)算”一詞首次出現(xiàn)是在三年級下冊第四單元，用三道例題教學(xué)“混合運(yùn)算”，例1見圖2。教材聯(lián)系學(xué)生非常熟悉的購物情境，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)所求問題，列出數(shù)量關(guān)系式：3本筆記本的錢+1個書包的錢=一共要用的錢，或1個書包的錢+3本筆記本的錢=一共要用的錢。數(shù)量關(guān)系式極為重要，因為它指導(dǎo)著學(xué)生列分步算式和綜合算式及如何對綜合算式5×3+20或20+5×3進(jìn)行計算，明確先算什么，再算什么，知道兩式都要先算乘法。在此基礎(chǔ)上，教師再引導(dǎo)學(xué)生歸納和總結(jié)出一條有關(guān)混合運(yùn)算順序的規(guī)則：算式中有乘法和加、減法，應(yīng)先算乘法。值得提出的是，混合計算只涉及三個數(shù)。

接著呈現(xiàn)例2（見圖3）。同樣在依據(jù)數(shù)量關(guān)系的基礎(chǔ)上，列出綜合算式，并得出另一條有關(guān)混合運(yùn)算順序的規(guī)則，即算式中有除法和加、減法，應(yīng)先算除法。最后例3教學(xué)有括號的算式的運(yùn)算順序，列出綜合算式，并得出第三條混合運(yùn)算順序的規(guī)則：算式里有括號，應(yīng)先算括號里面的。

圖3

可見，三年級下冊教材并未歸納出“先乘除，后加減”這一規(guī)則，也沒有把乘、除法與加法混合在一起，或把乘、除法與減法混合在一起，更沒有把乘、除法與加、減法同時混合在一起。執(zhí)教老師課前沒有理清教材編寫的“序”，想當(dāng)然地超前了，把新知當(dāng)成已知看待了。

蘇教版教材是在四年級上冊才進(jìn)行綜合的（圖1）。教材用一道例題引入四個數(shù)的混合計算，如12×3+15×4，借助數(shù)量關(guān)系式，說明乘、加法混合仍然要先算乘法，再算加法，與三年級一樣。這時，教材并未要求學(xué)生歸納出混合運(yùn)算的順序規(guī)則。接著，通過“試一試”，即計算150+120÷6×5，把乘、除法與加法混合在一起，并引導(dǎo)學(xué)生思考：要先算什么呢？引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)已有的知識和經(jīng)驗，類推出要先算乘、除法，再算加法，而這里乘、除法混合在一起，要按照從左往右的順序進(jìn)行計算。在此基礎(chǔ)上，再引導(dǎo)學(xué)生歸納和總結(jié)出混合運(yùn)算的順序規(guī)則：在沒有括號的算式里，有乘、除法和加、減法，要先算乘、除法，再算加、減法，即“先乘除，后加減”，原來如此！

三、明理

沒有括號的四個數(shù)的混合運(yùn)算該怎么教，才能體現(xiàn)教材編寫的“序”，又能讓學(xué)生理解規(guī)則內(nèi)在的“理”呢？請看以下教學(xué)片段。

【教學(xué)片段】

1.激活已知

分別說出下列各式的運(yùn)算順序：200-100+50，200÷100×50，200+100×50，200-100÷50。

待學(xué)生準(zhǔn)確說出順序后，引導(dǎo)其回憶：算式中只有加、減法或只有乘、除法，要按從左往右的順序進(jìn)行計算；算式中有乘法和加、減法，應(yīng)先算乘法；算式中有除法和加、減法，應(yīng)先算除法。

［設(shè)計意圖：課始復(fù)習(xí)三個數(shù)的混合運(yùn)算有利于激活學(xué)生已有的知識和經(jīng)驗，為學(xué)習(xí)新知奠基。］

2.探明算理

我們知道了無括號的三個數(shù)的混合運(yùn)算的計算順序，那么，如果是四個數(shù)的混合運(yùn)算，該按怎樣的順序進(jìn)行計算呢？今天這節(jié)課我們就研究這個問題。

（1）出示主題圖（如圖1），引導(dǎo)學(xué)生說出條件和問題。

（2）引導(dǎo)學(xué)生依據(jù)事理說出并板貼下列數(shù)量關(guān)系式：3副中國象棋的價錢+4副圍棋的價錢=一共要付的錢；4副圍棋的價錢+3副中國象棋的價錢=一共要付的錢。請大家算一算。

（3）交流反饋。

①展示分步列式，并讓學(xué)生依據(jù)上述數(shù)量關(guān)系式說出理由（過程略）。

②有列綜合算式的嗎？根據(jù)學(xué)生的交流，教師板書12×3+15×4，15×4+12×3。讓學(xué)生思考：在計算12×3+15×4時，應(yīng)該先算什么，再算什么，最后算什么，教師板書12×3+15×4=36+15×4=36+60=96（元）。同樣，在計算15×4+12×3時，學(xué)生思考：應(yīng)先算什么，再算什么，最后算什么，教師板書15×4+12×3=60+12×3=60+36=96（元）。有學(xué)生把兩個乘法算式同時計算，即12×3+15×4=36+60=96（元），則讓學(xué)生通過對比感悟到：在算3副中國象棋的價錢時，并不影響算4副圍棋的價錢，而且這樣計算更簡潔。

