(河南省商丘市第六中學(xué))
隨著近幾年大數(shù)據(jù)概念的興起和普及,通過數(shù)據(jù)分析,得出一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生可能性的大小,從而做出正確判斷,越來越普遍的應(yīng)用在我們的生活當(dāng)中.根據(jù)初中學(xué)段學(xué)生的心理特征,以研究簡單隨機(jī)事件的概率為主,在研究過程中加深學(xué)生對(duì)概念的認(rèn)識(shí),提高學(xué)生用數(shù)學(xué)分析問題、解決問題的意識(shí)和能力,從而使學(xué)生學(xué)會(huì)做出決策,提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).
整合2018年全國各地區(qū)中考試卷中與事件的概率相關(guān)的試題,發(fā)現(xiàn)其符合《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》的規(guī)定,主要從五個(gè)點(diǎn)進(jìn)行考查,即會(huì)區(qū)分不同事件發(fā)生的可能性;會(huì)通過直接列舉求不確定事件的概率;會(huì)用列表法、畫樹狀圖法求不確定事件的概率;能用頻率估計(jì)概率;統(tǒng)計(jì)與概率的結(jié)合.試題難度較低,學(xué)生得分率較高.
2018年全國各地區(qū)中考試卷中關(guān)于事件的概率的試題,內(nèi)容突出關(guān)注社會(huì)熱點(diǎn)、彰顯數(shù)學(xué)傳統(tǒng)文化、走進(jìn)學(xué)生身邊、趣味游戲、競技體育知識(shí)、聯(lián)系實(shí)際等.試題有相對(duì)集中的內(nèi)在特點(diǎn).
例1(四川·南充卷)下列說法正確的是( ).
(A)調(diào)查某班學(xué)生的身高情況,適宜采用全面調(diào)查
(B)籃球隊(duì)員在罰球線上投籃兩次都未投中,這是不可能事件
(C)天氣預(yù)報(bào)說明天的降水概率為95%,意味著明天一定下雨
(D)小南拋擲兩次硬幣都是正面向上,說明拋擲硬幣正面向上的概率是1
答案:A.
例2(山東·淄博卷)下列語句描述的事件中,是隨機(jī)事件的為( ).
(A)水能載舟,亦能覆舟
(B)只手遮天,偷天換日
(C)瓜熟蒂落,水到渠成
(D)心想事成,萬事如意
答案:D.
【評(píng)析】以上兩道試題主要對(duì)事件的分類和概率的意義進(jìn)行考查.對(duì)事件的分類需要正確理解隨機(jī)事件、必然事件、不可能事件等相關(guān)概念.概率的意義主要是大量重復(fù)某實(shí)驗(yàn),平均每幾次就有一次事件A發(fā)生,則事件A發(fā)生的概率為幾分之一,概率是事件本身所固有的性質(zhì).在學(xué)習(xí)過程中,概率是一個(gè)與確定數(shù)學(xué)有明顯差異的不好理解的概念.因此,學(xué)習(xí)過程中一定要注意對(duì)概念進(jìn)行有效的思考、討論,千萬不能死記硬背,理解了才能靈活運(yùn)用.
例3(湖北·宜昌卷)在“綠水青山就是金山銀山”這句話中任選一個(gè)漢字,這個(gè)字是“綠”的概率為( ).
答案:B.
例4(山東·聊城卷)某十字路口設(shè)有交通信號(hào)燈,東西向信號(hào)燈的開啟規(guī)律如下:紅燈開啟30秒后關(guān)閉,緊接著黃燈開啟3秒后關(guān)閉,再緊接著綠燈開啟42秒,按此規(guī)律循環(huán)下去.如果不考慮其他因素,當(dāng)一輛汽車沿東西方向隨機(jī)地行駛到該路口時(shí),遇到綠燈的概率是______.
例5(四川·成都卷)漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的“趙爽弦圖”是我國古代數(shù)學(xué)的瑰寶.如圖1所示的弦圖中,四個(gè)直角三角形都是全等的,它們的兩直角邊之比均為2∶3.現(xiàn)隨機(jī)向該圖形內(nèi)擲一枚小針,則針尖落在陰影區(qū)域的概率為____.
圖1
【評(píng)析】以上三道試題分別涉及時(shí)政熱點(diǎn)、身邊安全和傳統(tǒng)文化,讓學(xué)生體會(huì)到簡單隨機(jī)事件就在我們身邊,試題背景非常新穎,貼近學(xué)生生活.不管是傳統(tǒng)的幾種問題情境(如摸球、轉(zhuǎn)盤、擲骰子、拋硬幣),還是生活化背景,都旨在考查學(xué)生對(duì)簡單隨機(jī)事件概率問題本質(zhì)的理解.使學(xué)生樹立模型思想,學(xué)會(huì)用模型去刻畫生活.
