錘煉方案 凝練模型 提煉思維
——以“倍增問(wèn)題”的圖式教學(xué)為例

□ 張若靜

“倍增問(wèn)題”即我們熟悉的“打電話”問(wèn)題，是人教版五年級(jí)下冊(cè)的一節(jié)綜合實(shí)踐課。在四年級(jí)上冊(cè)的“數(shù)學(xué)廣角”中，教材安排了有關(guān)優(yōu)化思想的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生嘗試在解決問(wèn)題的多種方案中尋找最優(yōu)的方案，初步體會(huì)運(yùn)籌思想在實(shí)際生活中的應(yīng)用，為“倍增問(wèn)題”的教學(xué)打下了基礎(chǔ)。

在教學(xué)調(diào)查中筆者發(fā)現(xiàn)以下幾點(diǎn)問(wèn)題：第一，打電話的情境設(shè)置離學(xué)生的現(xiàn)實(shí)經(jīng)驗(yàn)比較遠(yuǎn)，不利于學(xué)生思考方案和建立模型；第二，運(yùn)用表格進(jìn)行解題時(shí)，要先列表再求解，相當(dāng)麻煩；第三，學(xué)生在建模后的表述仍然不是很清晰，也就是說(shuō)學(xué)生的思維是混亂不清的。

針對(duì)這樣的問(wèn)題，筆者對(duì)教學(xué)進(jìn)行了以下思考。

一、擇優(yōu)選擇情境，對(duì)比不同課題

基于學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，針對(duì)“打電話”情境，學(xué)生會(huì)考慮現(xiàn)實(shí)操作的問(wèn)題，如怎么知道誰(shuí)被通知了，誰(shuí)沒(méi)有被通知？課堂上最優(yōu)方案的制定也比較困難?；谶@樣的學(xué)情，筆者沒(méi)有沿用教材中的情境，而將情境換成學(xué)生生活中熟悉的游戲——觸碰救人。

問(wèn)題情境改了，課題就得隨著改。之所以選“倍增問(wèn)題”作為課題，是因?yàn)椤按螂娫挕边@一課題所關(guān)注的只是如何解決打電話問(wèn)題，而“倍增問(wèn)題”所關(guān)注的是具有倍增模式的一系列問(wèn)題。

“倍增問(wèn)題”這一課題對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)更具數(shù)學(xué)味。“觸碰救人”的游戲情境，既抓住學(xué)生的興趣點(diǎn)，又能更好地激發(fā)學(xué)生去思考，學(xué)生最優(yōu)方案的制定很輕松，為本節(jié)課開了一個(gè)好頭。兩個(gè)課題給學(xué)生留下的課堂痕跡也不同，“打電話”給學(xué)生留下的是一個(gè)情境的內(nèi)容，而“倍增問(wèn)題”給學(xué)生留下的是一個(gè)數(shù)學(xué)模型。

（一）巧用情境，游戲激趣

1.出示游戲，講解游戲

今天的學(xué)習(xí)就從老師編的數(shù)學(xué)游戲開始，什么游戲呢？——觸碰救人。你們都是木頭人，老師是自由人。如果老師碰一下某個(gè)同學(xué)，這個(gè)同學(xué)就被解救了，他也就成為自由人。當(dāng)然，這個(gè)游戲有規(guī)則：一次只能解救1位同學(xué)。如果1秒鐘解救1名同學(xué)，老師要盡快解救全班31名同學(xué)。你估計(jì)至少要多少秒能解救全班同學(xué)？此時(shí)，學(xué)生會(huì)異口同聲地回答31秒。

2.猜游戲時(shí)間

為了讓游戲更有意思，增加它的思維含量，我們規(guī)定：被解救的人，也可以去解救其他木頭人?，F(xiàn)在，按這樣的規(guī)則再去解救全班同學(xué)，你覺(jué)得要多少秒？學(xué)生任意猜想，比較集中的答案是20秒、15秒、7秒。利用學(xué)生熟悉的游戲情境，設(shè)定游戲規(guī)則，通過(guò)猜想，初步感知游戲中的數(shù)學(xué)味。

（二）降階游戲，化繁為簡(jiǎn)

如何盡快解救全班31個(gè)同學(xué)？這個(gè)問(wèn)題還是比較復(fù)雜的，因?yàn)槿藬?shù)比較多，研究這樣的問(wèn)題，怎么入手會(huì)比較好一些呢？教師要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)化繁為簡(jiǎn)，從小數(shù)據(jù)入手，先解救7名同學(xué)，這樣能有效激發(fā)學(xué)生尋求解決問(wèn)題策略的熱情。

二、關(guān)注學(xué)生生成，點(diǎn)撥優(yōu)化方案

建立模型之前，方案的設(shè)計(jì)尤為重要。好的方案，能為模型的建立提供事半功倍的效果。

（一）自主探究，設(shè)計(jì)方案

1.設(shè)計(jì)方案

同樣的游戲先解救7名同學(xué)，為這個(gè)問(wèn)題設(shè)計(jì)

