雙曲線實際應(yīng)用生活館

張獻(xiàn)鋒

雙曲線來自于生活，又服務(wù)于生活。利用雙曲線方程可以解決生活中許多實際問題，本文舉兩例加以說明，供同學(xué)們賞析。

1.小李的手機(jī)在哪里

例1小李真是個小馬虎，一不小心把手機(jī)丟了，這可是花了整整5400元買的手機(jī)呀，小李心急如焚，立即報告給了相距10am的兩個派出所。而那位拾手機(jī)者同時使用了手機(jī)。A、B兩個派出所的監(jiān)聽儀器聽到手機(jī)發(fā)聲的時間差為6s，且B處的聲強(qiáng)是A處聲強(qiáng)的4倍（設(shè)聲速為am/s，聲強(qiáng)與距離的平方成反比），試確定持手機(jī)者的位置。

解析：如圖1，以A、B的中點0為原點，直線AB為x軸建立坐標(biāo)系，則A、B的坐標(biāo)分別為A（-5a，0）、B（5a，0）。由于A、B兩派出所監(jiān)聽器聽到手機(jī)發(fā)聲的時間差為6s，知手機(jī)位置點P在雙曲線

可知手機(jī)位置點P到AB中點的距離|OP|

為√65am，而∠POB的正切值是

所以只要鎖定點P位置就能很快找到拾手機(jī)者。

評注：本問題利用坐標(biāo)法將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，借助雙曲線和圓使實際問題得到解決。想一想：雙曲線和圓的方程是怎樣建立起來的？是利用題目中哪些已知條件建立起來的？

2.如何搜救航天員

例2“神舟九號”飛船返回倉順利到達(dá)地球后，為了及時將航天員安全接出，地面指揮中心在返回倉預(yù)計到達(dá)區(qū)域安排了三個救援中心（記為A，B，C），A在B的正東方向，相距6km，C在B的北偏西30°方向，相距4km，P為航天員著陸點。某一時刻，A接收到P的求救信號，由于B，C兩地比A地距P遠(yuǎn)，在此4s后，B，C兩個救援中心才同時接收到這一信號。已知該信號的傳播速度為1km/s，求在A地發(fā)現(xiàn)P的方位角。

解析：由“A接收到P的求救信號的時間比其他兩個救援中心早4s”能否得到|PB|與|PA|的差為定值？是否說明點P在以A、B為焦點的雙曲線的一支，上？因為|PC|=|PB|，所以P在線段BC的垂直平分線上。又因為|PB|-|PA|=4，所以P在以A，B為焦點的雙曲線的右支上。

以線段AB的中點O為坐標(biāo)原點，AB的垂直平分線所在直線為y軸，正東方向為x軸正方向，建立直角坐標(biāo)系，如圖2所示

則A（3，0），B（-3，0），C（-5，）。

所以雙曲線方程為

BC的垂直平分線方程為

聯(lián)立兩方程解得

所以P（8，），kPA=tan∠PAx=√3，∠PAx=60°。

因此，P點在A點的北偏東30°方向。

評注：解答此類題首先應(yīng)建立平面直角坐標(biāo)系，取兩定點所在的直線為x軸，以兩定點為端點的線段的中點為坐標(biāo)原點，然后根據(jù)雙曲線的定義求出標(biāo)準(zhǔn)方程，再由標(biāo)準(zhǔn)方程解有關(guān)問題。本題的解法主要運用了數(shù)形結(jié)合思想和函數(shù)方程思想。