例6(浙江·湖州卷)某居委會(huì)組織兩個(gè)檢查組,分別對(duì)“垃圾分類”和“違規(guī)停車”的情況進(jìn)行抽查.各組隨機(jī)抽取轄區(qū)內(nèi)某三個(gè)小區(qū)中的一個(gè)進(jìn)行檢查,則兩個(gè)組合恰好抽到同一個(gè)小區(qū)的概率是( ).
答案:C.
例7(江蘇·連云港卷)湯姆斯杯世界男子羽毛球團(tuán)體賽小組賽比賽規(guī)則:兩隊(duì)之間進(jìn)行五局比賽,其中三局單打,兩局雙打,五局比賽必須全部打完,贏得三局及以上的隊(duì)獲勝.假如甲、乙兩隊(duì)每局獲勝的機(jī)會(huì)相同.
(1)若前四局雙方戰(zhàn)成2∶2,那么甲隊(duì)最終獲勝的概率是_______;
(2)現(xiàn)甲隊(duì)在前兩局比賽中已取得2∶0的領(lǐng)先,那么甲隊(duì)最終獲勝的概率是多少?
例8(山東·青島卷)小明和小亮計(jì)劃暑期結(jié)伴參加志愿者活動(dòng).小明想?yún)⒓泳蠢戏?wù)活動(dòng),小亮想?yún)⒓游拿鞫Y儀宣傳活動(dòng).他們想通過做游戲來決定參加哪個(gè)活動(dòng),于是小明設(shè)計(jì)了一個(gè)游戲,游戲規(guī)則是:在三張完全相同的卡片上分別標(biāo)記4,5,6三個(gè)數(shù)字,一人先從三張卡片中隨機(jī)抽出一張,記下數(shù)字后放回,另一人再從中隨機(jī)抽出一張,記下數(shù)字,若抽出的兩張卡片標(biāo)記的數(shù)字之和為偶數(shù),則按照小明的想法參加敬老服務(wù)活動(dòng),若抽出的兩張卡片標(biāo)記的數(shù)字之和為奇數(shù),則按照小亮的想法參加文明禮儀宣傳活動(dòng).你認(rèn)為這個(gè)游戲公平嗎?試說明理由.
對(duì)于古典概型中的簡單概率問題,不管用哪種方法,都要在等可能性的前提之下.
例9(江蘇·常州卷)中華文化源遠(yuǎn)流長,圖2是中國古代文化符號(hào)的太極圖,圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于圓心中心對(duì)稱.在圓內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),則此點(diǎn)取黑色部分的概率是________.
圖2
例10(湖南·郴州卷)某瓷磚廠在相同條件下抽取部分瓷磚做耐磨實(shí)驗(yàn),結(jié)果如表1所示.
表1
則這個(gè)廠生產(chǎn)的瓷磚是合格品的概率估計(jì)值是____.(精確到0.01.)
答案:0.95.
例11(湖南·永州卷)在一個(gè)不透明的盒子中裝有n個(gè)球,它們除了顏色之外其他都沒有區(qū)別,其中含有3個(gè)紅球,每次摸球前,將盒中所有的球搖勻,然后隨機(jī)摸出1個(gè)球,記下顏色后再放回盒中.通過大量重復(fù)試驗(yàn),發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率穩(wěn)定在0.03,那么可以推算出n的值大約是________.
答案:100.
【評(píng)析】以上三道試題揭示的都是大數(shù)定律,即在大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)的情況下,頻率的穩(wěn)定值即為概率值.這是統(tǒng)計(jì)與概率之間的紐帶.例9是將幾何概型轉(zhuǎn)化為古典概型,由于這是一個(gè)中心對(duì)稱圖形,黑色部分占一半,推得取自黑色區(qū)域的概率值.例10隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增加,頻率會(huì)穩(wěn)定在某一數(shù)值附近,它就是事件發(fā)生的概率.這里還考查了學(xué)生通過圖表獲取信息、分析數(shù)據(jù)的能力.例11還涉及方程思想.對(duì)于這類用頻率估計(jì)概率的問題,不能靠講,教師不妨選取有代表性的、易于操作的問題,拿出時(shí)間讓學(xué)生親自實(shí)驗(yàn),雖然會(huì)花費(fèi)很多時(shí)間,但是學(xué)生在這一過程中體驗(yàn)了頻率與概率的關(guān)系、激發(fā)了學(xué)習(xí)興趣、積累了寶貴的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)、提升了數(shù)學(xué)素養(yǎng),這才是我們真正追求的.
