一類亞純函數(shù)的Fekete-Szeg不等式

李宗濤，付小娟

(廣州民航職業(yè)技術(shù)學(xué)院 數(shù)學(xué)教學(xué)部，廣東 廣州 510403)

S*(β)表示Σ中滿足-Re{zf′(z)/f(z)}＞β（0≤β＜1）的全體函數(shù)類，C*(β)表示Σ中滿足-Re{1+zf′(z)/f′(z)}＞β（0≤β＜1）的全體函數(shù)類，S*(β)和C*(β)就是我們說的β級亞純星象函數(shù)類與β級亞純凸象函數(shù)類.

設(shè)φ(z)是U={z∈?:|z|＜1}內(nèi)具有正實部且滿足φ(0)=1,φ′(0)＞0的解析函數(shù)，它把區(qū)域U映照到一個關(guān)于實軸對稱且關(guān)于1星型的像域上，其泰勒展開式具有下述形式：

令Σ*(φ)表示滿足下列條件的函數(shù)類：Σ*(φ)={f∈Σ：-zf′(z)/f(z)?φ(z)}，此函數(shù)類是由Silverman等[1]引入的.很明顯，（0≤β＜1）時，Σ*(φ)=S*(β).

2013年，Aouf[2]研究了亞純函數(shù)類的Fekete-Szeg不等式.Mocanu[3]定義了α-凸函數(shù)類，其函數(shù)滿足它是一個從星象函數(shù)向凸函數(shù)過渡的函數(shù).后來Miller[4]證明了：當(dāng)α＜1時，f(z)∈S*(0)；當(dāng)α≥1時，f(z)∈K(0).仿照亞純函數(shù)類(φ)，我們定義了如下函數(shù)類.

定義1設(shè)φ(z)是U內(nèi)具有正實部且滿足φ(0)=1,φ′(0)＞0的解析函數(shù)，它把區(qū)域U映照到一個關(guān)于實軸對稱且關(guān)于1星型的像域上.令，如果f(z)∈Σ，滿足φ(z)，則稱函數(shù)

我們注意到：選擇合適的參數(shù)λ,φ(z)，可以得到下面的函數(shù)類：

為得到結(jié)論，需要下面的引理：

引理1[9]設(shè)在U內(nèi)解析，且Rep(z)＞0，則|pn|≤2,(n≥1).

引理2[10]如果是U內(nèi)具有正實部的解析函數(shù)，則對任意的t∈?，有2max{1,|2t-1|}，等號在函數(shù)或時成立.

引理3[11]如果是U內(nèi)具有正實部的解析函數(shù)，則對任意的t∈?，有t＜0或t＞1時，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)或是它的一個旋轉(zhuǎn)；當(dāng)0＜t＜1時，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)或是它的一個旋轉(zhuǎn)；當(dāng)t=0時，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)或是它的一個旋轉(zhuǎn)；當(dāng)t=1時，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)p(z)是t=0的情況下等號成立時的任意一個函數(shù)的逆.同時，當(dāng)0＜t＜1時，不等式可以改進為：

1 主要結(jié)果

定理1如果f(z)由式（1）給出，且則和

證明因為所以存在U內(nèi)的施瓦茲函數(shù)u(z)(u(0)=0，|u(z)|＜1)，滿足

由式（3）、（4）得

由式（2）、（4）得

比較式（5）、（6）中z和2z的系數(shù)，得

由式（7）得

由式（8）、（9），得

由式（9）及引理1，得

定理2如果f(z)由式（1）給出，并且，則對任意的μ∈?，當(dāng)B1≠0時，有，且對所有的μ等號都是成立的.

證明由式（9）和（10），得

當(dāng)f(z)取U中滿足的函數(shù)時，等號成立.

下面討論μ∈?的情況.

定理3設(shè)φ(z)=1+B1z+B2z2+B3z3+…(B1＞0)滿足定義1中的條件.如果f(z)由式（1）給出，并且則對任意的μ∈?，有

證明由式（11）及引理3，得

為了證明上面的界是精確的，我們記函數(shù)(n=2,3,…)為方程組的一個解.并且記函數(shù)和(λ≥0)分別為方程組和的一個解.易知函數(shù).簡記由引理3，當(dāng)μ＜μ1或μ＞μ2時，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)f是或是它的一個旋轉(zhuǎn)；當(dāng)μ1＜μ＜μ2時，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)f是或是它的一個旋轉(zhuǎn)；當(dāng)μ=μ1時，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)f是或是它的一個旋轉(zhuǎn)；當(dāng)μ=μ2時，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)f是或是它的一個旋轉(zhuǎn).

若μ1≤μ≤μ2，根據(jù)引理3，定理3可以被改進為：

定理4設(shè)φ(z)=1+B1z+B2z2+B3z3+…(B1＞0)滿足定義1中的條件，μ1和μ2由定理3給出，且則有

注：通過選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)，我們得到了前面提到的幾個函數(shù)類的Fekete-Szeg不等式.

2 在Hadamard卷積定義的函數(shù)類上的應(yīng)用

令f(z),g(z)∈Σ，其中f(z)由式（1）定義，Hadamard積（或卷積）f*g定義為類似于前面定理的證明，有如下結(jié)論成立.

定理5設(shè)f(z)∈Σ由式（1）給出，如果則有和

定理6如果f(z)由式（1）給出，，并且則對任意的μ∈?，當(dāng)B1≠0時，有且對所有的μ等號都是成立的.

定理7設(shè)φ(z)=1+B1z+B2z2+B3z3+…(B1＞0)滿足定義1中的條件. 如果f(z)由式（1）給出，并且則對任意的μ∈?，有其中且對所有的μ等號都是成立的.

定理8設(shè)φ(z)=1+B1z+B2z2+B3z3+…(B1＞0)滿足定義1中的條件，μ1和μ2由定理7給出，且如果f(z)由式（1）給出，則有

注：在定理5～8中，令則定理5～8即為定理1～4.

3 推論

Pochhammer定義符號(u)n：

對于復(fù)參數(shù)a,b,c且c≠0,-1,-2,-3,…,Gaussian定義超幾何函數(shù)2F1(a,b,c;z)：

利用Hadamard卷積和Gaussian超幾何函數(shù)，Hohlov[12-13]定義并研究了Hohlov算子Ia,b,cf(z)=其中

推論1如果f(z)∈Σ由式（1）給出，并且則有和

推論2設(shè)φ(z)=1+B1z+B2z2+B3z3+…(B1＞0)滿足定義1中的條件.如果f(z)由式（1）給出，并且則對任意的μ∈?，當(dāng)B1≠0,a≠0,b≠0時，有

且對所有的μ等號都是成立的.

推論3設(shè)φ(z)=1+B1z+B2z2+B3z3+…(B1＞0)滿足定義1中的條件.如果f(z)由式（1）給出，并且則對任意的μ∈?，當(dāng)a＞0,b＞0時，有

推論4設(shè)φ(z)=1+B1z+B2z2+B3z3+…(B1＞0)滿足定義1中的條件，μ1和μ2由推論3給出，且如果f(z)由式（1）給出，并且則對任意的μ∈?，當(dāng)a＞0,b＞0時，有和