接著，教師讓學(xué)生觀察算式15+15+15+15+12+12+12，思考：如果要求這7個數(shù)的和，你認(rèn)為怎樣算快些？學(xué)生普遍認(rèn)為，先把4個15相加的和與3個12相加的和分別算出來，再把這兩個和相加，這樣快。于是，教師板書15+15+15+15+12+12+12=15×4+12×3。讓學(xué)生對比等式左右，明確在計算15×4+12×3時，應(yīng)先算相同加數(shù)的和，即乘法。

筆者順勢引導(dǎo)學(xué)生把15+15+15+15-12-12-12改寫成15+15+15+15-（12+12+12）=15×4-12×3。學(xué)生發(fā)現(xiàn)，在計算15×4-12×3時，同樣應(yīng)先算乘法，再算減法，即15+15+15+15-12-12-12=15×4-12×3=60-36=24。

（4）小結(jié)。觀察12×3+15×4、15×4+12×3、15×4-12×3的計算順序，說說算式中有乘法和加、減法時，應(yīng)先算什么，從而總結(jié)得出規(guī)則：算式中有乘法和加、減法，應(yīng)先算乘法，與三個數(shù)的混合運(yùn)算一樣。

［設(shè)計意圖：從現(xiàn)實(shí)生活中找原型，緊扣數(shù)量關(guān)系式，引導(dǎo)學(xué)生分步列式和列綜合算式，同時依據(jù)數(shù)量關(guān)系式確定和理解混合運(yùn)算的順序。在此基礎(chǔ)上，為了讓學(xué)生從算理上進(jìn)一步理解混合運(yùn)算的順序規(guī)則，讓學(xué)生觀察等式15+15+15+15+12+12+12=15×4+12×3，以及15+15+15+15-12-12-12=15×4-12×3，讓學(xué)生從算理上明確先算乘法的合理性。］

（5）研究除法。買3副同樣的中國象棋要用36元，買4副同樣的圍棋要用60元。每副圍棋比每副中國象棋貴多少元？你能列出綜合算式并算一算嗎？

學(xué)生展示綜合算式并述理，教師板書60÷4-36÷3。學(xué)生思考應(yīng)先算什么，再算什么，最后算什么。因為在算每副圍棋的價錢時，并不影響算每副中國象棋的價錢，所以兩個除法可以同時算，即60÷4-36÷3=15-12=3（元）。由此引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：算式中有除法和加、減法，要先算除法。讓學(xué)生練習(xí)計算60÷4+36÷3（略）。

［設(shè)計意圖：例題列舉了乘加的例子，沒有列舉乘減和除加（減）的例子，對小學(xué)生來說，要總結(jié)和概括混合運(yùn)算的順序規(guī)則需要較為全面的例子。］

（6）小結(jié)規(guī)則。引導(dǎo)學(xué)生回顧15×4+12×3，15×4-12×3，60÷4-36÷3和60÷4+36÷3的計算過程，說說它們在運(yùn)算順序上有何相同點(diǎn)，從而總結(jié)和概括出：算式中有乘法和加、減法，要先算乘法；算式中有除法和加、減法，要先算除法。

3.遷移運(yùn)用

出示“試一試”。計算240+60÷6×5，引導(dǎo)學(xué)生整體觀察和思考：應(yīng)先算什么？學(xué)生說：根據(jù)前面的學(xué)習(xí)可知，乘法與加、減法在一起時，要先算乘法；除法與加、減法在一起時，要先算除法。因此這題應(yīng)先算60÷6×5，再算加法，但這題乘、除法混在一起了，在先算60÷6×5時，要按照從左到右的順序進(jìn)行計算。因此，這題應(yīng)先算除法，再算乘法，最后算加法。

學(xué)生計算并交流，教師要注意糾正學(xué)生的三種錯誤，并找出出錯原因，讓學(xué)生感悟到運(yùn)算順序的重要性。教師板書規(guī)范的計算格式（略）。讓學(xué)生練習(xí)計算240-60÷6×5（略）。

觀察240+60÷6×5和240-60÷6×5的計算過程，引導(dǎo)學(xué)生思考：一個算式里既有乘、除法，又有加、減法，應(yīng)先算什么，再算什么？從而得出整數(shù)四則混合運(yùn)算的順序規(guī)則（略），這就是四個數(shù)的混合計算在沒有括號時的運(yùn)算順序規(guī)則。

［設(shè)計意圖：在學(xué)生得出乘加（減）、除加（減）算式的計算順序基礎(chǔ)上，讓學(xué)生計算“試一試”，并說理，旨在讓學(xué)生得出：在計算乘、除法與加、減法混合算式時，要先算乘、除法，再算加、減法。這樣，學(xué)生對規(guī)則不但知其然，而且知其所以然。］

4.鞏固練習(xí)（略）

教學(xué)中把三、四年級的教材有機(jī)地銜接起來，學(xué)生可以清晰地看到知識發(fā)展的脈絡(luò)，感受到教材編寫的“序”，同時學(xué)生能順利地運(yùn)用已知探明新知，把新知牢牢地“嫁接”在已知這根“樁”上，形成一棵“知識樹”。這就是課標(biāo)所說的：“數(shù)學(xué)知識的教學(xué)，要注重知識的‘生長點(diǎn)’與‘延伸點(diǎn)’，把每堂課教學(xué)的知識置于整體知識的體系中，注重知識的結(jié)構(gòu)和體系，處理好局部知識與整體知識的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)的整體性……”