擴(kuò)展多約束最優(yōu)制導(dǎo)律特性及其應(yīng)用*

馬婷婷,刁兆師,魏鈺良,何 婷

(1 北京控制工程研究所,北京 100190;2 中國(guó)兵器工業(yè)導(dǎo)航與控制技術(shù)研究所, 北京 100094)

0 引言

隨著現(xiàn)代化作戰(zhàn)任務(wù)變化和精確制導(dǎo)彈藥技術(shù)快速發(fā)展,為更好地發(fā)揮戰(zhàn)斗部威力,針對(duì)多約束制導(dǎo)律的研究具有很大實(shí)際工程價(jià)值。

針對(duì)不同應(yīng)用對(duì)象,根據(jù)多種理論方法提出了多種帶終端角度約束的制導(dǎo)律[1]。迄今研究較為深入、應(yīng)用較為廣泛的是基于最優(yōu)控制依據(jù)不同期望指標(biāo)獲得不同形式的帶多約束制導(dǎo)律。帶終端角度約束制導(dǎo)相關(guān)理論成果于1969年在Apollo飛船月球表面垂直著陸得到應(yīng)用[2],Kim和Grider于1973年較早地提出帶落角約束最優(yōu)制導(dǎo)律問(wèn)題[3],自此開(kāi)始該課題一直吸引著專(zhuān)家學(xué)者的關(guān)注,并取得許多成果。Zarchan[3]應(yīng)用施瓦茨(Schwarz)不等式詳細(xì)地推導(dǎo)了彈道成型制導(dǎo)律,并解析分析了角度約束和確定性誤差干擾對(duì)過(guò)載指令的影響。Ben-Asher等[4]研究表明彈道成型制導(dǎo)律有利于降低對(duì)剩余時(shí)間估計(jì)偏差的敏感度。Ryoo等[5-6]后續(xù)研究了考慮動(dòng)力學(xué)滯后的制導(dǎo)系統(tǒng)特性以及剩余飛行時(shí)間估計(jì)問(wèn)題。常超、祁載康等[7]研究了系統(tǒng)滯后及階次對(duì)位置脫靶量和角度脫靶量的影響。Ohlmeyer等[8]以剩余飛行時(shí)間冪函數(shù)的倒數(shù)為最優(yōu)目標(biāo)罰函數(shù)的權(quán)重,最早推導(dǎo)了廣義矢量最優(yōu)制導(dǎo)律,推廣了傳統(tǒng)彈道成型制導(dǎo)律。劉大衛(wèi)等[9]采用施瓦茨不等式推導(dǎo)了廣義彈道成型制導(dǎo)律,研究了一階動(dòng)力學(xué)滯后系統(tǒng)的位置和角度脫靶量特性,并給出可用過(guò)載限制的導(dǎo)引系數(shù)設(shè)計(jì)方法。王輝等[10-11]求解得到了由初始位置誤差、方向誤差、目標(biāo)機(jī)動(dòng)及角度約束引起的加速度指令解析解,研究了一階動(dòng)力學(xué)滯后制導(dǎo)系統(tǒng)的無(wú)量綱位置脫靶量和角度脫靶量特性。溫求遒等[12]基于線性二次最優(yōu)控制推導(dǎo)了擴(kuò)展多約束制導(dǎo)律;通過(guò)無(wú)量綱化加速度指令變化規(guī)律分析,提出了制導(dǎo)初始條件設(shè)計(jì)方法及最大需用過(guò)載估計(jì)方法。張文淵等[13]推導(dǎo)了含一階動(dòng)力學(xué)滯后的多約束最優(yōu)制導(dǎo)律,研究了導(dǎo)引頭隔離度和制導(dǎo)參數(shù)對(duì)穩(wěn)定性及制導(dǎo)性能的影響。

