傳統(tǒng)數(shù)學好課中有核心素養(yǎng)落實嗎？

江蘇第二師范學院數(shù)學系

胡晉賓 (郵編：210013)

南京師范大學附中數(shù)學組

劉洪璐 (郵編：210003)

1 研究緣起

《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》以數(shù)學核心素養(yǎng)為基本理念，指出數(shù)學核心素養(yǎng)是具有數(shù)學基本特征的思維品質、關鍵能力以及情感、態(tài)度與價值觀的綜合體現(xiàn)，數(shù)學核心素養(yǎng)包括數(shù)學抽象等6種.許多一線優(yōu)秀教師的日常教學設計，就與數(shù)學核心素養(yǎng)落實是高度契合的.2017年12月1日是百年名校南師附中的教學開放日，數(shù)學組資深教師蘭松斌應邀開設了一節(jié)《三角函數(shù)的周期性》的公開課并進行了網(wǎng)絡直播，受到了許多專家和聽眾的一致好評.以下結合現(xiàn)場觀摩和錄像整理，從數(shù)學核心素養(yǎng)的課堂落實角度進行探討.

2 過程實錄

2.1 教學導入(時間00′00″—07′50″)

師：今天是12月1日，農歷丁酉年十月十四，前兩天南京的天氣非常沉悶，今天終于出現(xiàn)了太陽，我們當然希望也有月亮，正好我早晨打開手機一看日歷，明天就是十五啦！我們常說，十五的月亮最圓，我忽然想起了這樣一副對聯(lián)：天上月圓，人間月半，月月月圓逢月半；今夕年尾，明朝年頭，年年年尾接年頭.請同學們給它加一個橫批吧.

生(眾)：周而復始.

師：很好，這是一個周而復始的現(xiàn)象.在日常生活中、在自然界，我們常常會遇到類似的現(xiàn)象.同學們，你還能舉出類似的周而復始的現(xiàn)象嗎？

生(眾)：晝夜交換、四季更替、擺鐘、時鐘、人的心跳.

師：嗯.人的心跳，要是這個人生病了怎么辦？(就不是周期性的)(學生笑)

生：太陽直射點移動.

師：這個問題比較專業(yè)，我不能加以判斷.還有嗎？

生：車輪上一點的軌跡.

師：這個應該是的，這個應該是旋輪線……慢，這個可能不一定.(學生笑)……你這么說，是有一些問題的……還有嗎？

生：紅綠燈.紅綠黃交替.

師：類似的現(xiàn)象舉不勝舉.比如：星期幾過7天就重復，白居易的“離離原上草，一歲一枯榮”，周華健的“黑夜又白晝，春去春會來，花謝花會再開……”我們統(tǒng)稱這種“周而復始”現(xiàn)象為周期性.(板書“周期性”)

問題1 今天是12月1日星期五，再過1000天是星期幾？(學生很快得到答案)

師：這個問題很簡單，是被7除的余數(shù).讓我們從數(shù)學上，更確切地說從函數(shù)觀點來看，自變量x(與今天相隔的天數(shù))與函數(shù)y(星期幾)之間有何關系.教師板書并歸納.x：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9…對應的y：5，6，7，1，2，3，4，5，6，7，…從中我們發(fā)現(xiàn)x與y有怎樣的關系式？

生：f(x+7)=f(x).

師：這種函數(shù)具有“周而復始”的性質.什么叫做周而復始呢？就是又回到原來的函數(shù)值了.

問題2 教材第18面誘導公式一中，令k=1，有sin(α+2π)=sinα，cos(α+2π)=cosα，tan(α+2π)=tanα.從上面的公式中，能看出y=sinx，y=cosx，y=tanx的共同特征是什么？能用一個數(shù)學表達式表示出來嗎？

生：f(x+2π)=f(x).

2.2 講解新課(時間07′51″—14′30″)

師：這兩個例子都具有周而復始的性質.從這個誘導公式一可以看出，三角函數(shù)具有周期性.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)具有奇偶性，但具有奇偶性的不只有三角函數(shù).通過剛才的討論，我們發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)具有周期性，那么具有周期性的函數(shù)是否只有三角函數(shù)呢？為此，要研究怎樣的函數(shù)可以稱之為周期函數(shù)，也就是說，怎樣給周期函數(shù)下一個定義呢？從上面2個例子中，如何概括出周期函數(shù)的定義呢？

生：一般地，如果對于函數(shù)f(x)，存在一個非零的常數(shù)T，使得定義域內的每一個x值，都滿足f(x+T)=f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期.

