數(shù)形直觀描述 發(fā)展邏輯思維

林美興

【中圖分類號(hào)】G623.5 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2019）13-0112-02

【案例主題及其內(nèi)涵】

1.案例主題：通過(guò)《找次品》的課例讓學(xué)生懂得——明晰邏輯推理思維和化歸思想方法。

2.案例內(nèi)涵：

小學(xué)階段正處于從具體形象思維向抽象邏輯思維過(guò)渡，尤其是高年段時(shí)期的學(xué)生更需要幫助發(fā)展抽象邏輯思維的時(shí)期。要發(fā)展學(xué)生的智力必須重視發(fā)展孩子們的邏輯思維能力，因?yàn)檫壿嬎季S能力是一個(gè)人的智力核心。培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的各種能力，特別是初步的邏輯思維的能力，是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的主要任務(wù)之一。

（1）發(fā)展邏輯推理 提高觀察能力

在學(xué)習(xí)過(guò)程中培養(yǎng)和實(shí)踐中鍛煉出人的觀察能力，往往是通過(guò)直接的體驗(yàn)，積累對(duì)各種實(shí)踐活動(dòng)的感性認(rèn)識(shí)，可以培養(yǎng)學(xué)生對(duì)事物進(jìn)行科學(xué)觀察的能力和習(xí)慣。但是，觀察力是科學(xué)探究的基礎(chǔ)，在實(shí)驗(yàn)操作中觀察才能發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和規(guī)律。例如：看一看、試一試、摸一摸等認(rèn)知特點(diǎn)，《找次品》老師提出要求去觀察：課件出示：有2個(gè)乒乓球中其中1瓶質(zhì)量稍輕的次品，如果利用沒(méi)有砝碼的天平（同時(shí)出示天平圖）至少要稱多少次才能保證找到次品？學(xué)生的專注力就會(huì)集中并思考，帶著問(wèn)題進(jìn)行有序地觀察操作過(guò)程 ，分析有關(guān)的原理和聯(lián)系。促進(jìn)數(shù)學(xué)高層次思維發(fā)展，這個(gè)邏輯推理也推動(dòng)學(xué)生觀察力的發(fā)展。

（2）發(fā)展邏輯推理 幾何拓寬思路

邏輯推理是借助幾何直觀來(lái)輔助理解的。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中明確提出的十大核心詞之一是幾何直觀。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索解決問(wèn)題的思路，幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)。利用圖形描述和分析問(wèn)題，最直接的方式就是用線段圖或示意圖把抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題直觀地表示出來(lái)?！墩掖纹贰愤@節(jié)課本人有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生嘗試用畫直觀圖、流程圖一層一層地表示物品放在天平上平衡或不平衡。

【案例描述與分析】

1.案例描述

（1）嘗試猜測(cè)，理解題意

課件出示243瓶木糖醇中混入一瓶質(zhì)量稍輕的次品，如果中能利用沒(méi)有砝碼的天平（同時(shí)出示天平圖）至少要稱多少次才能保證找到次品？

師：猜一猜：要稱幾次？

生：1次

師：怎么稱？

生：不一定1次，運(yùn)氣好才1次，運(yùn)氣不好的要稱好多次。

師：到底是從運(yùn)氣好的角度考慮還是從運(yùn)氣差的角度考慮？

生：從好運(yùn)的角度考慮，因?yàn)轭}目有“至少”。

生：從運(yùn)氣差的角度考慮，因?yàn)轭}目有“保證”。

師：到底要稱多少次呢？這里面是否存在一定的規(guī)律？（板書：找次品）

[ 設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)猜測(cè)讓學(xué)生帶著懸念去思考，引出學(xué)生用自己的語(yǔ)言去理解“至少、保證” 兩個(gè)詞的意思 。]

