含時線性勢的量子經典對應

張治國, 封文江, 鄭 偉, 陳 皓

(沈陽師范大學 物理科學與技術學院, 沈陽 110034)

0 引 言

從量子力學發(fā)展一開始,量子與經典對應關系就是一個熱門話題,其中要數Bohr的對應原理最為流行[1-4]。該原理指出,在大量子數近似下量子力學應過渡到經典力學。許多研究工作都是從波函數或Schr?dinger方程出發(fā)的。近來,Heisenberg對應原理[5-8](HCP)越來越受到研究者的關注[16-18]。Heisenberg對應原理從量子矩陣元出發(fā),指出量子力學矩陣元在經典近似下對應經典物理量的Fourier系數,根據Heisenberg對應原理[5-8],所有可能的矩陣元之和將給出經典運動方程的解。因此,HCP提供了一種從量子力學的經典極限得到經典方程的解的方法[3]。HCP的思想應用到含時線性系統,得到含時哈密頓諧振子的經典精確解。

很多人研究過含時線性勢(TLP)的精確波函數[4-6],不同于通常的不變量理論,有學者[5]通過假定某種形式的波函數,直接從薛定諤方程中導出波函數,這種方法也稱作試探函數法[3-7]。然而,文獻[5]中的方法對于通常在推導中的變形和假設理解起來有一點復雜和困難。在文獻[5]中,將TLP的波函數與自由粒子聯系起來。在本文中,將TLP的波函數應用到含時系統中[4-6]。利用試探波函數方法,發(fā)現HCP可以應用到TLP問題上,并且得到了體系的波函數[3,7]。含時線性薛定諤方程的解析解在許多物理問題有著廣泛的應用。例如,一個在含時電場中運動的帶電粒子,噪聲引起電流反轉[9],在線性勢中布朗粒子的運動[10-13]等。

1 含時系統的精確波函數

系統含時線性勢的哈密頓量

(1)

其中M(t)和F(t)分別是含時質量和外力。

在不含時情況下,體系的波函數為

(2)

其中E是能量。

含時系統(1)中的波函數可看作(2)的一般情況。

(3)

其中A(t)、B(t)、C(t)和f(x,t)都是實函數。

以式(3)作為試驗函數,我們著手開始。

引進一個變量

y=A(t)[x+B(t)]

(4)

波函數式(3)可以改寫為

(5)

與式(2)比較可以發(fā)現,φ(y)是含時系統在F=1,M=1/2和E=0時體系的波函數,并且滿足

(6)

因此,含時體系波函數涉及含時體系(6)。

將式(5)代入薛定諤方程Hψ(x,t)=i?ψ(x,t)/?t,并且使其兩邊的實部和虛部分別相等。有

將式(6)代入式(7a)結果是

(8)

回想起f(x,t)=D(t)x+φ(t),從式(8)得到

(9)

為簡化式(7b),將證明φ(y)和?φ(y)/?y是彼此正交的。

利用式(10),方程式(7b)歸納為

(11)

第2個方程意味著C是個常量。第2個方程進一步變成dA/dt=0(因此,A也是一個常量)并且

(12)

函數D(t)由方程式(9)的第1式給出,其中A0為常量。

(13)

函數g(t)滿足方程dg(t)/dt=F(t),并且事實上就是經典的動量。將式(13)代入式(12),得到

(14)

將式(13)、式(14)代入式(9)中的第2個方程,得到

(15)

將式(13)～式(15)代入式(3),最終導出波函數。在含時情況下,常數A、B0分別為A=(2MF)1/3和B0=E/F。因此,B0是量子數。對于含時體系,歸一化條件為

(16)

決定常數C=A。

在A=0和B=0情況下,如果將本文中A看作文獻[5]中的B,波函數式(3)將滿足在文獻[5]中的艾里包的解(8)。

這里注意到導出波函數的方法是非?；静⑶疫^程非常的簡單。

2 量子經典對應

假設Ω是薛定諤繪景中的一個算符,假定一個量

(17)

是所有可能的量子矩陣元的和。根據HCP[1-3],在經典極限下,每一個量子矩陣元對應著經典物理量的付里葉展開的一個系數。

因此,在經典極限下,ΩB0(t)應該就是一個經典的物理量。從薛定諤方程Hψ(x,t)=i?ψ(x,t)/?t,有

(18)

(19)

從形式上,方程(19)等同于經典運動方程。

同樣可以再次合理預期,xB0(t)、pB0(t)會變成經典方程的解。

從定義(17)直接計算,并且由波函數(3)可給出

在推導中用到了下列關系:

(21)

我們看到pB0(t)是經典動量。由式(20)容易證明關系pB0(t)=MdxB0(t)/dt,這意味著xB0(t)是經典坐標。因此,xB0(t)和pB0(t)確實是經典運動方程的解。

3 結 論

本文中通過將波函數與含時體系關聯起來,得到了含時線性勢的精確波函數。更早得到的解就是這里給出的解的特殊情況。利用精確波函數,通過量子矩陣元推導出了經典運動方程的解。這說明HCP在理解量子力學與經典力學關系上是一個非常顯著的工具。經典精確解本身就是在經典力學中獲得粒子軌道非常重要的途徑。