函數(shù)的連續(xù)性與函數(shù)可導(dǎo)關(guān)系探討

許高潔

摘要：基于高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)部分的學(xué)習(xí)，發(fā)現(xiàn)有些函數(shù)的導(dǎo)數(shù)并不存在;特別是分段函數(shù)及復(fù)合函數(shù)等求導(dǎo)問(wèn)題。對(duì)于我們高中生來(lái)說(shuō)，導(dǎo)函數(shù)是基于某點(diǎn)的極限是否存在，然后判斷該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是否存在;考慮該函數(shù)左右極限的存在性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系。從函數(shù)的連續(xù)性與導(dǎo)數(shù)是否存在，探討了導(dǎo)函數(shù)的存在與否和函數(shù)連續(xù)性的內(nèi)在關(guān)系。通過(guò)對(duì)不同函數(shù)的研究，得出函數(shù)的連續(xù)性是函數(shù)可導(dǎo)的充分不必要條件，函數(shù)的可導(dǎo)性是函數(shù)連續(xù)性的必要不充分條件。

關(guān)鍵詞：連續(xù)性;導(dǎo)函數(shù);分段函數(shù);復(fù)合函數(shù);充要條件

中圖分類號(hào)：TB文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：Adoi：10.19311/j.cnki.1672-3198.2019.10.086

1引言

在高中階段學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)的定義：

設(shè)函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x在x0處取得增量Δx（點(diǎn)x0+x仍在該區(qū)域內(nèi)）時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)y取得增量Δy=f（x0+Δx）-f（x0），如果Δy與Δx之比當(dāng) Δx→0時(shí)的極限存在，則稱函數(shù)y=f（x）在x0處可導(dǎo)，并稱這個(gè)極限為函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)，記為y'x=x0， f'（x）， 或dydx

x=x0

即：

y'

x=x0=limΔx→0ΔyΔx=f（x0+Δx）-f（x）Δx（1）

導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)在該點(diǎn)x0出的斜率k，從而能求出函數(shù)在該點(diǎn)的切線方程。

圖1導(dǎo)數(shù)的幾何意義

說(shuō)明一下： f'x=k=tanα

α是直線與x軸的夾角。

物理意義：速度的瞬時(shí)變化率Δy就是加速度。

圖2導(dǎo)數(shù)的物理意義

在學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)時(shí)，基本求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)公式：

f（x）g（x）′=f（x）′g（x）+f（x）g（x）′

f（x）g（x）′=f（x）′g（x）-f（x）g（x）′g（x）2

（C）′=0（xα）′=αxα-1

（sinx）′=cosx（cosx）′=sinx

（tanx）′=sec2x（cotx）′=-csc2x

（ax）′=axlna（ex）′=ex

（logax）′=1xlna（lnx）′=1x

在綜合這些公式探究了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用。導(dǎo)數(shù)可以用來(lái)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值。

例1：求函數(shù)y=xlnx的減區(qū)間。

解：首先對(duì)原函數(shù)求導(dǎo)

y′=x′lnx+xlnx′

=lnx+1

令y′=0則lnx=-1

x=1e

所以

所以在x∈（0，1e）上y′<0。

即函數(shù)y=xlnx的減區(qū)間為（0，1e）。

還可以利用導(dǎo)數(shù)來(lái)研究極值和最值問(wèn)題。

例2：求函數(shù)y=exx在x∈12，5上的極小值和最大值。

解：首先對(duì)原函數(shù)求導(dǎo)

y′=xex-exx2

=x-1exx2

令y′=0則x-1=0 即x=1。

所以：

所以fx極小值=f1=e

fxmax=f5=e55

2關(guān)于導(dǎo)數(shù)的研究

微積分的理論最初建立于十七世紀(jì)初，但是在該時(shí)期并沒(méi)有明確建立求導(dǎo)和連續(xù)之間的關(guān)系，并且大多數(shù)人都認(rèn)為連續(xù)的函數(shù)一定是可以求導(dǎo)數(shù)的，不可以求導(dǎo)數(shù)的點(diǎn)是個(gè)別的。一直到十八世紀(jì)，才有科學(xué)家提出處處連續(xù)但是處處不可求導(dǎo)的例子，才進(jìn)一步解釋了連續(xù)和可導(dǎo)之間的關(guān)系。