（2）化繁為簡(jiǎn)，初步感知

師：面對(duì)比較復(fù)雜的問(wèn)題，我們通常怎么做？

師：對(duì)！化繁為簡(jiǎn)是解決問(wèn)題的一種好方法，我們不妨從2瓶開始研究。

課件出示：有2瓶鈣片中其中1瓶質(zhì)量稍輕的次品，如果利用沒(méi)有砝碼的天平（同時(shí)出示天平圖）至少要稱多少次才能保證找到次品？

要求學(xué)生會(huì)表述：把兩個(gè)物品分別放在天平兩端，出現(xiàn)不平衡，向上的次品。用天平演示一次。

如果用圖表示2（1，1）（板書）

[設(shè)計(jì)意圖：分散難點(diǎn)，學(xué)生容易理解天平不平衡是怎么回事，引導(dǎo)學(xué)生用規(guī)范語(yǔ)言表述和引出簡(jiǎn)單的圖形來(lái)表示。]

把“2”換成“3”。 用符號(hào)表示3（1，1，1）

要求學(xué)生會(huì)表述：把兩個(gè)物體分別放在天平左右兩端，如果平衡的次品就是剩下的一個(gè)，如果天平不平衡，上升的是次品。

師：也稱幾次？

師：為什么也只稱一次？第3份明明沒(méi)有稱過(guò)為什么也能確定？

生：因?yàn)榈谌菔歉鶕?jù)前兩份的情況，推理出來(lái)的。

小結(jié)：看來(lái)運(yùn)氣好和運(yùn)氣差的都只稱一次就能確定3個(gè)物品中哪個(gè)是次品。

[設(shè)計(jì)意圖：先加強(qiáng)語(yǔ)言的表述和圖形表示，關(guān)鍵是讓學(xué)生2個(gè)物品和3個(gè)物品進(jìn)行對(duì)比，導(dǎo)出：“為什么都只稱一次？”發(fā)展學(xué)生的邏輯推理能力]

（3）在操作中感知推理思路

出示：8個(gè)零件里有1 個(gè)是次品（次品重一些）。假設(shè)用天平稱，至少稱幾次能保證找出次品？

師：你認(rèn)為天平兩邊可以怎么放？有幾種分法？

生：天平兩邊各放4個(gè)。

師：可以用數(shù)字記錄下來(lái)嗎？（師板書）8（4，4）

生：還有天平兩邊各放1個(gè)，外面還有6 個(gè)。 8（1，1，6）

生：天平兩邊各放2個(gè)，外面4 個(gè)。8（2，2，4）

生：天平兩邊各放3個(gè)，外面2個(gè)。 8（3，3，2）

[設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生建立天平的表象，思考分法，再次加深對(duì)圖示法的理解。]

師：想一想哪一種分法稱的次數(shù)最少？

請(qǐng)動(dòng)手?jǐn)[一擺，把你的思考記錄下來(lái)（硬幣代表零件）

[設(shè)計(jì)意圖：用真實(shí)的天平來(lái)稱硬幣，學(xué)生可以體會(huì)到重是天平沉下去，次品就在哪邊。用直觀手段支撐了抽象思考]

學(xué)生匯報(bào)

板書：

①8（4，4）→4（2，2）→2（1，1）3次

②6（1，1，6）→ ? ? ? ? ? ? ? ? 運(yùn)氣好的1次

→6（3，3）→3（1，1，1）保證找到至少3次

③8（2，2，4）→2（1，1） ? ? ?運(yùn)氣好的2次

→4（2，2）→2（1，1）保證找到至少3次

④8（3，3，2）→3（1，1，1）

→2（1，1） ? ? ? 無(wú)論哪種都是2次

[設(shè)計(jì)意圖：再次規(guī)范學(xué)生的表述語(yǔ)言，從中加深理解“至少和保證”。]

師：比較這四種分法，稱的次數(shù)最少的是哪一種？為什么這種分法稱的次數(shù)會(huì)最少？

請(qǐng)認(rèn)真觀察：分成3份比2份次數(shù)更少，2份只能3次，3份有可能小于3次。這幾種都分3份，每份之間相差越少，找次數(shù)越少。 比較第一次稱完后的數(shù)，從中你明白了什么？

