(廣東省陽江市實驗學(xué)校)
數(shù)學(xué)的概念、公式、定理講究簡明,問題解決的思路講究簡單,數(shù)學(xué)的語言講究簡潔,……可見,數(shù)學(xué)應(yīng)該是簡約的.近幾年在各類考試中,經(jīng)常出現(xiàn)一類幾何問題,這類題目綜合性較強(qiáng)、隱蔽性較高、難度較大,學(xué)生感覺無從下手,這時若能根據(jù)題目的本質(zhì)特征,聯(lián)想到圓的有關(guān)知識,恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造輔助圓,往往能起到化隱為顯、化繁為簡、化難為易、返璞歸真、追求簡約的解題效果.
概念是事物本質(zhì)屬性的反映.利用圓的概念發(fā)現(xiàn)隱形圓的關(guān)鍵是找到題目中由同一點出發(fā)的一組相等線段,繼而考慮以這個點為圓心構(gòu)造輔助圓.
例1如圖1,點O為線段BC的中點,點A,D,C到點O的距離相等,若∠ABC=30°,則∠ADC的度數(shù)是( ).
圖1
(A)150° (B)120°
(C)60° (D)30°
學(xué)生的常規(guī)解法:如圖2,連接OA,OD.
圖2
因為OB=OA,
所以∠OAB=∠OBA=30°.
所以∠AOC=60°.
因為OA=OD=OC,
所以∠OAD=∠ODA,∠ODC=∠OCD.
根據(jù)四邊形內(nèi)角和為360°,有∠AOC+∠OAD+∠ODA+∠ODC+∠OCD=360°.
所以∠OAD+∠ODA+∠ODC+∠OCD=300°.
所以2∠ODA+2∠ODC=300°.
所以∠ODA+∠ODC=150°,
即∠ADC=150°.
故選A.
很明顯,這種解法較為煩瑣.在學(xué)生得到這種解法的基礎(chǔ)上,教師啟發(fā)學(xué)生思考:此題的條件“點A,D,C到點O的距離相等”,你能聯(lián)想到我們學(xué)過的哪個概念?你能得到更為簡約的解法嗎?由此,學(xué)生聯(lián)想到圓的概念,發(fā)現(xiàn)可以通過構(gòu)造輔助圓來解決問題:因為OA=OB=OC=OD,所以四邊形ABCD在以點O為圓心,OC長為半徑的⊙O上(如圖3),所以∠ABC+∠ADC=180°.所以∠ADC=150°.故選A.在此基礎(chǔ)上,組織學(xué)生進(jìn)行反思,感受概念有效運(yùn)用為解題帶來的簡便,進(jìn)一步深化了學(xué)生對概念的理解,潛移默化地培養(yǎng)了學(xué)生的簡約意識.
圖3
若題目中的條件是直角或與之相關(guān),則可以考慮借助直角,構(gòu)造輔助圓,然后利用圓中相關(guān)性質(zhì),達(dá)到化難為易、事半功倍的解題效果.
例2在平面直角坐標(biāo)系中,借助直角三角板可以找到一元二次方程的實數(shù)根.例如,對于方程x2-5x+2=0,操作步驟是:
第一步:根據(jù)方程系數(shù)特征,確定一對固定點A(0 ,1),B(5 ,2);
第二步:在坐標(biāo)平面中移動直角三角板,使其一條直角邊恒過點A,另一條直角邊恒過點B;
第三步:在移動過程中,當(dāng)三角板的直角頂點落在x軸上點C處時,點C的橫坐標(biāo)m即為該方程的一個實數(shù)根(如圖4);
圖4
第四步:調(diào)整三角板直角頂點的位置,當(dāng)它落在x軸上另一點D處時,點D的橫坐標(biāo)為n即為該方程的另一個實數(shù)根.
(1)在圖5中,按照“第四步”的操作方法作出點D(保留作出點D時直角三角板兩條直角邊的痕跡);
圖5
(2)結(jié)合圖4,證明“第三步”操作得到的m就是方程x2-5x+2=0的一個實數(shù)根;
(3)上述操作的關(guān)鍵是確定兩個固定點的位置,若要以此方法找到一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,b2-4ac≥0)的實數(shù)根,試直接寫出一對固定點的坐標(biāo);
(4)實際上,(3)中的固定點有無數(shù)對,一般地,當(dāng)m1,n1,m2,n2與a,b,c之間滿足怎樣的關(guān)系時,點P(m1,n1) ,Q(m2,n2)就是符合要求的一對固定點?
此處只對第(4)小題進(jìn)行解析.
解析:如圖6,設(shè)點P,Q的坐標(biāo)分別為P(m1,n1) ,Q(m2,n2),以PQ為直徑的圓與x軸相交于點M,N,則點M,N的橫坐標(biāo)為方程ax2+bx+c=0的兩根.
整理得x2-( )m1+m2x+m1m2+n1n2=0.
又因為ax2+bx+c=0,
圖6
圖7
圖8
圖9
圖10
從上面兩道題的解題過程中可以明顯地看出,與常規(guī)解法相比,巧妙構(gòu)造橢圓后的解法在很大程度上簡化了計算過程,有效地提升了解題速度和準(zhǔn)確率.以二次方程和四邊形為背景的壓軸題,居然可以借助看似毫不相關(guān)的圓,使解題變得如此容易.
所謂“瓜豆法”是指在一般情況下,已知點A為定點,點B為動點,點M為線段AB的中點,中點M隨著動點B的運(yùn)動而運(yùn)動、確定而確定.當(dāng)主動點B的路徑為圓時,易知從動點M的路徑也為圓(如圖11);若其中的主動點B的路徑為線段,則從動點M的路徑也會是線段,即“線段生線段”“圓生圓”,可謂“種瓜得瓜,種豆得豆”,因此得名.其本質(zhì)就是位似變換,兩段路徑關(guān)于定點A成位似圖形.
圖11
圖12
例4如圖13,在等腰直角三角形ABC中,AC=BC=2 2,點P在以斜邊AB為直徑的半圓上,M為PC的中點.當(dāng)點P沿半圓從點A運(yùn)動至點B時,點M運(yùn)動的路徑長是( ).
圖13
(A) 2π (B)π
(C)2 2 (D)2
解析:由題意可得,從動點M的路徑長一定是主動點P的運(yùn)動路徑的一半,易知主動點P的路徑長為半圓弧AB的弧長2π,從而所求為π,故選B.
例5如圖14,點B是⊙O的半徑OA延長線上的一點,OA=AB=2,C是半圓O上的一動點,以BC為斜邊在BC的上方作等腰直角三角形BCD,連接OD,則線段OD的最大長度為_____.
圖14
圖15
圖16
例4、例5兩道例題的主要特征都是已有了一個“瓜”(即一個圓),依據(jù)“位似變換”或“旋轉(zhuǎn)+相似”變換,再找另一個“瓜”(即另一個圓),關(guān)鍵是要找到旋轉(zhuǎn)中心和位似中心.
隱形的圓,猶如隱形的翅膀.借用概念、借助直角、聯(lián)想“瓜豆”,就能高飛,極大地提高學(xué)生的審美情趣,激發(fā)學(xué)習(xí)興趣,讓學(xué)生盡情起舞,從容地面對更高、更遠(yuǎn)的天空,把夢想與希望放飛,成就人生的精彩,啟迪人們的思維,開闊人們的視野,并帶來美的享受.