例12(四川·遂寧卷)學(xué)習(xí)習(xí)近平總書記關(guān)于生態(tài)文明建設(shè)重要講話,牢固樹立“綠水青山就是金山銀山”的科學(xué)觀,讓環(huán)保理念深入到學(xué)校.某校張老師為了了解本班學(xué)生3月植樹成活情況,對(duì)本班全體學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查,并將調(diào)查結(jié)果分為三類:A:好;B:中;C:差.
試根據(jù)圖3、圖4中的信息,解答下列問題.
(1)求全班學(xué)生總?cè)藬?shù);
(2)將如圖3所示的條形統(tǒng)計(jì)圖與如圖4所示的扇形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;
圖3
圖4
(3)張老師在班上隨機(jī)抽取了4名學(xué)生,其中A類1人、B類2人、C類1人,若再從這4人中隨機(jī)抽取2人,試用畫樹狀圖或列表法求出全是B類學(xué)生的概率.
答案:(1)40人;
(2)補(bǔ)全圖形分別如如5、圖6所示;
圖5
圖6
【評(píng)析】此題是大中國時(shí)代的背景,意義深遠(yuǎn).對(duì)收集好的數(shù)據(jù)進(jìn)行描述,由部分與整體的關(guān)系可求全班人數(shù).通過兩個(gè)統(tǒng)計(jì)圖的信息互補(bǔ),可以計(jì)算并補(bǔ)全圖形,重在考查學(xué)生的識(shí)圖和繪圖能力,這是考查統(tǒng)計(jì)圖的重要形式.第(3)小題通過列表或畫樹狀圖的方式求出共有12種等可能的結(jié)果,這里要注意可能出現(xiàn)16種結(jié)果的錯(cuò)誤,其實(shí)這是模型中的“不放回”抽取,它和“放回”抽取是有嚴(yán)格區(qū)別的,這里可針對(duì)“放回”“不放回”做針對(duì)性訓(xùn)練,以加深認(rèn)識(shí).
例13(山東·棗莊卷)現(xiàn)今“微信運(yùn)動(dòng)”被越來越多的人關(guān)注和喜愛,某興趣小組隨機(jī)調(diào)查了我市50名教師某日“微信運(yùn)動(dòng)”中的步數(shù)情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)整理,繪制了如表2所示的統(tǒng)計(jì)表和如圖7所示的統(tǒng)計(jì)圖(不完整).
表2
圖7
根據(jù)以上信息,解答下列問題:
(1)寫出a,b,c,d的值,并補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖;
(2)本市約有37 800名教師,用調(diào)查的樣本數(shù)據(jù)估計(jì)日行走步數(shù)超過12 000步(包含12 000步)的教師人數(shù)有多少?
(3)若在50名被調(diào)查的教師中,選取日行走步數(shù)超過16 000步(包含16 000步)的兩名教師與大家分享心得,求被選取的兩名教師恰好都在20 000步(包含20 000步)以上的概率.
答案:(1)a=0.16,b=0.24,c=10,d=2;
(2)11 340;
例14(湖北·宜昌卷)某校創(chuàng)建“環(huán)保示范學(xué)校”,為了解全校學(xué)生參加環(huán)保類社團(tuán)的意愿,在全校隨機(jī)抽取了50名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查.問卷給出了五個(gè)社團(tuán)供學(xué)生選擇(學(xué)生可根據(jù)自己的愛好選擇一個(gè)社團(tuán),也可以不選).對(duì)選擇了社團(tuán)的學(xué)生的問卷情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì).具體情況如表3所示.
表3
(1)填空:在統(tǒng)計(jì)表中,這5個(gè)數(shù)的中位數(shù)是______.
(2)根據(jù)以上信息,補(bǔ)全如圖8所示的扇形圖和如圖9所示的條形圖;
圖8
圖9
(3)該校有1 400名學(xué)生,根據(jù)調(diào)查統(tǒng)計(jì)情況,試估計(jì)全校有多少名學(xué)生愿意參加環(huán)保義工社團(tuán);
(4)若小詩和小雨兩名同學(xué)在酵素制作社團(tuán)或綠植養(yǎng)護(hù)社團(tuán)中任意選擇一個(gè)參加,試用樹狀圖或列表法求出這兩名同學(xué)同時(shí)選擇綠植養(yǎng)護(hù)社團(tuán)的概率.