小結(jié)：剩下的越少，次品的范圍就越少，就越容易找到次品。

[設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真帶著問(wèn)題觀察對(duì)比。得出分成3份比2份次數(shù)少]

師：現(xiàn)在研究8（3，3，2）這種分法有什么特點(diǎn)？

生：天平上兩份與外面的那份只差1，很接近。剩下的最少。所以8（3，3，2）這種分法稱的次數(shù)最少。

結(jié)論：分成3份，每份盡量接近。（板書）

[設(shè)計(jì)意圖：再次觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律：盡量平均分成3份，不能平均分成3份的，有一份多1或2份。]

（4）練習(xí)：①出示9個(gè)零件里有1 個(gè)是次品（次品重一些）。假設(shè)用天平稱，至少稱幾次能保證找出次品？請(qǐng)大家用圖表示。

師：綜合8和9兩種情況，你覺(jué)得找次品的最優(yōu)的方法是什么？

②返回：243瓶怎樣分？生：除以3

結(jié)果是多少？81 。天平左右兩邊各放81個(gè)，外面放81個(gè)，繼續(xù)怎樣？

[設(shè)計(jì)意圖：與課前首尾呼應(yīng)，讓學(xué)生真正學(xué)而致用。從不同數(shù)量中找次品時(shí)，都不用列出全部過(guò)程，直接比較第一次分的結(jié)果，就能準(zhǔn)確判方法的優(yōu)劣。]

2.案例分析：

本案例《找次品》是人教版五年級(jí)下冊(cè)的數(shù)學(xué)廣角的內(nèi)容，是一節(jié)智力思考的探究課，是落實(shí)四基多維目標(biāo)的很好載體。本節(jié)課的教學(xué)是通過(guò)引導(dǎo)和讓學(xué)生經(jīng)歷操作等活動(dòng)，利用“天平平衡”的原理找到次品，再進(jìn)一步從不用天平，運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)表示方法，清晰地用語(yǔ)言表達(dá)數(shù)學(xué)思維過(guò)程，進(jìn)行合理推理，掌握基本的邏輯推理和化歸的思想方法，學(xué)會(huì)優(yōu)化策略。

（1）如何實(shí)現(xiàn)思維培養(yǎng)

①猜測(cè)中理解題意

題中“至少稱幾次就能保證找到次品”是什么意思？，從字面上解釋會(huì)使人糊涂的，感覺(jué)它“至少”，又要“保證”。課開始就讓學(xué)生猜一猜：243瓶木糖醇中混入一瓶質(zhì)量稍輕的次品，如果中能利用沒(méi)有砝碼的天平（同時(shí)出示天平圖）至少要稱多少次才能保證找到次品？

有學(xué)生說(shuō)稱1次，也有學(xué)生反對(duì)，運(yùn)氣好才1次，運(yùn)氣不好的次品不在天平上怎么是1次。這時(shí)，老師問(wèn)：“到底從運(yùn)氣好的角度考慮，還是從運(yùn)氣差的角度去考慮？”學(xué)生再次爭(zhēng)辯，激發(fā)學(xué)生思維出來(lái)。有的說(shuō)從運(yùn)氣好的去考慮，因?yàn)橛小爸辽佟?，有的說(shuō)從運(yùn)氣不好去考慮，因?yàn)橐氨ＷC”。學(xué)生用俗語(yǔ)理解“至少”就是運(yùn)氣好，“保證”就是運(yùn)氣不好。題意的難點(diǎn)通過(guò)問(wèn)題引導(dǎo)激發(fā)爭(zhēng)論，理解了“至少”“能保證”的含義?！澳鼙ＷC”是每一條可能的路徑都要考慮到。“至少”是在保證一定能找出次品各種方法中稱量次數(shù)最少的那種方案。

②用規(guī)范語(yǔ)言分散難點(diǎn)

