基于運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn) 把握折疊問題本質(zhì)

安徽省宣城市郎溪縣教研室

劉自珍 (郵編：242100)

1 問題的提出

《初中數(shù)學(xué)教與學(xué)》2017年第10期刊登了《山重水復(fù)疑無路 柳暗花明又一村》(后稱“文[1]”)一文，作者對(duì)2016年徐州市一道中考試題(正方形折疊問題)展開課堂教學(xué)的探究，挖掘出試題的背景，提煉出求正方形折痕長度的蹊徑再推廣到求矩形折痕的一般形式.筆者讀后受益匪淺，同時(shí)認(rèn)為在解決圖形翻折問題時(shí)要抓住翻折前后圖形的整體特征，抓住翻折問題的核心思想方法，本文在此前提下用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)展開探究，卻也別有一番洞天.

圖1

圖2

原題已知，如圖1，將邊長為6的正方形ABCD對(duì)折，折痕為EF，展開后再將點(diǎn)B折到CD邊上的M處，使邊AB過點(diǎn)E，折痕為GH，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為N.

(1)若CM=x，則CH=(用含有x的代數(shù)式表示)；

(2)求折痕GH的長度.

2 翻折問題的核心思想及通法

翻折問題的特點(diǎn)：(1)翻折變換是一種軸對(duì)稱變換，折痕是對(duì)稱軸，折痕兩側(cè)為全等圖形；(2)翻折問題常常伴有直角三角形、中垂線、相似三角形等內(nèi)容；(3)翻折后生成的圖形與原圖形構(gòu)成的圖形中有一些特殊的基本圖形；(4)翻折變換是一個(gè)動(dòng)態(tài)的過程.

翻折問題的核心思想與方法：翻折前后有“變與不變”的規(guī)律，方程與函數(shù)的思想；

由于翻折問題有著其典型的特征，解題時(shí)我們應(yīng)該著力尋找思考問題和解決問題的通法，這樣才能觸類旁通、舉一反三.

本題通法的思維框圖如下[1]

第一次對(duì)折：

第二次翻折：

通法解析

圖3

3 基于運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)展開探究

因?yàn)辄c(diǎn)B折到CD邊上的M處，折痕為GH，故可看作是點(diǎn)M在線段CD上移動(dòng)，導(dǎo)致折痕GH的位置不斷地變化及圖中的Rt△MDE、Rt△HCM及梯形NGHM的形狀都在變化，在變化中是否蘊(yùn)含某些不變的關(guān)系呢？在變化中線段的長短、幾何圖形的周長、面積是否有內(nèi)在的變化規(guī)律呢？

3.1 點(diǎn)M在線段CD上移動(dòng)時(shí)，探究點(diǎn)、線的特殊位置關(guān)系

圖4

圖5

(1)本題只是M點(diǎn)在線段CD上移動(dòng)時(shí)線段MN過點(diǎn)E的特殊情況，還有許多特殊情況如點(diǎn)M為線段CD的中點(diǎn)，點(diǎn)H為線段FC的中點(diǎn)等；

(2)連接BM,無論M點(diǎn)在線段CD上什么位置，則線段GH、BM、EF三線共點(diǎn)P，且0≤PF≤3，如圖4、圖5；(易證)

3.2 點(diǎn)M在線段CD上移動(dòng)(點(diǎn)M不與點(diǎn)C、D重合)時(shí)，探究幾何圖形的內(nèi)在聯(lián)系

(3)設(shè)線段MN交線段AD于Q點(diǎn)，則Rt△GNQ∽R(shí)t△MDQ∽R(shí)t△HCM;(易證)

(4)設(shè)線段MN交線段AD于Q點(diǎn)，無論M點(diǎn)在線段CD上什么位置(C、D點(diǎn)除外)，△QDM的周長為定值(正方形ABCD邊長的2倍).

圖6

因?yàn)镽t△HCM∽R(shí)t△MDQ，

(6)在線段CD上不存在一點(diǎn)M，使得Rt△GNQ、Rt△MDQ、Rt△HCM中任何兩個(gè)三角形全等;

(x-2a)(x+6a)=0，x1=2a,x2=-6a.(兩根均要舍去)

(2a-x)(-x-2a)=0,x1=2a,x2=-2a.(兩根均要舍去)

故Rt△HCM、Rt△MDQ、Rt△GNQ三個(gè)直角三角形彼此相似，但彼此不全等.

3.3 點(diǎn)M在線段CD上移動(dòng)時(shí)，探究圖形線段的內(nèi)在聯(lián)系

(7)連接BM,無論M點(diǎn)在線段CD上什么位置，則線段BM=GH.“文[1]”已證;

(8)當(dāng)點(diǎn)M從C點(diǎn)向D點(diǎn)移動(dòng)時(shí)，線段AG長在減小，但線段BH長度在增加，意味著MC∶DM(或者說MC∶CD)的值與BH∶AG的值有一定的聯(lián)系.

翻折問題是中考試題的常見題型，如矩形的折疊、正方形的折疊、三角形的折疊、圓的折疊等，在解決這一類折疊問題時(shí)，要把握翻折變換的核心思想，注意觀察折疊前后的有哪些不變的量，研究折疊后有哪些新的基本圖形及解決這些基本圖形有哪些常用的思想方法，在平時(shí)的解題中，可以對(duì)某一題進(jìn)行縱向深入研究，如：探究求折痕長度的辦法有哪些？也可以對(duì)題目進(jìn)行橫向研究，如本文用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)研究點(diǎn)、線的特殊位置關(guān)系和特殊圖形的內(nèi)在聯(lián)系等.