在上述文獻(xiàn)基礎(chǔ)上,文中進(jìn)一步深入研究了擴(kuò)展多約束制導(dǎo)律的無(wú)量綱化加速度指令特性,同時(shí)推導(dǎo)了相應(yīng)視線角變化的解析解并分析了無(wú)量綱化視線角變化特性。最后仿真驗(yàn)證了相關(guān)解析結(jié)論的有效性。

1 擴(kuò)展多約束最優(yōu)制導(dǎo)律

將導(dǎo)彈控制系統(tǒng)視為理想環(huán)節(jié),在小角度假設(shè)下導(dǎo)彈-目標(biāo)相對(duì)運(yùn)動(dòng)幾何關(guān)系的簡(jiǎn)化線性模型如圖1所示[2],其中:at是目標(biāo)常值機(jī)動(dòng)加速度,ac是導(dǎo)彈加速度指令。

圖1 制導(dǎo)律簡(jiǎn)化模型

將圖1模型寫(xiě)成狀態(tài)方程形式為

(1)

帶終端落角約束問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為終端約束最優(yōu)控制問(wèn)題[2],其最優(yōu)目標(biāo)罰函數(shù)為:

(2)

對(duì)應(yīng)終端約束條件為:

其中,R(t)為正定時(shí)變權(quán)函數(shù),其定義為:

(3)

(4)

式中:Np=2(n+2),Nλ=(n+1)(n+2),Nt=(n+2)(1-n)/2。經(jīng)典比例制導(dǎo)律經(jīng)驗(yàn)導(dǎo)引系數(shù)Np取值為3～6,且最優(yōu)控制器往往增益太高、帶寬過(guò)高,引起系統(tǒng)失穩(wěn)[14],因此對(duì)應(yīng)n有效取值范圍為n∈[0,1]。表1給出了3組典型導(dǎo)引系數(shù)。

表1 擴(kuò)展多約束最優(yōu)制導(dǎo)律典型導(dǎo)引系數(shù)

2 最優(yōu)制導(dǎo)律特性分析

掌握不同確定性誤差及約束因素下的彈道解析特性,尤其是需用過(guò)載和視線角變化趨勢(shì),將非常有助于總體方案設(shè)計(jì)和指標(biāo)論證,其確定性誤差包括初始位置誤差、初始瞄準(zhǔn)方向誤差、目標(biāo)機(jī)動(dòng)3項(xiàng),約束是指終端落角約束。

2.1 加速度指令變化

按照文獻(xiàn)[2,10]中最優(yōu)制導(dǎo)律的解析加速度指令表達(dá)式為:

(5)

令導(dǎo)彈初始瞄準(zhǔn)方向角誤差為β0,小角度假設(shè)下有：

(6)

根據(jù)視線角幾何關(guān)系有λ=y/r=y/(vctgo),對(duì)該式求導(dǎo)得：

(7)

進(jìn)一步整理得:

(8)

因此可知加速度指令式(5)右側(cè)各項(xiàng)為誤差擾動(dòng)或約束的所需加速度分量,即

ac(t)=a(t)|y(0)+a(t)|β0+a(t)|λf+a(t)|at

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

另外,由圖2知對(duì)于n不同取值,無(wú)量綱化加速度曲線相交于t1(0.2tf附近)和t2(0.8tf附近)。初始位置誤差、瞄準(zhǔn)誤差以及終端落角約束的無(wú)量綱化加速度變化趨勢(shì)隨n變化一致,當(dāng)tt2,無(wú)量綱化加速度隨n的增大而減小。目標(biāo)機(jī)動(dòng)的無(wú)量綱化加速度變化趨勢(shì)與上述相反。

圖2 無(wú)量綱加速度變化趨勢(shì)

2.2 視線角變化

(18)

(19)

(20)

(21)

對(duì)式(19)～式(22)再次積分可得:

(24)

(25)

(26)

由各項(xiàng)引起的視線角變化表達(dá)式分別為:

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

(34)

(35)

(36)

(37)

(38)