本節(jié)課設(shè)計(jì)從簡(jiǎn)單的2 瓶鈣片和3瓶鈣片中分別找較輕的次品。學(xué)生容易明白怎樣分的，這環(huán)節(jié)是側(cè)重用規(guī)范的語(yǔ)言表述，讓學(xué)生容易領(lǐng)會(huì)到：把兩個(gè)物品分別放在天平左右兩邊，天平上升的是次品。3個(gè)物品也會(huì)表述，為多個(gè)物品的環(huán)節(jié)鋪墊，可以一邊說(shuō)一邊操作，學(xué)生學(xué)起來(lái)輕松多了。接著，繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行簡(jiǎn)單推理：為什么第三份不用稱就能確定？激發(fā)學(xué)生思考用上已有的生活常識(shí)和推理經(jīng)驗(yàn)，第三份是根據(jù)前兩份的情況推理得出。

③自主探究中突破難點(diǎn)

出示例題：8個(gè)零件里有1 個(gè)是次品（次品重一些）。假設(shè)用天平稱，至少稱幾次能保證找出次品？當(dāng)時(shí)，想到學(xué)生對(duì)硬幣比較熟悉，找了一堆1元硬幣和10個(gè)1元的港幣，分成10個(gè)小組，每組有一座天平和7個(gè)1元硬幣和1個(gè)1 元的港幣。讓學(xué)生按照課本112頁(yè)探素的表格進(jìn)行小組分工合作完成探究各種分法。

④比較優(yōu)化策略

學(xué)生操作探究后，進(jìn)行各小組匯報(bào)，老師根據(jù)學(xué)生的回答把方法列出來(lái)。要求他們觀察比較這幾各種稱法，有意識(shí)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律。第一層次發(fā)現(xiàn)分成2份比3份的稱的次數(shù)多。第二層次發(fā)現(xiàn)同樣分成3份，有的還是要稱3次，只有8（3，3，2）這種分法，怎樣稱都是2次。再次引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：每份的個(gè)數(shù)盡量平均分，不能平均分的，每份的個(gè)數(shù)相差最少，稱得次數(shù)是最少。

本節(jié)課是通過(guò)猜測(cè)、比較、驗(yàn)證等活動(dòng)，探索解決問(wèn)題的策略，滲透優(yōu)化思想，感受解決問(wèn)題策略的多樣性，學(xué)生的邏輯能力得到提高。 ?本人也有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生嘗試用畫直觀圖、流程圖，并配以文字說(shuō)明的方式表示邏輯推理的過(guò)程，使學(xué)生逐步學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)化的方式表達(dá)思維過(guò)程。練習(xí)中也要不斷引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)用符號(hào)、文字直觀、簡(jiǎn)潔地表達(dá)或表示思維過(guò)程，使學(xué)生潛移默化中學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地表達(dá)，有意識(shí)地培養(yǎng)思維的條理性和準(zhǔn)確性。

（2）課后建議與改正

①合理使用教材，精讀教材內(nèi)容，領(lǐng)悟編者的目的，再結(jié)合本班情況適當(dāng)改動(dòng)。例如：本節(jié)課可以直接改為4個(gè)物品里找次品入手，可能對(duì)下一步的8個(gè)物品里找次品更容易理解。

②善于設(shè)置一些可以調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，引起他們的注意力的問(wèn)題。例如：最后應(yīng)該加用一個(gè)問(wèn)題來(lái)總結(jié)本節(jié)課：你們覺(jué)得在生活中如果要檢測(cè)一大批從外表上看不出區(qū)別的零件找少量的次品，是選擇一個(gè)一個(gè)用砝碼放在天平上稱，還是用今天學(xué)的知識(shí)不用砝碼，把這堆零件平均分成3份來(lái)稱？

③多一個(gè)反驗(yàn)證環(huán)節(jié)，例如：在分析9個(gè)物品里找次品，再次放手讓學(xué)生不平均分成3份的次數(shù)是不是超過(guò)2次？