老師，我怎么學(xué)會(huì)思考

王思儉

鈴聲響起，考試結(jié)束，教室里頓時(shí)沸騰起來(lái)，七嘴八舌，議論紛紛：

這道平面幾何與向量數(shù)量積結(jié)合的題目我又沒(méi)有做出來(lái);

那道類(lèi)似于2018年某省市的高考題，我足足做了15分鐘，結(jié)果還是以失敗告終;

這道題我一開(kāi)始就是利用基底求解，但無(wú)法表示所要研究的兩個(gè)向量，后來(lái)又建立直角坐標(biāo)系，寫(xiě)點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)又陷入困境，最終選擇放棄;

……

對(duì)這類(lèi)問(wèn)題，我們應(yīng)該怎樣思考呢？鑒于此，我組織幾位同學(xué)結(jié)合此次測(cè)驗(yàn)，圍繞“如何思考平面向量問(wèn)題"展開(kāi)討論與交流，旨在幫助同學(xué)們學(xué)會(huì)思考問(wèn)題，當(dāng)遇到困難時(shí)，學(xué)會(huì)尋找突破的策略.

生甲：如圖1，在平面四邊形ABCD中，AB=AD=1，LBAD=120°，BC⊥AB，CD⊥AD，E是BC邊上的一點(diǎn)，則AE·DE的取值范圍為_(kāi)____.

這道題我整整花了20分鐘也沒(méi)有攻克下來(lái)，關(guān)鍵是怎樣學(xué)會(huì)思考呢？

生乙：如圖2，在平面四邊形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=120°，AB=AD=1.若點(diǎn)E為邊CD上的動(dòng)點(diǎn)，則AE·BE的最小值為（）

A.21/16

B.3/2

C.25/16

D.3

答案是21/16，選A，但本題的圖形有變化，而且要求數(shù)量積的范圍，確實(shí)有難度，我也是花了好長(zhǎng)時(shí)間沒(méi)有求出結(jié)果.

教師：由已知條件，你們可以先求出哪些幾何量？生甲先講你的解題思路，在何處受阻.

生甲：發(fā)現(xiàn)△ACB與△ACD為全等三角形，從而推出∠CAB=∠CAD=60°，計(jì)算出AC=2，BC=DC=√3.雖然設(shè)AB=a，AD=b，所以|a|=|b|=1，a·b=-1/2，但AE與DE怎么才能用所設(shè)的基底向量表示呢？又換思路，改設(shè)AB=a，BC=b，顯然有a·b=0，還是無(wú)法進(jìn)行下去，該怎么思考呢？

教師：就前一個(gè)思路而言，BC是否可以用a與b表示呢？如果可以，那么BE就可以用BC表示，這樣AE與DE都可以表示出來(lái)了.于是我們要考慮幾何特征，要對(duì)BC進(jìn)行平移，利用向量加法的幾何意義，充分利用平面幾何性質(zhì).

生丙：用平面幾何方法可以做的，運(yùn)算量蠻大的.如圖3，作AF//BC且AF=BC，所以四邊形ABCF是矩形，延長(zhǎng)CF交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G，所以AF⊥CG.因?yàn)椤螱AF=30°，∠CAF=∠ACB=30°，所以∠CAG=60°.又因?yàn)椤螦GF=60°，所以△ACG為等邊三角形，所以F是CG中點(diǎn)，所以GF=CF=AB，且GF//AB，所以四邊形ABFG為平行四邊形，所以AG=2b，GF=a，所以AF=BC=a+2b.設(shè)BE=λBC=λ（a+2b）（0≤λ≤1），所以AE=AB十BE=（λ+1）a+2b，DE=AE-AD=（x+1）a+（2λ-1）b.所以AE.DE=[（2+1）a+2λb]·[（λ+1）a+（2λ-1）b]=3λ2-3-λ+3=3（x*-2++），當(dāng)λ=1時(shí)，AE·DE有最大值3;當(dāng)λ=1/4時(shí)，AE·DE有最小值21/16，所以AE·DE的取值范圍是[21/16，3].

眾生：這種幾何法要作這么多條輔助線(xiàn)，根本想不出來(lái)?。?/p>

教師：生丙的思路清晰，結(jié)果正確！他的平面幾何的知識(shí)很扎實(shí)！求解向量問(wèn)題，一要考慮基底向量，二要考慮坐標(biāo)表示.

