運動覓本質(zhì) 變化提素養(yǎng)

浙江省平湖中學

李學軍 (郵編：314000)

浙江省慈溪中學

苗孟義 (郵編：315323)

浙江省鎮(zhèn)海中學

沈虎躍 (郵編：315200)

源起2018年11月26日，浙江省教育廳“百人千場”高中數(shù)學專家名師赴磐安縣送教活動中，沈虎躍名師網(wǎng)絡工作室學科帶頭人慈溪中學苗孟義老師在磐安二中開設了一節(jié)課題為《立體幾何動態(tài)問題復習》高三一輪專題復習課，這節(jié)示范課使學生主動深入探究環(huán)境當中，在恰當?shù)臅r機給學生創(chuàng)造自由飛翔的空間，有效地激發(fā)了學生的學習潛能，使得各種層次的學生都能夠?qū)W有所獲.苗老師的這節(jié)課設計樸實而有針對性，選題精煉而有代表性，在充分尊重學生的同時，又激發(fā)了學生對問題解決的熱情，下面簡要回顧課堂教學的部分環(huán)節(jié)以及自己的切身感受，談一下自己對課堂教學的思考.

1 教師主導——駕馭課堂真老師

苗老師在知識復習階段，回顧了余弦定理及余弦定理的變形，接下來從余弦定理出發(fā)，向平面向量過渡，通過平面向量公式的變形，逐步探究出本節(jié)課的主干知識，在這個探究的過程中，既要兼顧到教材概念、思想、方法的回顧，又要把相互關聯(lián)的概念、思想和方法有機地串聯(lián)起來，使學生能夠達到真正意義的融匯貫通.

課堂實錄1對角線向量定理的探究

師：余弦定理可以寫成向量的形式嗎？

師：兩式相減，左邊等于什么？

師：右邊等于什么？

圖1

師：同學們發(fā)現(xiàn)這個公式中字母的規(guī)律了嗎？

生：由內(nèi)及外再交叉相減.

師：這個定理就叫做對角線向量定理，有些書上也叫做四點向量定理；對角線向量定理，表明四邊形的兩條對角線對應向量的數(shù)量積可用四條邊的長度表示.

圖2

師：今天我們研究的主要內(nèi)容是立體幾何中的動態(tài)問題，因此這個四邊形要進行翻折，對不對？

師：假如我們以BD為軸進行翻折，這樣平面問題轉(zhuǎn)換為空間問題，同學們思考一下，在空間中，對角線向量定理是否成立？

生：在翻折的過程中，四條邊的長度沒有發(fā)生變化，因此在空間四邊形中，對角線向量定理仍然成立；

感悟《普通高中數(shù)學課程標準(2017版)》中說“教師應理解不同數(shù)學學科素養(yǎng)水平的具體要求，不僅關注每節(jié)課的教學目標，更應關注主題、單元的教學目標，明晰這些目標對實現(xiàn)數(shù)學學科素養(yǎng)發(fā)展的貢獻.”苗老師的這個環(huán)節(jié)從學生的最近發(fā)展區(qū)出發(fā)到知識理解，知識遷移，知識創(chuàng)新層層遞進.真正體現(xiàn)了“整體設計必修和選擇性必修課程的體系，處理好數(shù)學內(nèi)容的層次性與數(shù)學學科核心素養(yǎng)水平發(fā)展的連續(xù)性”.在高三的一輪復習中從教材出發(fā)進行追本溯源，挖掘知識的本源，滲透必要的數(shù)學核心素養(yǎng)，這樣的復習為后續(xù)的綜合能力的提升奠定了非常扎實的基礎.

2 學生主體——課堂掌控真主人

圖3

A.存在某個位置，使得直線AC與直線BD垂直

B.存在某個位置，使得直線AB與直線CD垂直

C.存在某個位置，使得直線AD與直線BC垂直

D.對于任意位置，三對直線“AC與BD”，“AB與CD”，“AD與BC”均不垂直

課堂實錄2對角線向量定理的理解

師：請同學們用自己所帶的紙折一下，然后猜猜看或者用我們剛剛探究過的對角線向量定理.

(巡視和學生交流是猜的選項B，還是算出來的)

師：對于選項A如何判斷？

師：對于選項B呢？

圖4

師：最大值是多少呢？

師：最小值如何求呢？

生：當翻折后與A、B、D共面時最小.

師：如何求此時的AC′的長度呢？翻折后AC′與BD有什么關系呢？

師：在平時的學習中，我們要對每一個選項進行深究一下，選項C如何判斷呢？

師：如果這種方法，在平時你一直在用，那么在大型考試中遇到這樣類型的小題你就可以進行秒殺了.

感悟這個題目是2012年浙江高考數(shù)學理科的第10題，苗老師在課堂上引導學生動手折一折，實際上就是培養(yǎng)學生因地制宜，充分利用周圍的環(huán)境解決問題，通過數(shù)學實驗直觀的發(fā)現(xiàn)答案.接下來苗老師“話風”一轉(zhuǎn)，數(shù)學講究嚴謹性，引導學生通過計算的方式進行嚴格推理論證.學生在苗老師的引導下，緊張有序的進行逐個選項的論證.雖然這是高三的一輪復習，但是苗老師在課堂上給學生留出足夠的時間，讓學生對所學習的知識進行去思，去悟，去用，真正實現(xiàn)了學以致用.