一個(gè)方案。

課中，捕捉學(xué)生的生成，利用學(xué)生的生成為新課的展開排兵布陣。一般學(xué)生的生成都不會(huì)超過(guò)7秒，7秒、6秒、5秒、4秒、3秒的結(jié)果都會(huì)出來(lái)。如下圖所示。

圖1 7秒的方案

圖2 6秒的方案

圖3 5秒的方案

圖4 4秒的方案

圖5 4秒的方案

圖6 3秒的方案

2.反饋交流

（1）反饋7秒、6秒、5秒、4秒等方案，同時(shí)請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)的同學(xué)來(lái)擺一擺。學(xué)生作品如下：

7秒的方案（秒數(shù)在線上）

4秒的方案（秒數(shù)在圈圈內(nèi)）

（2）反饋3秒的方案。

生1用隔線表示被解救的人

生2用個(gè)數(shù)表示被解救的人

生3用箭頭連接被解救的人

生4用陰影表示被解救的人

生5無(wú)序完整的解救圖

生6無(wú)序完整的解救圖

3秒的方案很重要，教師可根據(jù)反饋及時(shí)追問(wèn)：這幅圖中第2秒有幾個(gè)人去救？第3秒有幾個(gè)人去救？給學(xué)生充分的時(shí)間進(jìn)行方案的設(shè)計(jì)，靜下心來(lái)思考解決問(wèn)題的策略。抓住學(xué)生的生成，讓反饋的學(xué)生上臺(tái)說(shuō)一說(shuō)、擺一擺自己的方案，能非常清晰地展現(xiàn)學(xué)生的思維過(guò)程?？梢?jiàn)，方案的呈現(xiàn)不能只是靜態(tài)的結(jié)果，要有動(dòng)態(tài)的生成過(guò)程。

（二）對(duì)比優(yōu)化，錘煉方案

1.對(duì)比優(yōu)化

從中選兩個(gè)方案進(jìn)行對(duì)比，一個(gè)是最優(yōu)一個(gè)不是最優(yōu)的，探究4秒（或其他幾秒）的方案的時(shí)間為什么會(huì)多了，原因在哪里。從解決問(wèn)題的方案中尋找“觸碰救人”的最優(yōu)方案，發(fā)現(xiàn)事物隱含的規(guī)律，為抽象出模型做鋪墊。

不優(yōu)方案

最優(yōu)方案（不空閑）

2.提煉關(guān)鍵點(diǎn)

想要設(shè)計(jì)的方案時(shí)間最短，最關(guān)鍵的是“不空閑”“不浪費(fèi)”等。在對(duì)比最優(yōu)方案和不優(yōu)方案的同時(shí)，提煉出關(guān)鍵點(diǎn)“每個(gè)自由人都不能空閑”。

三、滲透有序策略，修改理清方案

（一）理解方案，修改方案，畫第3秒方案

板書上方案的修改是面向全班的，如果要深入個(gè)人，就要放手讓學(xué)生獨(dú)自修改方案。在修改方案之前，要先滲透“有序”的思考策略，而有序的方式主要采用箭頭線來(lái)呈現(xiàn)。在理解第1秒、第2秒分別解救了幾個(gè)人的基礎(chǔ)上，請(qǐng)學(xué)生按照句式說(shuō)一說(shuō)，使學(xué)生的語(yǔ)言表述更清晰，思維更嚴(yán)謹(jǐn)。同時(shí)課件動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)箭頭線輔助理解。按照這樣的解救方案，讓學(xué)生拿出學(xué)習(xí)單修改方案，同時(shí)思考第3秒的解救方案并畫一畫。通過(guò)這樣的引導(dǎo)，學(xué)生就能輕松駕馭這些自主操作了。

學(xué)生修改的作品都挺不錯(cuò)，說(shuō)明他們將最優(yōu)化和有序都很好地進(jìn)行了把控。如下圖所示。

修改方案1

修改方案2

修改方案3

修改方案4

在“觸碰救人”游戲中，在理解第1秒、第2秒怎么解救的基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生規(guī)范有序地思考作圖，同時(shí)修改自己原先的方案，畫一畫第3秒的解救情形，呈現(xiàn)3秒內(nèi)有層次感的直觀圖。這樣整齊美觀的符號(hào)圖完美地展現(xiàn)了最大限度利用時(shí)間的策略，也幫助學(xué)生更好地理解了解救7個(gè)人至少要3秒，達(dá)到了數(shù)形結(jié)合的效果。

（二）思考第4秒方案，將圖式數(shù)據(jù)化

按照最優(yōu)的解救策略，讓學(xué)生思考第4秒的情形。學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)前面有8個(gè)自由人，就可以解救8個(gè)人，課件隨之出示箭頭線。

將直觀圖數(shù)據(jù)化，形成一條數(shù)據(jù)線，抽象出模型。因?yàn)橛兄庇^圖做支撐，學(xué)生理解數(shù)據(jù)線上的每個(gè)數(shù)據(jù)都非常輕松。

四、弱化表格模式，提煉數(shù)據(jù)線模型

在之前的教學(xué)中，一旦滲透表格就異常困難，所以教師就試著弱化表格，構(gòu)造一個(gè)讓學(xué)生掌握起來(lái)更方便、更容易上手的模型。如下圖的“數(shù)據(jù)線模型”：