生?。阂婚_(kāi)始也是利用基底向量做，沒(méi)搞出來(lái)，再換思路——建立直角坐標(biāo)系求解.由對(duì)稱(chēng)性可知，B，D關(guān)于AC對(duì)稱(chēng)，設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)O，AC=2，OA=1/2，OC=3/2，BD=√3，現(xiàn)以O(shè)為原點(diǎn)，DB所在的直線(xiàn)為x軸，AC所在的直線(xiàn)為y軸，建立如圖4所示的直角坐標(biāo)系，所以A（0，-1/2），B（√3/2，0），D（-√3/2，0），C（0，3/2），BC方程為：y=-√3x+3/2（0≤x≤√3/2）.

設(shè)E（x，y），AE=（x，y+1/2），DE=x+√3/2，y），所以AE·DE=x（x+√3/2）+y（y+1/2）=x2+y2+√3/2x+1/2y.又因?yàn)閥=-√3x+3/2（0≤x≤-√3/2），所以AE·DE=x2+（-√3x+3/2）+√3/2x+1/2（-√3x+3/2）=4x2-3√3x+3（0≤x≤√3/2）.所以當(dāng)x=0時(shí)，AE·DE有最大值3;當(dāng)x=3√3/8時(shí)，AE·DE有最小值21/16，所以AEDE的取值范圍是[21/16，3].

生乙：也可以以C點(diǎn)為原點(diǎn)，以AC所在直線(xiàn)為y軸，建立直角坐標(biāo)系，如圖5，所以A（0，-2），B（√3/2，-3/2），lBC：y=-√3x.設(shè)E（x，-√3x），0≤x≤√3/2，下同生丁.

生戊：以A為原點(diǎn)，AC所在直線(xiàn)為y軸，建立直角坐標(biāo)系，如圖6，所以A（0，0），B（√3/2，1/2），D（-√3/2，1/2），C（0，2），lBC：y=-√3x+2，設(shè)E（x，-√3x+2），0≤x≤√3/2下同前文.

教師：坐標(biāo)法是很簡(jiǎn)單，三位同學(xué)都是抓住對(duì)稱(chēng)性，很快就寫(xiě)出了相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，最終也是轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在指定閉區(qū)間上求解.

生甲：以D為原點(diǎn)，以DA所在的直線(xiàn)為x軸，DC所在的直線(xiàn)為y軸，建立如圖7所示的直角坐標(biāo)系，所以D（0，0），A（1，0），B（3/2，√3/2），C（0，√3），lBC：y=-√3/3x+√3，設(shè)E（x，-√3/3x+√3），0≤x≤3/2，下略.

教師：很好！生甲利用垂直建立直角坐標(biāo)系，也很快求解了，但比較而言，還是利用對(duì)稱(chēng)性較快.請(qǐng)看變題1：

在平面四邊形ABCD中，AB=AD=1，∠BAD=120°，BC⊥AB，CD⊥AD，點(diǎn)E和點(diǎn)F分別是BC邊和DC邊上的點(diǎn)，BE=λBC，DF=λDC（0≤λ≤1），求AE·AF的取值范圍.

生?。喝鐖D8，建立平面直角坐標(biāo)系.因?yàn)锽E=λBC，DF=λDC，所以EF//BD，所以E，F(xiàn)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，設(shè)E（xx，-3x+-），所以F（-x，-√3x+-號(hào)）.又因?yàn)锳（0，--），所以AE=（x，-√3x+2），AF=（-x，-√3x+2），因此AE.AF=-x2+（-√3x+2）2=2x2-4√3x+4，0≤x≤Y√3，所以當(dāng)x=3時(shí)，AE·AF取最小值一;當(dāng)x=0時(shí)，AE·AF取最大值4，所以AE·AF的取值范圍為[-1/2，4].

教師：正確！抓住EF//BD，使得問(wèn)題更加清晰，因此解題要先思考如何轉(zhuǎn)化題目中的各種信息，如何挖掘隱含信息，這是解題的關(guān)鍵.請(qǐng)看變題2：

在平面四邊形ABCD中，AB=AD=1，∠BAD=120°，BC⊥AB，CD⊥AD，點(diǎn)E和點(diǎn)F分別是BC邊和DC邊上的點(diǎn)，BE=λBC，CF=λCB

生丙：如圖9，建立平面直角坐標(biāo)系，則

所以當(dāng)λ=1/2時(shí)，AE·AF取最大值。;當(dāng)λ=0或1時(shí)，AE·AF取最小值1，所以AE·AF的取值范圍為[1，11/8]

教師：很好！變題2相對(duì)復(fù)雜一點(diǎn)，生丙先利用線(xiàn)性運(yùn)算，再利用坐標(biāo)運(yùn)算，求出AE與AF的坐標(biāo)表示.如果將E，F(xiàn)點(diǎn)放在同一條邊上，又可以有變題3：

平面四邊形ABCD中，AB=AD=1，∠BAD=120°，BC.⊥AB，CD.⊥AD，點(diǎn)M和點(diǎn)N都在邊BC上，且MN=√3/2，求AM·AN的取值范圍.