劉寅立在關(guān)于函數(shù)的連續(xù)性與可導(dǎo)性的幾點(diǎn)注記的論文中對(duì)函數(shù)的連續(xù)性與可導(dǎo)性性質(zhì)進(jìn)行了討論。因?yàn)樵谖⒎e分學(xué)中， 函數(shù)的連續(xù)性與可導(dǎo)性是函數(shù)重要的性質(zhì)， 并且一些特殊的函數(shù)在這兩個(gè)性質(zhì)上也表現(xiàn)出了特殊的性質(zhì)。我們所熟悉的基本初等函數(shù)具有很好的連續(xù)性與可導(dǎo)性， 但是一些非初等函數(shù)在可導(dǎo)和連續(xù)上有時(shí)會(huì)表現(xiàn)出一些特殊的性質(zhì)， 比如處處不連續(xù)，只在一點(diǎn)可以求導(dǎo)，每一點(diǎn)連續(xù)而又處處不可導(dǎo)，只在一點(diǎn)連續(xù)等等。

楊松華和陸宜清在淺談二元函數(shù)的連續(xù)性、可導(dǎo)性與可微性中中詳細(xì)討論了二元函數(shù)的連續(xù)性、可導(dǎo)性、可微性，并且討論了與一元函數(shù)的連續(xù)性、可導(dǎo)性、可微性的區(qū)別，對(duì)相關(guān)概念進(jìn)行了詳細(xì)解釋。對(duì)于一元函數(shù)來(lái)說(shuō)，可微和可導(dǎo)的兩個(gè)概念是等價(jià)的，但是二元函數(shù)卻不是這樣，但是如果二元函數(shù)可微則必須可導(dǎo)。判斷一個(gè)函數(shù)是否可微，首先需要判斷其是否連續(xù)，可微的函數(shù)必須連續(xù)，如果連續(xù)則進(jìn)一步判斷是否可導(dǎo)，可微的函數(shù)必定可導(dǎo)，滿足上述條件還需要進(jìn)一步判斷偏導(dǎo)數(shù)的情況。

張燕在關(guān)于函數(shù)連續(xù)性和可導(dǎo)性關(guān)系之研究中深入探討了兩者之間的關(guān)系。首先從連續(xù)性和可導(dǎo)性概念的重要性出來(lái)介紹了課題的選擇原因。進(jìn)一步介紹了函數(shù)可導(dǎo)性和連續(xù)性之間的關(guān)系。討論了函數(shù)在點(diǎn)的左右極限的概念。羅韻蓉撰寫了函數(shù)在一點(diǎn)處可導(dǎo)性與連續(xù)性體會(huì)，在文章中詳細(xì)介紹了可導(dǎo)函數(shù)和不可導(dǎo)的點(diǎn)的幾何表示以及如何尋找連續(xù)但是不可求導(dǎo)的例子，并進(jìn)一步通過(guò)例題的講解論證上述概念和思想。從幾何的角度出發(fā)，可導(dǎo)函數(shù)即是一條平滑的曲線，而不可導(dǎo)點(diǎn)可以是垂直于x軸的切線或者是在該點(diǎn)處有兩條切線。

本文也將從連續(xù)、可導(dǎo)、左極限和右極限等概念出發(fā)，并與豐富的例子結(jié)合論證連續(xù)和求導(dǎo)之間關(guān)系。

3連續(xù)與求導(dǎo)

在運(yùn)用導(dǎo)數(shù)探究函數(shù)性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有些問(wèn)題用求導(dǎo)的方式無(wú)法解決。例如當(dāng)我們對(duì)函數(shù)y=lnx+1x進(jìn)行求導(dǎo)研究時(shí)函數(shù)y=lnx+1x的導(dǎo)數(shù)為y′=xx+1-lnx+1x2如果令y′=0則分子xx+1-lnx+1=0，即x=0。然而分母此時(shí)為零，又因?yàn)榉帜覆荒転榱闼詫?duì)于函數(shù)y=lnx+1x我們不能用求導(dǎo)的方式來(lái)探究其性質(zhì)。