這個(gè)線性模型對(duì)比表格的優(yōu)勢(shì)是：首先，線性的結(jié)構(gòu)更有利于學(xué)生內(nèi)化模型；其次，突出了主干上倍增的數(shù)據(jù)，使學(xué)生易于發(fā)現(xiàn)規(guī)律；再次，應(yīng)用起來(lái)容易上手，不會(huì)像表格那樣繁雜，遇到類似的一系列問(wèn)題都能用這個(gè)模型來(lái)解決。

運(yùn)用這樣的模型解題，解救全班31個(gè)人，學(xué)生沿用數(shù)據(jù)線，很快能得到答案——5秒。繼而可以延伸到如果全班是20人要多少秒？18人？15人？……在哪一個(gè)范圍之內(nèi)的人數(shù)都可以是用5秒？可見(jiàn)，抽象出數(shù)據(jù)線模型后，學(xué)生運(yùn)用模型來(lái)解題就非常容易，同時(shí)還學(xué)會(huì)了尋找5秒能解救的區(qū)間數(shù)，學(xué)會(huì)了找起點(diǎn)和終點(diǎn)。

五、演繹倍增奧秘，應(yīng)用模型解題

除了學(xué)生設(shè)計(jì)的符號(hào)圖、有序的板書直觀圖，課中還運(yùn)用了方格圖來(lái)演示倍增的過(guò)程，給學(xué)生帶來(lái)了強(qiáng)烈的視覺(jué)沖擊，在學(xué)生腦海里留下了生動(dòng)的、形象的數(shù)學(xué)模型。

（一）動(dòng)圖演示，發(fā)現(xiàn)規(guī)律

1.找規(guī)律

學(xué)生發(fā)現(xiàn)的規(guī)律：①自由人數(shù)都是2倍2倍地增加；②被解救的人數(shù)都比自由人數(shù)少1，少掉的人是老師；③自由人數(shù)和秒數(shù)之間的關(guān)系：第N秒，自由人數(shù)等于N個(gè)2相乘的積。

2.倍增動(dòng)圖

課件演示方格圖翻倍的現(xiàn)象，揭示這種翻倍的現(xiàn)象，其實(shí)就是數(shù)學(xué)里面要研究的“倍增問(wèn)題”。

讓學(xué)生從數(shù)據(jù)上感悟到翻倍的道理，通過(guò)方格圖的演示讓學(xué)生體驗(yàn)倍增驚人的結(jié)果，感受到翻倍的視覺(jué)震撼，感慨?dāng)?shù)學(xué)的神奇力量。

（二）應(yīng)用模型，探試規(guī)律

1.模型的應(yīng)用

有了以上各種表征方式的鋪墊，讓學(xué)生應(yīng)用數(shù)據(jù)線模型解決解救200人需要多少秒的問(wèn)題就變得容易多了。學(xué)生解題方式如下：

方式一：純數(shù)據(jù)線

方式二：純算式

方式三：數(shù)據(jù)線和算式相結(jié)合

這三種方式，表達(dá)形式不同，但思路是相似的，都共通著一樣的解題思維——翻倍。有的學(xué)生從第1秒開始思考，有的學(xué)生比較機(jī)靈，借助前一秒的自由人數(shù)繼續(xù)解題，都是值得嘉獎(jiǎng)的，都將倍增模型運(yùn)用得得心應(yīng)手。

除了求解救200人需要多少秒的練習(xí)，還可以繼續(xù)追問(wèn)8秒能解救的人數(shù)范圍是多少，進(jìn)而思考8秒解救的區(qū)間數(shù)，讓學(xué)生的思維迸發(fā)達(dá)到高潮。

2.生活中的倍增

一個(gè)古印度的故事。在一張棋盤的第1個(gè)小格內(nèi)放1粒米，在第2個(gè)小格內(nèi)放2粒，在第3個(gè)小格內(nèi)放4粒，照這樣放下去，每一小格內(nèi)都比前一小格增加了1倍。到第64格時(shí)，到底要放多少粒米呢？體驗(yàn)一個(gè)小小的1經(jīng)過(guò)不斷的倍增，變成了大大的數(shù)據(jù)，讓學(xué)生深深感嘆倍增神奇的力量。同時(shí)，介紹生活當(dāng)中其他的倍增現(xiàn)象，如：浮萍的生長(zhǎng)、細(xì)胞的分裂等。讓學(xué)生知道生活中有很多領(lǐng)域都會(huì)運(yùn)用到倍增的數(shù)學(xué)規(guī)律。

綜上，通過(guò)斟酌情境、巧妙設(shè)計(jì)、有序引導(dǎo)，學(xué)生建立模型、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、應(yīng)用規(guī)律，都水到渠成。鑒于多方位多角度地演繹，同時(shí)提供豐富的內(nèi)容，構(gòu)建生動(dòng)的表象，學(xué)生扎實(shí)牢固地掌握了倍增模型。數(shù)學(xué)思想得到了滲透，思維能力得到了培養(yǎng)，核心素養(yǎng)得到了很好的彰顯。