某些GV-分配半環(huán)的結(jié)構(gòu)

蒲 楠 李 剛

( 山東師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,250358,濟(jì)南 )

1 引言及預(yù)備知識(shí)

設(shè)(S,·)為半群，對(duì)于任意的a∈S,若存在x∈S, 使得a=axa, 則稱a為S的正則元. 若半群S的每一個(gè)元素都是正則元，則稱S是正則半群[1].若對(duì)于正則半群S及任意的a∈S，存在x∈S, 使得a=axa,x=xax且ax=xa，則稱S為完全正則半群.文獻(xiàn)[2]深入地研究了完全正則半群.

半環(huán)(S,+,·)是一個(gè)帶有二元運(yùn)算“+”和“·”的代數(shù)，它滿足以下條件：

(i)(S,+)是一個(gè)半群；

(ii)(S,·)是一個(gè)半群；

(iii)(a,b∈S)滿足分配律，a(b+c)=ab+ac,(a+b)c=ac+bc.

定義1[3](X,≤)為分配格?代數(shù)系統(tǒng)(X,∨,∧)滿足:

(i) 交換律(a∨b=b∨a,a∧b=b∧a);

(ii) 結(jié)合律((a∨b)∨c=a∨(b∨c),(a∧b)∧c=a∧(b∧c));

(iii) 冪等律(a∨a=a,a∧a=a);

(iv) 吸收律(a∨(a∧b)=a,a∧(a∨b)=a);

(v) 分配律((a∨b)∧c=(a∧c)∨(b∧c),a∧(b∨c)=(a∧b)∨(a∧c)).

定義2[3]半群S稱為Archimedean半群，若對(duì)于任意的a,b∈S，存在一個(gè)自然數(shù)n(n∈Z+),使得an∈SbS.

定義3[3]半群S稱為完全Archimedean半群，若它為Archimedean半群且包含一個(gè)本原冪等元.

定義4[4]半群S稱為GV-逆半群，當(dāng)S為GV-半群且S中任意正則元存在唯一的逆.

2 某些GV-分配半環(huán)的結(jié)構(gòu)

定義6設(shè)S為GV-半環(huán)，若對(duì)于任意的a,b,c∈S有a+bc=(a+b)(a+c),ab+c=(a+c)(b+c),則稱S為GV-分配半環(huán).

(a+b)(a+x)(a+b)=a+bxb=a+b,

(1)

定義7設(shè)S為GV-逆半環(huán)，若對(duì)于任意的a,b,c∈S有a+bc=(a+b)(a+c),ab+c=(a+c)(b+c),則稱S為GV-分配逆半環(huán).

e=e(e+f),e+f=(e+f)(f+e)(e+f),

(2)

對(duì)于任意的c∈S，因?yàn)镾為分配半環(huán)，所以

(3)

(4)

為分配格.

定義9設(shè)S為任意半環(huán)，對(duì)于任意的a,b∈S,有

(ii) ?a,b∈S,a(a+b)a=a;

(iii) ?a,b∈S,(a+b)(b+a)(a+b)=a+b;

(5)

則稱S為擬帶半環(huán).

(i)S為擬群半環(huán)的分配格；

(ii)E為子半環(huán)；

證必要性，由引理2的證明可知，下證充分性.

證必要性，由引理2的證明可得.

(i)S為完全Archimedean半環(huán)的分配格；

對(duì)于任意的c∈S,因?yàn)镾為分配半環(huán)，所以

(6)

(7)

(8)