單位圓內(nèi)二階線性微分方程解的復振蕩

龔攀，石黃萍，程國飛

(上饒師范學院數(shù)學與計算機科學學院，江西上饒334001)

假定讀者熟悉單位圓Δ={z∈C∶|z|＜1}和復平面C內(nèi)亞純函數(shù)的Nevanlinna值分布理論的基本結(jié)論和標準記號(見文獻［1-5］)。前人得到了很多復平面內(nèi)線性微分方程解的值分布理論，這自然引起了比復平面更復雜的單位圓Δ內(nèi)線性微分方程的研究，2000年芬蘭學者J.Heittokangas在文獻［6］中首次研究了單位圓Δ內(nèi)線性微分方程。

首先，我們給出單位圓Δ內(nèi)亞純函數(shù)和解析函數(shù)的迭代級和［p，q］級的相關(guān)定義。

1 定義和主要結(jié)果

定義1［7］定義單位圓Δ內(nèi)亞純函數(shù)f(z)的迭代p級為:

對于單位圓Δ內(nèi)解析函數(shù)f(z)，我們也定義:

注1 根據(jù)M.Tsuji文獻［5］，如果f(z)是單位圓Δ內(nèi)解析函數(shù)，則:

根據(jù)文獻［3］命題 2.2.2，我們有:

定義2［8-9］定義單位圓Δ內(nèi)亞純函數(shù)f(z)的迭代p級零點收斂指數(shù)為:

定義3［10］假設p≥q≥1是整數(shù)，f(z)是單位圓Δ內(nèi)亞純函數(shù)，定義f(z)的［p，q］級為:

對于單位圓Δ內(nèi)解析函數(shù)f(z)，我們也定義:

注 2［10］對于任意的 p ≥ q ≥ 1，我們有 0≤ ρ［p，q］(f) ≤ σ(0≤ ρM，［p，q］(f) ≤ σ)。 根據(jù)定義 3，我們有ρ［1，1］(f)= ρ(f)(ρM，［1，1］(f)= ρM(f)) 和 ρ［2，1］(f)= ρ2(f)(ρM，［2，1］(f)= ρM，2(f))。

定義4［10］假設p≥q≥1是整數(shù)，f(z)是單位圓Δ內(nèi)亞純函數(shù)，定義f(z)的［p，q］級零點收斂指數(shù)為:

類似的，定義f(z)的［p，q］級不同零點收斂指數(shù)為:

最近Beladi和Latreuch研究了二階非齊次線性微分方程解的復振蕩:

其中A(z)，B(z)0和F(z)0是單位圓Δ內(nèi)迭代p級有限的亞純函數(shù)，我們可以參考相關(guān)的文獻(見文獻［11］)。在陳述他們的結(jié)論之前需要以下記號:

其中A0(z)=A(z)，B0(z)=B(z)和F0(z)=F(z)。Beladi和Latreuch得到了下面的結(jié)論。

定理1［12］設A(z)，B(z)0和F(z)0是單位圓Δ內(nèi)迭代p級有限的亞純函數(shù)且Bj(z)0和Fj(z)0(j=1，2，3，…)。如果f(z)是單位圓Δ內(nèi)方程(1)的亞純解并且有:

則

本文將考慮二階非齊次線性微分方程(1)解的［p，q］級，我們可以得到以下結(jié)論。

定理2 假設p≥q≥1是整數(shù)，A(z)，B(z)0和F(z)0是單位圓Δ內(nèi)［p，q］級有限的亞純函數(shù)且Bj(z)0和Fj(z)0(j=1，2，3，…，)。如果f(z)是單位圓Δ內(nèi)方程(1)的亞純解有:

則

2 主要引理

引理1［13］設p≥q≥1是整數(shù)，f(z)和g(z)是單位圓Δ內(nèi)具有［p，q］級的亞純函數(shù)，則有:

和

如果 ρ［p，q］(f) ＞ ρ［p，q］(g)，則有:

引理2［13］設p≥q≥1是整數(shù)，f(z)是單位圓Δ內(nèi)具有［p，q］級的亞純函數(shù)，則有:

引理3［14］設p≥ q≥1是整數(shù)，Aj(j=0，1，…，k－1)，F(xiàn)0是單位圓Δ內(nèi)［p，q］級有限的亞純函數(shù)，如果f(z)是微分方程:

的亞純解，并且滿足 max{ρ［p，q］(Aj)(j=0，1，…，k － 1)，ρ［p，q］(F)} ＜ ρ［p，q］(f) ＜ σ，則有:

3 定理的證明

因為 F(z) 0 且 max{ρ［p，q］(A)，ρ［p，q］(B)，ρ［p，q］(F)} ＜ ρ［p，q］(f) ＜ σ，根據(jù)引理 3 有:

因為B(z)0，方程(1)兩邊除以B得:

方程(5)兩邊微分得:

再將方程(6)兩邊乘以B得:

其中:

根據(jù)引理1和引理2有:

又因為F1(z)0，根據(jù)引理3有:

因為B1(z)0，方程(7)兩邊除以B1得:

對方程(8)兩邊微分再乘以B1得:

其中A2，B2和F2是亞純函數(shù)，定義見(2)－(4)。

根據(jù)引理1和引理2有:

又因為F2(z)0，根據(jù)引理3有:

假設:

對所有的k=0，1，2，…，j－1成立?，F(xiàn)證明k=j時(10)也成立，和前面同樣的證明方法有:

根據(jù)引理1和引理2有:

又因為Fj(z)0，根據(jù)引理3有:

定理2證明完畢。