一個含三角形內(nèi)角平分線的不等式的加強

安徽師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院

陳 麗 倪 玲 郭要紅 (郵編：241003)

1 引言

2016年第10期《美國數(shù)學月刊》刊登了馬其頓人Martin Lukarevski提供的問題11945如下.

問題11945[1]設a、b、c分別是△ABC的頂點A、B、C所對邊長，wa、wb、wc分別是角A、B、C的內(nèi)角平分線長. 證明

①

2018年第3期《美國數(shù)學月刊》刊登了Santa Monia. Dmitry Flesichman提供的問題11945的解答.[2]本文給出問題11945的一個加強.

定理設a、b、c分別是△ABC的頂點A、B、C所對邊長，wa、wb、wc分別是角A、B、C的內(nèi)角平分線長. 證明

②

2 兩個引理

為證明不等式②，現(xiàn)給出兩個引理.

引理1 設a、b、c分別是△ABC的頂點A、B、C所對邊長，wa、wb、wc分別是角A、B、C的內(nèi)角平分線長. 則

事實上，利用三角形面積公式，有

于是

類似可以得到另兩個等式.

引理2[3]設R、r分別是△ABC的外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑，則

3 結論的證明

證明由算術——幾何平均不等式、引理1、引理2，有

不等式(2)得證.