師：你為什么要說是非零常數(shù)T呢？

生：假如T=0的話，那么f(x+T)=f(x)對于任意的函數(shù)都成立，那就沒有意義.

師：從以上定義可以看出，正弦、余弦和正切函數(shù)都以2π為周期.既然周期性如此定義，定義域內的每一個值都滿足條件，那么它對定義域有什么要求嗎？這個問題比較難、不好思考，具體地，比如T>0，將會怎樣？

生：定義域大于0.

師：當T>0時，根據(jù)f(x)=f(x+T)=f(x+2T)=…=f(x+nT)，那么在數(shù)軸右邊將走向無窮.如果T<0，那么在數(shù)軸左邊是無界的.所以對于周期函數(shù)，定義域至少有一端是無界的，可以在一端是有界的.因此，周期性對定義域是有嚴格要求的.注意：①T是非零常數(shù)；②任意x∈D(D為定義域)，都有x+T∈D，可見周期函數(shù)定義域必定至少一端無界；③周期性是反映函數(shù)在定義域上的整體性質(同奇偶性單調性一樣).

2.3 鞏固理解(時間14′31″—30′18″)

生：①③錯誤，②④⑤正確.

師：①是錯誤的，為什么？

生：按照定義，它們構不成因果關系.

問題3 函數(shù)y=sinx，y=cosx的周期除了2π之外，還有沒有其他的周期呢？它們到底有多少周期呢？

生：2kπ，k∈Z，k≠0.(師強調k≠0)

問題4 對函數(shù)y=sinx，y=cosx而言，是否存在比2π更小的正周期呢？(教師當堂板書證明，2π是正弦函數(shù)的最小正周期，強調反證法使用時關鍵在于否定結論并列舉反例)

問題5 是否所有的周期函數(shù)，都具有最小的正周期呢？更確切地說，是否所有具有正周期的周期函數(shù)，一定有最小正周期呢？先給出最小正周期的定義，即對于一個周期函數(shù)，如果在它的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)叫做函數(shù)的最小正周期.

生：不.常函數(shù).它對于任意的正數(shù)，都是它的周期，因此沒有最小的正周期.

師：嗯，y=2，這個是平凡的例子，找不到它的最小正周期.有沒有不是平凡的例子，它不是常數(shù)函數(shù)，但是它是周期函數(shù)，并且沒有最小正周期呢？

生：……

師：想一想課堂上曾經(jīng)講過的函數(shù)，并說明原因.

生：狄利克雷函數(shù).

生(眾)：有的說周期是任意實數(shù)，有的說周期是除0以外的有理數(shù).

師：狄利克雷函數(shù)是一個經(jīng)典的案例，除0以外的所有有理數(shù)都是它的周期.但是，在所有的正有理數(shù)中，并不存在最小的正有理數(shù)，所以它沒有最小正周期.以后大學學習時，大家會知道它經(jīng)常作為數(shù)學分析中的反例出現(xiàn)的.

2.4 課堂練習(時間30′19″—46′00″)

問題6 正切函數(shù)是周期函數(shù)嗎？若是，它有最小正周期嗎？

生：有.從誘導公式tan(α+π)=tanα可知.

師：此處需要注意的是，正切函數(shù)的定義域有限制.當然，我們也可以證明正切函數(shù)具有最小的正周期π，此處我們從略.這就是我們今天研究的三角函數(shù)的周期性.(教師在原來“周期性”板書的前面補加“三角函數(shù)的”板書)

師：根據(jù)剛才的定義，以及類似例2的方法可以推導.如果ω≠0,那么結果是什么？為什么？

生：取絕對值.

師：為什么？

生：因為T>0.

師：這不對，這是混亂的邏輯.(學生笑)如果ω<0，那么情況會是什么呢？

生：……

師：這個問題考驗大家的理解和轉換能力.有人想出來了嗎？(眾生沉默，在思考)

生：我可以把負號提到外面去.

圖1

例3 若鐘擺的高度h(mm)與時間t(s)之間的函數(shù)關系如圖1所示.①求該函數(shù)的周期；②求t=10s時鐘擺的高度.(教師一帶而過，指出t=10s時可以利用周期性進行轉化，過程略)

問題7 教材第19頁第四組誘導公式sin(π+x)=-sinx，cos(π+x)=-cosx，將之推廣到一般函數(shù)，即滿足的關系式為f(π+x)=-f(x).試問：滿足該式的y=f(x)是周期函數(shù)嗎？(如果定義域是R)能概括出更一般的結論嗎？

生：是周期函數(shù).但是周期是……

生：是周期函數(shù).如果……先代入……

師：你代100個值也沒有用啊，你難道不知道周期函數(shù)的定義是對任意的數(shù)值都成立的嗎？(學生會心一笑)

生：因為f(2π+x)=f(π+π+x)=-f(π+x)=f(x)，所以2π是它的周期.