另外,由圖3看出,對(duì)于初始位置誤差、瞄準(zhǔn)誤差引起的無(wú)量綱化視線角變化趨勢(shì)一致,隨著n增大,曲線上拉，更快趨于0;終端落角約束引起的無(wú)量綱化視線角曲線隨著n增大而下拉,更快趨于1;而目標(biāo)機(jī)動(dòng)引起的無(wú)量綱化視線角曲線隨著n增大而下拉,放慢趨于0。

圖3中無(wú)量綱化視線角均大于零,說(shuō)明4個(gè)因素的極性將直接影響視線角變化趨勢(shì)。若瞄準(zhǔn)角誤差β0與終端期望落角λf極性相反,前者引起的視線角變化趨勢(shì)與后者的變化趨勢(shì)一致,有利于彈道成型。因此,中制導(dǎo)方案設(shè)計(jì)最好要保證在轉(zhuǎn)到多約束制導(dǎo)律時(shí)瞄準(zhǔn)角誤差β0與終端期望落角λf極性相反。若目標(biāo)機(jī)動(dòng)at與終端期望落角λf極性相同,前者引起的視線角變化趨勢(shì)與后者的變化趨勢(shì)一致,有利于彈道成型。

圖3 無(wú)量綱視線角變化趨勢(shì)

3 工程化應(yīng)用準(zhǔn)則

對(duì)于戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈末制導(dǎo)階段，導(dǎo)彈-靜止目標(biāo)相對(duì)運(yùn)動(dòng)幾何關(guān)系如圖4。圖中,r、λ、θ分別表示彈目相對(duì)距離、視線角、彈道傾角。對(duì)于打擊靜止目標(biāo),終端視線角λf=θf(wàn)[15]。則視線角變化量為λ*f=λf-λ0,初始瞄準(zhǔn)方向角誤差量為β0=θ0-λ0。

圖4 彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)幾何關(guān)系

由式(9)～式(13)、無(wú)量綱化加速度因子和y(0)=0得:

(39)

(40)

式中:at是由作用在導(dǎo)彈上的重力等效而來(lái)[2],其大小為at=gcosθ,飛行時(shí)間tf可由r/vc近似估計(jì)。

令導(dǎo)彈可用過(guò)載為ap,啟動(dòng)時(shí)刻需要滿足

(41)

(42)

經(jīng)過(guò)分析可得，當(dāng)0

(43)

考慮控制系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)滯后,為保證位置脫靶量和終端角度要求,飛行時(shí)間tf應(yīng)大于控制系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)間的15～16倍[10,12],即tf≥(15～16)Tm,可轉(zhuǎn)化為彈目距離

r0≥vctf

(44)

(45)

以下3個(gè)要素可作為末制導(dǎo)設(shè)計(jì)的參考準(zhǔn)則:

①適當(dāng)?shù)闹兄茖?dǎo)來(lái)保證瞄準(zhǔn)方向角誤差和視線角變化量控制在一定范圍內(nèi),保證式(41)、式(45)成立;

②選取適當(dāng)大的制導(dǎo)時(shí)間tf滿足式(44),并保證式(41)、式(45)成立,可用過(guò)載留有一定裕量;

③若期望終端加速度收斂于零,選取導(dǎo)引系數(shù)n>0;同時(shí),導(dǎo)引系數(shù)n保證式(41)、 式(45)成立。

4 數(shù)學(xué)仿真

以航空制導(dǎo)彈藥縱向平面運(yùn)動(dòng)為例進(jìn)行數(shù)學(xué)仿真，驗(yàn)證上述設(shè)計(jì)原則的有效性,該彈藥無(wú)動(dòng)力,經(jīng)過(guò)穩(wěn)定、適當(dāng)中制導(dǎo)進(jìn)入末制導(dǎo)段完成垂直攻擊任務(wù),初始條件及終端約束要求為:初始高度為Hm=3 km、初始速度vm=300 m/s、彈目水平距離x=6 km、水平投彈θm=0°、期望落角θf(wàn)=-90°。