答案:(1)10;
(2)補(bǔ)全圖形分別如圖10、圖11所示;
圖10
圖11
(3)280名;
【評(píng)析】此題潛移默化地樹立了學(xué)生的團(tuán)隊(duì)意識(shí)、提升了學(xué)生的環(huán)保意識(shí),綜合考查了中位數(shù)、扇形圖、條形圖、樣本與總體和概率計(jì)算等知識(shí)點(diǎn).要確定中位數(shù),需要先排序;根據(jù)扇形圖各百分比之和等于100%,可知“沒選擇”的占10%;根據(jù)部分與整體的關(guān)系,可求“沒選擇”的有5人;由于是隨機(jī)抽取,所以樣本具有代表性,由此可以估計(jì)全校愿意參加環(huán)保義工社團(tuán)的學(xué)生;最后是概率問題,這里和前兩道例題不同,它相當(dāng)于是“可放回”模型,學(xué)習(xí)過程中一定注意準(zhǔn)確把握概念,精準(zhǔn)計(jì)算.
例15(浙江·嘉興卷)小明和小紅玩拋硬幣游戲,連續(xù)拋兩次,小明說:“如果兩次都是正面,那么你贏;如果兩次是一正一反,則我嬴.”小紅贏的概率是__________,據(jù)此判斷該游戲_____.(填“公平”或“不公平”)
解:所有可能出現(xiàn)的結(jié)果如表4所示.
表4
因?yàn)閽亙擅队矌?,所有機(jī)會(huì)均等的結(jié)果為(正,正),(正,反),(反,正),(反,反),
因?yàn)槎吒怕什坏?,所以游戲不公?
【評(píng)析】這里一定注意是四種等可能結(jié)果,對(duì)于古典概型的問題,都是以等可能性為前提的.這里類似的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)要舍得花時(shí)間讓學(xué)生去做.
例16(廣西·玉林卷)2018年5月13日是“母親節(jié)”,某校開展“感恩母親,做點(diǎn)家務(wù)”活動(dòng).為了了解同學(xué)們在母親節(jié)這一天做家務(wù)的情況,學(xué)校隨機(jī)抽查了部分同學(xué),并用得到的數(shù)據(jù)制成如表5所示的不完整的統(tǒng)計(jì)表.
表5
(1)統(tǒng)計(jì)表中的x的值為______,y的值為______;
(2)小君計(jì)算被抽查同學(xué)做家務(wù)時(shí)間的平均數(shù)是這樣的:
第二步:該問題中n=4,x1=0.5,x2=1,x3=1.5,x4=2,
小君計(jì)算的過程正確嗎?如果不正確,試計(jì)算出正確的做家務(wù)時(shí)間的平均數(shù);
(3)現(xiàn)從C,D兩組中任選2人,求這2人都在D組中的概率(用樹狀圖法或列表法).
解:(1)抽查的總?cè)藬?shù)為15÷30%=50(人),
x=50×4%=2(人),
y=50×100%=50(人).
(2)小君的計(jì)算過程不正確.
被抽查同學(xué)做家務(wù)時(shí)間的平均數(shù)為(15×0.5+30×1+2×1.5+3×2 )÷50=0.93(時(shí)).
故被抽查同學(xué)做家務(wù)時(shí)間的平均數(shù)為0.93小時(shí).
(3)C組有兩人,不妨設(shè)為甲、乙,D組有三人,不妨設(shè)為A,B,C,列出樹形圖如圖12所示.
圖12
共有20種情況,其中2人都在D組的按情況有AB,AC,BA,BC,CA,CB,共6種,
【評(píng)析】這里考查了統(tǒng)計(jì)中的數(shù)據(jù)的整理和加權(quán)平均數(shù),正確理解題意是解題的關(guān)鍵.統(tǒng)計(jì)與概率密不可分,其作為初中數(shù)學(xué)的四大領(lǐng)域之一,在未來的社會(huì)發(fā)展進(jìn)程中,必將起到不可估量的作用.
綜合前面的分析可知,概率是日常生活中的常見現(xiàn)象,但它又是一個(gè)與確定數(shù)學(xué)有明顯差異的、較難理解的概念.因此,在日常學(xué)習(xí)過程中,要給予學(xué)生充分的時(shí)間進(jìn)行有效的思考、討論,使其理解其中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想,用思想指導(dǎo)行動(dòng),即會(huì)用概率的觀點(diǎn)、隨機(jī)觀念來觀察、分析世界.