3 課堂主場——滲透素養(yǎng)真領地

圖5

課堂實錄3對角線向量定理的內(nèi)化

圖6

生：∠ACD=∠BCD，

師：請問，cos∠BCD等于多少？

生：cos∠BCD=cos2∠ACD=

師：在平面四邊形ABCD中，你會求BD的長度嗎？

師：當點D在什么位置時，BD的長度最?。?/p>

生：當點D′落在BC的三等分點E處時BD′=3-1=2最小.

感悟《普通高中數(shù)學課程標準(2017版)》中提出“數(shù)學學科素養(yǎng)包括：數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算和數(shù)據(jù)分析.這些數(shù)學核心素養(yǎng)既相對獨立、又相互交融，是一個有機的整體.”在標準中還給出了核心素養(yǎng)的水平劃分的三個層次具體的要求，因此在課堂教學中，苗老師根據(jù)學生的現(xiàn)有的學習能力，引導學生主動地參與學習，培養(yǎng)學生用數(shù)學思維和習慣進行學習，通過較為復雜的數(shù)據(jù)運算，取值范圍的求解，翻折過程中的動態(tài)變化，使得數(shù)學運算，邏輯推理，直觀想象等數(shù)學核心素養(yǎng)有效扎實地落到實處.

圖7

4 問題主線——能力提升真效果

例3(2015年浙江省普通高中學業(yè)水平考試數(shù)學試題18題)如圖，在菱形ABCD中，∠BAD=60o，線段AD、BD的中點分別為E、F，現(xiàn)將△ABD沿對角線BD翻折，則異面直線BE與CF所成角的取值范圍是( )

圖8

課堂實錄4一類問題的多種思維

師：這是一個選擇題，你有沒有辦法猜出答案呢？

師：通過特殊值法進行定性分析是有風險的，如果題目中有陷阱就比較麻煩，接下來，我們進行定量計算，不妨設菱形ABCD的邊長為2.

師：非常棒！事實上當△ABD沿對角線BD翻折的過程中，點E的軌跡是是什么？

生：是一個圓.

師：線段BE在翻折的過程中的軌跡是什么？

生：是圓錐的側(cè)面.

師：請同學們課后思考一下，你可以通過這樣的思路解決這道題嗎？

教學啟示

圖9

(1)關注教材的潛力

數(shù)學選修2-1第106頁例2如圖，甲站在水庫底面上的點A處，乙站在水壩斜面上的點B處.從A、B到直線l(庫底與水壩的交線)的距離AC和BD分別為a和b，CD的長為c，AB的長為d.求庫底與水壩所成二面角的余弦值.

在解決這個問題我們可以從三個層次進行探究.

第三層次：再推廣一下當AC，BD與CD不垂直時，

正如葉圣陶先生所說：“教材無非是個例子，它只能作為教課的依據(jù).要教得好，使學生受益，還要靠教師善于運用.”事實上在我們的教材中，只要我們做個有心人，用心去挖掘這樣的素材，一定可以從不同角度得出更多有意義的結論，使得我們課堂更加韻味無窮.

(2)關注專題的實效

對角線向量定理，可以快速解決一類關于向量數(shù)量積或向量夾角問題，但并不是一味追求高難度的解題技巧，恰恰相反，通過這種專題的探究，尋求一類問題的通解通法，進而形成一類問題的統(tǒng)一解法.事實上對于動點的軌跡問題苗老師的這節(jié)課完全可以設計動畫演示，通過動畫學生對動點的運動狀態(tài)理解可能會更加深刻，尤其對空間想象能力不強的學生來說效果會更好.但是高三復習目的是讓學生在考場上能夠在有效的時間內(nèi)對所考查的問題進行有效解決，因此在高三的復習課堂就應該為這樣的目的進行設計和實施.

(3)關注考題的聯(lián)系

考題1(2014年1月浙江省普通高中學業(yè)水平考試第25題)如圖，在Rt△ABC中，AC=1,BC=x，D是斜邊AB的中點，將△BCD沿直線CD翻折，若在翻折的過程中存在某一時刻，使得CB⊥AD，則x的取值范圍是( )

圖10

圖11

圖12

考題2(2009浙江高考理科第17題)如圖，在長方形ABCD中，AB=2,BC=1，E為DC的中點，F(xiàn)為線段EC(端點除外)上的一動點.現(xiàn)將△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC，在平面ABD內(nèi)過點D作DK⊥AB，K為垂足.設AK=t，則t的取值范圍是.

這樣背景的試題在高三的復習資料中會經(jīng)常出現(xiàn)，在解決問題的過程中，我們也應該關注這些試題之間是否存在共性的東西，解決這類問題是否有行之有效的共性辦法，這也就是數(shù)學中的合情推理和演繹推理的最好落實.正如波利亞曾形象地指出“好問題同某些蘑菇有些相似，它們大都成堆地生長，找到一個之后，你應當在周圍再找一找，很可能就有幾個”.

總之，數(shù)學教學不僅要教授數(shù)學知識，數(shù)學方法，更要引導學生把握數(shù)學內(nèi)容的本質(zhì)，發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng)，用數(shù)學的眼光看問題.張奠宙教授曾經(jīng)說過：“數(shù)學教學的有效性關鍵在于對數(shù)學本質(zhì)的把握、揭示和體驗.”在教學中要想更好的駕馭時刻在變化的課堂，就需要老師在平時不斷提升自身的數(shù)學素養(yǎng)，從而實現(xiàn)真正意義的教學相長.