那么對(duì)于所有函數(shù)都可以求導(dǎo)嗎？例如函數(shù)y=x就無(wú)法求導(dǎo)。因?yàn)楦鶕?jù)函數(shù)在定義域中一點(diǎn)可導(dǎo)需要一定的條件：函數(shù)在該點(diǎn)的左右導(dǎo)數(shù)存在且相等，不能證明這點(diǎn)導(dǎo)數(shù)存在。只有左右導(dǎo)數(shù)存在且相等，并且在該點(diǎn)連續(xù)，才能證明該點(diǎn)可導(dǎo)?？梢杂懻摵瘮?shù)y=x在x=0處的可導(dǎo)性：

因?yàn)閒0+m-f0m=mm

limm→0+f0+m-f0m=limm→0+mm=1

limm→0-f0+m-f0m=limm→0--mm=-1

如圖，在0點(diǎn)處即f+′0≠f-′0，

所以函數(shù)y=fx在x=0處不可導(dǎo)

經(jīng)探究函數(shù)y=x在x=0處不可導(dǎo)，這只是一個(gè)常見(jiàn)簡(jiǎn)單的函數(shù)，那么對(duì)于復(fù)雜的分段行數(shù)函數(shù)可導(dǎo)的條件仍然適用嗎？

例如：例3：探究函數(shù)f（x）=xsin1xx≠0

0x=0在x=0的可導(dǎo)性。

如果對(duì)函數(shù)在x=0處直接求導(dǎo)，那么此時(shí)y′=0。然而根據(jù)函數(shù)可導(dǎo)條件此時(shí)limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f（0+Δx）-f（0）ΔxlimΔx→0Δxsin1ΔxΔx=limΔx→0sin1Δx不存在。所以，函數(shù)在x=0處不可導(dǎo)。

再如：例4：探究函數(shù)f（x）=x+1=x+1x0

-x+1x<0在x=0的可導(dǎo)性。

有f′-0=limx→0-f0+Δx-f0Δx=limΔx→0-ΔxΔx=1

limΔx→0--ΔxΔx=-1

f′+0=limx→0+f0+Δx-f0Δx=limΔx→0+ΔxΔx=1

limΔx→0+ΔxΔx=1

即f+′0≠f-′0

所以f（x）=x+1=x+1x0

-x+1x<0在x=0處不可導(dǎo)。

對(duì)于分段函數(shù)的研究除了討論其在分段點(diǎn)處的可導(dǎo)性之外，還會(huì)重點(diǎn)對(duì)其函數(shù)圖像的連續(xù)性進(jìn)行研究。再回到例3，繼續(xù)來(lái)研究函數(shù)f（x）=xsin1xx≠0

0x=0連續(xù)性以及其和可導(dǎo)性的關(guān)系。

連續(xù)性的討論：x=0處及其左右近旁該函數(shù)有定義。

因?yàn)閘imx→0x=0，且sin1x

所以對(duì)于一個(gè)函數(shù)在某一點(diǎn)處可導(dǎo)一定連續(xù)。即對(duì)于一個(gè)函數(shù)在某一點(diǎn)處連續(xù)不一定可導(dǎo)，但可導(dǎo)一定連續(xù)。

4 總結(jié)

通過(guò)本文的研究可以得出結(jié)論;并不是所有函數(shù)都可以求導(dǎo)，滿足在該點(diǎn)處左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)相等時(shí)，在該點(diǎn)處才可求導(dǎo)。且對(duì)于一個(gè)函數(shù)在某一點(diǎn)處連續(xù)不一定可導(dǎo)，但可導(dǎo)一定連續(xù)。即導(dǎo)數(shù)連續(xù)性是可導(dǎo)性的充分不必要條件，可導(dǎo)性是連續(xù)性的必要不充分條件。

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