師：更一般地，你能概括出什么結論？

生：如果f(a+x)=-f(x)，那么2a一定是它的周期.

師：嗯，很好，其中的a是常數(shù).這就說明誘導公式四揭示了正弦和余弦函數(shù)都是以2π為周期的函數(shù).今天，我們學習了周期，這有什么用呢，實際上它可以用在簡諧振動分解的周期延拓和周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開等方面，函數(shù)周期性具有重要價值.

2.5 回顧反思(時間46′00″—48′00″)

師：通過這節(jié)課學習，你們有哪些收獲？

生：利用周期性，可以從特殊性結論得出一些普遍性結論等.此外，還有一些有關周期性的具體結論.

3 設計淺析

3.1 教學內容：數(shù)學知識的深度理解

數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)不是空穴來風，而是立足于知識的深刻把握，來源于問題的成功解決，取決于數(shù)學思維的參與經(jīng)歷.對于函數(shù)的性質，高中主要研究周期性、單調性、奇偶性以及最值等.作為一個整體性的概念，周期性的一個認知難點是，利用有限來認識無限，把周期性作為一個模型來驅動三角函數(shù)的學習.在有的版本教材中，是先講三角函數(shù)的圖象再講周期函數(shù)的概念，從而讓學生觀察圖象中的“周而復始”等特點，從中抽象和概括出周期性概念.而蘇教版是以周期性作為基本模型和驅動主線來貫穿整章的，并且先有函數(shù)的周期性再講三角函數(shù)的圖象.因此，蘇教版中的周期性概念的重要性不言而喻.有關周期性的知識譜系的問題主要有：為什么要提出周期性概念？生活中有哪些周期性的案例？數(shù)學中有哪些經(jīng)典的案例？周期性概念的數(shù)學定義是什么？周期函數(shù)的內涵有哪些？周期函數(shù)的周期有多少個？周期函數(shù)有沒有最小(正)周期？任意一個函數(shù)都有周期性嗎？如何判定函數(shù)是周期函數(shù)？什么樣的函數(shù)才有周期性？為什么2π是正弦函數(shù)的最小正周期？怎樣去求周期性函數(shù)(三角函數(shù))的周期？周期性概念的提出有什么意義？這些問題的深刻理解和把握，是周期性概念理解的關鍵.

蘭老師認識到本節(jié)課的教學重點不是獲得三角函數(shù)周期的求解公式，并幫助學生簡單套用這些公式解題，而是借助三角函數(shù)來把握和理解周期性概念的數(shù)學本質.因此，他的教學從生活中的案例和已學知識誘導公式出發(fā)，讓學生不斷建構周期性的概念，加深對周期性概念的深度理解.指出周期性是一個重要的數(shù)學模型，并非所有的函數(shù)都是周期函數(shù)，周期性函數(shù)的定義域具有一端無限的特點，周期不能為零，并借助正反例子幫助學生深度理解周期性的含義.其中，選用了狄利克雷和常數(shù)函數(shù)等反例的思想來幫助理解周期性的概念，介紹了反證法思想等.特別是，考慮到生源基礎緣故，蘭老師對2π是正弦函數(shù)的最小正周期給予了證明，而對于三角函數(shù)的一般周期公式則一帶而過.

3.2 教師教學：傳統(tǒng)特征的自覺踐行

數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)落實，數(shù)學課堂的組織設計是關鍵.中國數(shù)學教育教學中的一些傳統(tǒng)做法，就是很好的數(shù)學素養(yǎng)培養(yǎng)方式.就中國數(shù)學教育(教學)的特色，許多人有不同的總結.例如，張奠宙指出，中國數(shù)學教育，具有許多與世界主流研究不同的特色，至少有“新課導入”教學，“大班級的師生互動”、“數(shù)學思想方法教學”、“變式引領練習”、“熟能生巧的演練”等5個方面.[1]涂榮豹等指出，中國數(shù)學教學的5個特點分別是：注重教學的具體目標；教學中長于由舊知引出新知；注重對新知識的深入理解；強調解題，關注方法和技巧；重視及時鞏固、課后練習、記憶有法.[2]