取表1擴(kuò)展多約束最優(yōu)制導(dǎo)律典型導(dǎo)引系數(shù)來(lái)進(jìn)行數(shù)學(xué)仿真,其結(jié)果見(jiàn)表2,彈道曲線如圖5。由表2知,上述典型導(dǎo)引系數(shù)均可達(dá)到期望脫靶量和期望落角要求,且終端速度散布很小,說(shuō)明n在[0,1]上取值對(duì)終端速度影響不大;當(dāng)n=0.5、n=1.0時(shí),終端過(guò)載接近為零,與解析結(jié)論一致,有利于終端攻角收斂,避免大攻角“跳彈”發(fā)生。

另外,由圖6(a)知：解析與仿真所需加速度指令變化趨勢(shì)基本一致,當(dāng)n=0時(shí),加速度指令單調(diào)遞減;當(dāng)0

表2 理想情況仿真結(jié)果

圖5 仿真曲線

考慮控制系統(tǒng)滯后,令控制系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)間Tm=0.3 s進(jìn)行仿真,其結(jié)果見(jiàn)表3,其加速度指令與實(shí)際值見(jiàn)圖7。從表2與表3對(duì)比可以看出，控制系統(tǒng)滯后對(duì)飛行時(shí)間、末速、脫靶量、落角影響不大,但對(duì)終端過(guò)載影響嚴(yán)重,違背攻角收斂要求;結(jié)合圖7知,其原因是在滯后影響下在接近目標(biāo)時(shí)加速度指令存在半震蕩甚至發(fā)散現(xiàn)象。因此實(shí)際工程應(yīng)用時(shí)必須對(duì)終端加速度指令采取必要措施,如終端加速度指令歸零等。

表3 滯后情況仿真結(jié)果

5 結(jié)論

主要解析結(jié)論如下:

1)該制導(dǎo)律簇可以克服初始位置誤差、初始瞄準(zhǔn)方向角誤差以及常值目標(biāo)機(jī)動(dòng)干擾和實(shí)現(xiàn)終端落角約束;當(dāng)0

圖6 解析解和仿真結(jié)果

圖7 帶滯后動(dòng)力學(xué)時(shí)加速度變化

2)導(dǎo)引系數(shù)n決定著各項(xiàng)因素引起的無(wú)量綱化過(guò)載在時(shí)間軸上分配規(guī)律,其影響無(wú)量綱化過(guò)載曲線單調(diào)性、極點(diǎn)以及過(guò)零點(diǎn),當(dāng)n=0時(shí),各無(wú)量綱化過(guò)載線性變化,而當(dāng)0

3)制導(dǎo)時(shí)間tf決定著各項(xiàng)因素過(guò)載幅值規(guī)律,其中初始位置誤差引起的過(guò)載幅值與制導(dǎo)時(shí)間平方成反比,瞄準(zhǔn)方向角誤差及終端落角約束引起的過(guò)載幅值與制導(dǎo)時(shí)間成反比,常值目標(biāo)機(jī)動(dòng)引起的過(guò)載幅值與制導(dǎo)時(shí)間無(wú)關(guān)。

4)從無(wú)量綱化視線角變化角度,4個(gè)因素極性不同將直接影響視線角變化趨勢(shì)。若瞄準(zhǔn)角誤差與終端期望落角極性相反,有利于彈道成型。若常值目標(biāo)機(jī)動(dòng)與終端期望落角極性相同,有利于彈道成型。

基于上述結(jié)論,提出了工程應(yīng)用設(shè)計(jì)準(zhǔn)則。通過(guò)實(shí)例仿真,驗(yàn)證了該制導(dǎo)律相關(guān)解析結(jié)論的有效性;指出了由于實(shí)際控制系統(tǒng)存在滯后影響,制導(dǎo)加速度指令終端變化劇烈現(xiàn)象不利于終端攻角收斂,需要采取終端攻角歸零措施。