圓錐曲線定點(diǎn)弦的一個(gè)有趣性質(zhì)

廣東省佛山市榮山中學(xué)

李燕高 (郵編：528000)

文[1]給出圓錐曲線焦點(diǎn)弦的一個(gè)有趣性質(zhì)，筆者經(jīng)過(guò)探索將其推廣為一般圓錐曲線定點(diǎn)弦的性質(zhì)，并發(fā)現(xiàn)由該性質(zhì)可導(dǎo)出其它圓錐曲線的一些性質(zhì)．

圖1

定理1 如圖1，給定圓錐曲線Γ：Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0，過(guò)曲線Γ外的定點(diǎn)P(m,n)作曲線Γ兩條切線PA、PB，其切點(diǎn)為A、B，動(dòng)點(diǎn)Q在直線AB上，過(guò)定點(diǎn)P的動(dòng)直線交曲線Γ于P1、P2，記直線QP1、QP、QP2到直線AB的角分別為θ1、θ2、θ3，則cotθ1、cotθ2、cotθ3成等差數(shù)列．

平移坐標(biāo)系，使得坐標(biāo)原點(diǎn)移到點(diǎn)P，則在新坐標(biāo)系中，P(0,0)，二次曲線Γ：Ax2+Cy2+D1x+E1y+F1=0，直線AB：D1x+E1y+2F1=0(其中D1=2Am+D，E1=2Cn+E，F(xiàn)1=Am2+Cn2+Dm+En+F)；設(shè)P1(x3,y3)、P2(x4,y4)；

所以cotθ1+cotθ3=

故cotθ1+cotθ3=2cotθ2．

當(dāng)直線P1P2垂直x軸時(shí)，可得cotθ1+cotθ3=2cotθ2．

所以定理1成立．

特別地，當(dāng)點(diǎn)P為焦點(diǎn)時(shí)，推論1就是文[1]中的定理．

圖2

在定理1及定理2中，如圖2，過(guò)點(diǎn)P作直線AB(或l)的垂線，記垂足為T(mén)，當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)T重合時(shí)，θ2=900，則cotθ1=-cotθ3，得θ1=-θ3，所以直線PT、直線TP1的夾角與直線PT、直線TP2的夾角相等．所以有：

當(dāng)P在二次曲線Γ的對(duì)稱(chēng)軸上時(shí)，由推論3及二次曲線的對(duì)稱(chēng)性就可得文[2]、[3]、[4]的結(jié)論．