在新課改中，面對紛繁復雜的外來教育理論，多元教學理念和新穎教學方法，許多新手教師在組織教學時往往迷失方向.而在一些名校中，許多優(yōu)秀教師扎根課堂，在看似樸實無華的課堂教學中，傳承著中國數(shù)學教育的優(yōu)秀傳統(tǒng)，彰顯著深厚的數(shù)學功底和非凡的教學實力.本課中的蘭老師，就是一個代表.蘭老師在該課中充分體現(xiàn)了上述多條傳統(tǒng)教學特征.首先，蘭老師注重教學導入和銜接過渡.蘭老師洞悉學生的數(shù)學現(xiàn)實，一開始就從生活常識和舊有知識中自然切入.整節(jié)課上，層次清楚，過渡自然，銜接流暢，清新親切，絕不矯揉造作、絕不生拉硬拽.其次，在大班的師生互動中，蘭老師充分采用了啟發(fā)式教學方法.蘭老師的這節(jié)課不是以技術取勝，不是以情境見長，不是以活動為本，而是采用了傳統(tǒng)的啟發(fā)式教學，所有提出的問題，都在學生思維射程之內.整節(jié)課的教學過程水到渠成、輕松自然.學生在看似輕松活潑的學習氛圍中，卻不斷經(jīng)歷了數(shù)學思維的歷險和穿越.再次，體現(xiàn)出了問題驅動和變式理論的特色.蘭老師借用變式設計幫助豐富學生對周期概念的理解，借助有思維深度的多種問題，在提出、探究、解決和反思中來推進整個教學活動.

3.3 學生學習：數(shù)學素養(yǎng)的建構生成

數(shù)學是思維的科學，數(shù)學教學是數(shù)學思維活動的教學.數(shù)學核心素養(yǎng)的獲得，當然離不開學習主體的自主建構.《課標(2017年版)》把數(shù)學活動劃分為情境與問題、知識與技能、思維與表達和交流與反思4個方面.從教學設計來看，蘭老師尊重教材把周期作為一個思維主線貫通全章的處理方式，整節(jié)課循循善誘地以周期為核心，充分經(jīng)歷水平數(shù)學化和垂直數(shù)學化的過程，在現(xiàn)實生活和已學知識的基礎上開展學習活動.蘭老師創(chuàng)設生活和數(shù)學情境(情境與問題)，從中抽象出周期性的定義和判定原則(知識與技能)，借助問題串這一高效腳手架，促進思維的嚴密、表達的精準和形式的抽象，達到對周期性概念的深度理解(思維與表達)，課堂中師生之間的對話聲中，充斥著數(shù)學表達、質疑、批判和反思(交流與反思).

從數(shù)學核心素養(yǎng)的6種分類來看，本節(jié)課中主要體現(xiàn)了數(shù)學抽象、數(shù)學運算、邏輯推理、數(shù)學建模等多種核心素養(yǎng).其中，在情境中抽象出數(shù)學概念，在多個問題的解決中發(fā)展運算能力，在正反多方面的批判和交鋒中磨練(演繹)推理能力，把周期性作為一類數(shù)學模型，等等.此外，在周期函數(shù)定義域特征的探索和解決例3的過程中，也體現(xiàn)了直觀想象的核心素養(yǎng).而從核心素養(yǎng)的水平劃分來看，主要有畢業(yè)水平、高考水平和拓展水平，本課中的相應水平較高，顯然是充分考慮了生源優(yōu)秀的實際.當然，這些核心素養(yǎng)的養(yǎng)成是整體實現(xiàn)的，是借助數(shù)學思維形成的.在整節(jié)課中，體現(xiàn)出的數(shù)學思想方法有：化歸思想，模型思想，數(shù)形結合思想，特殊與一般.發(fā)展了學生的以下能力：抽象能力，概括能力，形式化能力，演繹能力.在教學過程中，體現(xiàn)出的聯(lián)系有：和先學知識誘導公式的聯(lián)系，和生活的聯(lián)系，和函數(shù)的聯(lián)系，和大學知識的聯(lián)系，和其他學科的聯(lián)系，等等.總之，本節(jié)課中師生、生生的交互協(xié)商和思維建構，最后磨礪了思維品質，鑄就了關鍵能力.不難想象，經(jīng)過天長日久的積累，學生數(shù)學核心素養(yǎng)就養(yǎng)成了.

致謝：感謝蘭松斌老師的精彩設計和無私分享