生甲：如圖10，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)

接下去該怎么辦呢？

生乙：這里0≤x2

教師：答案正確，但過(guò)程上存在問(wèn)題，你們發(fā)現(xiàn)嗎？

生丙：x2=√3/2不成立，而定義域?yàn)閇0，√3/4]，由于二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸為x=3√3/8，√3/4與√3/2關(guān)于直線(xiàn)x=3√3/8對(duì)稱(chēng)，因此得出同樣的結(jié)論.

教師：分析正確！--定要注意消元后的自變量的取值范圍，也就是x1的范圍交給x2控制了，所以x2的取值范圍為[0，√3/4].

生戊：將MN=√3/2投影到水平方向和豎直方向，利用點(diǎn)M的坐標(biāo)表示點(diǎn)N的坐標(biāo)，設(shè)M（x，y），M在邊BC上，且MN=V3，所以N（x-√3/4，y+3/4），求出√3/4≤x≤√3/2.于是AM·AN=x（x-√3/4）+（y+4/5）=4x2-5√3x+11/2.所以當(dāng)x=√3/4時(shí)，AM·AN取最大值5/2;當(dāng)x=√3/2時(shí)，AM·AN取最小值1.所以AM·AN的取值范圍為[1，5/2].

教師：很好！他的解法就是減少自變量，其實(shí)也就是向量MN的正交分解.

生己：原題的基底向量法中，不需要做這么多的輔助線(xiàn)，抓住AC=4AO，而2AO=a+b，因此AC=2（a+b），所以BC=a+2b.（下略）

教師：太棒了！生己的向量加法的幾何意義非常熟練，他抓住AC與AO的長(zhǎng)度關(guān)系，挖掘題目的隱含條件，這樣就大大減少了運(yùn)算量.因此，在求解平面幾何中的向量問(wèn)題時(shí)，如果遇到困難，要注意思考以下問(wèn)題：

1.題目所提供的信息都轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言了嗎？這些信息之間的聯(lián)系“橋梁”是什么？

2.哪些線(xiàn)段是我們要研究的？題目中的主要線(xiàn)段的位置關(guān)系如何？幾何量之間有什么隱含關(guān)系？

3.我們利用什么策略求解？怎樣選擇基底向量？要研究的向量又如何線(xiàn)性表示呢？我們研究的平面圖形是正三角形、直角三角形、矩形、正方形、菱形、箏形等，就要考慮能否建立坐標(biāo)系解決呢.

4.本題還有其他解法嗎？哪種方法最好？哪種方法是通性通法？

5.本題能否推廣？能否改編呢？等等.

實(shí)戰(zhàn)演練

1.如圖11，在△ABC中，C=90°，且AC=BC=3，點(diǎn)M滿(mǎn)足BM=2MA，則CM·CB=_____.

2.如圖12，在等腰直角三角形ABO中，OA=OB=1，C為AB上靠近點(diǎn)A的四等分點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線(xiàn)l，P為垂線(xiàn)上

任一點(diǎn)，則OP·（OB-0A）=_____.

3.如圖13，在平行四邊形ABCD中，已知AB=8，AD=5，CP=3PD，AD·AB=_____.

22，則AP·BP的值是

答案與解析

1.解析法一如圖14，建立平面直角坐標(biāo)系.由題意知：A（3，0），B（0，3），設(shè)M（x，y），由BM=2MA，得

即M點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1），所以CM·CB=（2，1）·（0，3）=3.

法二CM·CB=（CB+BM）·CB=CB2+CB·（2/3BA）=CB2+2/3CB·（CA-CB）=1/3CB2=3.

2.解析依題意AB=√2，∠OAB=45°，又CP⊥AB，AC=1/4AB，所以O(shè)P·（OB-OA）=（OA+1/4AB+CP）·AB=OA·AB+1/4AB2+CP·AB=-1/2.

3.解析由題圖可得，AP=AD+DP=AD+1/4AB，BP=BC+CP=BC3/4CD=AD-3/4AB.所以AP·BP=（AD=1/4AB—）·（AD-3/4AB）=AD2-1/2AD·AB-3/16AB2=25-1/2x-3/16x=2.