探究題目背后的隱直線

浙江省麗水中學(xué)

羅賢旭 (郵編：323000)

直線是解析幾何中最基本也是最重要的元素之一，從初中開始學(xué)生就已經(jīng)學(xué)習(xí)過直線方程，高中必修二又進一步學(xué)習(xí)了直線方程的五種形式.直線與圓錐曲線結(jié)合使得圓錐曲線綜合問題更加豐富多彩.有很多問題從表面上看并沒有直接考查直線，但是背后卻隱藏著直線，挖掘題目背后的隱直線，能給解題帶來事半功倍的作用.

1 形式中應(yīng)用直線

圖1

點評目標(biāo)式的形式與點到直線的距離形式一致，就將問題轉(zhuǎn)化為圓上兩個動點到直線的距離之和.

圖2

點評思路1和思路2都是通過把問題轉(zhuǎn)化成點到直線的距離，問題的關(guān)鍵是找到符合轉(zhuǎn)化條件的直線，從不同的視角下得到答案，方法都很巧妙.

問題3(2010浙大自招)有小于1的正數(shù)x1,x2,…，xn，且x1+x2+…+xn=1.求證：

圖3

2 定義中引入直線

問題4 在平面直角坐標(biāo)系中，若方程m(x2+y2+2y+1)=(x-2y+3)2表示的曲線為橢圓，則實數(shù)m的取值范圍為.

點評這道全國高中數(shù)學(xué)競賽題條件簡潔，通過構(gòu)造滿足條件的定點(即焦點)與相應(yīng)的定直線(即準(zhǔn)線)，借助圓錐曲線的定義得到m的范圍.

圖5

點評引入直線MN，利用點O在直線MN上滿足斜坐標(biāo)系下的直線方程，巧解此題.

3 構(gòu)造中感悟直線

問題7若實數(shù)a、b、c滿足a+2b+3c=1,a2+4b2+9c2=1，則c的最小值是.

點評直線與圓很多時候總是相生相伴，演繹了很多精彩的題目和結(jié)論，通過合理的代換實現(xiàn)代數(shù)的幾何化，利用隱直線與隱圓有交點轉(zhuǎn)化成距離，視角獨特，解題方便.

點評cos2α+sin2α=1?cosα·cosα+sinα·sinα=1.這個三角恒等式中隱含著動點A(cosα,sinα)恒在動直線系cosα·x+sinα·y=1上，這些直線又正是單位圓x2+y2=1上任意一點的切線，所有這些切線就形成了圓的包絡(luò)線，在這樣的數(shù)學(xué)背景下，題目的解法也就更加新穎.

點評這道題的條件是一邊一對角問題，利用余弦定理可以得到邊a、c的關(guān)系，目標(biāo)式是求c+2a的最大值，第一視角是利用不等式的方法去解決.但是挖掘題目背后的幾何背景，利用數(shù)形結(jié)合解這道題有利于進一步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.

解題教學(xué)并不單純?yōu)榱饲蟮脝栴}的結(jié)果，真正的目的是為了提高學(xué)生分析和解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造能力，我們在平時的教學(xué)過程中給學(xué)生多些視角分析問題，探究題目背后隱含的數(shù)學(xué)元素，經(jīng)過長期這樣的訓(xùn)練，肯定會提高學(xué)生分析問題決問題的能力，真正培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).