論積分學一題多解的策略

【摘 要】數(shù)學中的一題多解對訓練人的開闊性視野、開發(fā)智力、啟迪思維都大有裨益。高等數(shù)學是大學生的必修知識，已經(jīng)成為高校學生通識教育的組成部分。本文探析高等數(shù)學積分中的一題多解方法，通過多解演算，可加深對積分問題的理解，培養(yǎng)初學者的學習興趣，逐步掌握常用解題方法及基本解題規(guī)律，不斷提高分析問題和解決問題的能力，培養(yǎng)舉一反三、觸類旁通的解題本領。

【關鍵詞】高等數(shù)學；積分學；一題多解；方法

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A

【文章編號】2095-3089（2019）13-0029-02

一、一題多解的內(nèi)涵

數(shù)學是現(xiàn)代科學技術的語言和工具。一個學生的數(shù)學素質(zhì)是他文化素質(zhì)中的核心部分，居于學生認知結(jié)構(gòu)的頂端，是學生智力因素的基礎。怎樣才能更快更好的學習數(shù)學？首先要深入理解、牢固掌握、靈活運用數(shù)學概念、公式、法則、定理、性質(zhì)；其次要熟練掌握各種數(shù)學方法和解題技能、技巧；最后要溝通數(shù)學知識點之間和方法之間的聯(lián)系。要做到以上三點，最有效的方法就是培養(yǎng)一題多解能力。

二、積分一題多解的思路

高等數(shù)學積分運算中對變量的處理方法，更能培養(yǎng)出一題多解對大學生啟迪思維的靈敏度（快），清晰度（準），廣泛度（活）。通過多種解題方式的變化，引導學生突破固有的思維定式和解題思路，不是單一追求解出答案即可，而是盡可能去尋找不同的解題方法，掌握多個思維模式，積累總結(jié)解題經(jīng)驗，達到殊途同歸的效果，這才是一題多解對學生應該起到的啟智效果。積分與導數(shù)、微分密切相關，一方面，積分就是微分的逆運算，另一方面，積分也是一種極限，它同導數(shù)有著緊密的聯(lián)系?？傊?，積分是高等數(shù)學中最重要、最基本的運算形式。

下面部分筆者從積分學中選取典型的一題多解的案例，體現(xiàn)其中的內(nèi)涵，在解題過程中，凡出現(xiàn)的函數(shù)（無論是被積函數(shù)還是原函數(shù)），均認為是在有意義的定義域內(nèi)進行的。在一般情況下，函數(shù)定義域是容易被確定的，因此題解中，就不再予以一一指明。

三、積分的一題多解案例分析

例1 求不定積分∫a2-x2dx（a>0）；

解2 當0≤x≤1時，有xn-1≥xn，所以xn-11-x2≥xn1-x2，由積分的保號性，可得，所以數(shù)列{an}單調(diào)遞減，因為需

要得到遞推關系，并且是與n相關的積分，因此對積分考慮分部積分法，于是有

（2）由（1）可知an≤an-1 ，從而anan-1≤1并且anan-2=n-1n+2≤an-1an-2 由此可得limn→∞n-1n+2=1≤limn→∞an-1an-2=limn→∞anan-1≤1

所以由迫斂性可得limn→∞anan-1=1.

例4 求不定積分；

說明：以上各種解法的結(jié)果形式上并不完全相同，其實它們僅相差一個常數(shù)，這是由于積分時所用的求解方法不同，就可以得到不同形式的積分函數(shù).上面幾種解法說明，對于無理函數(shù)的求原函數(shù)問題，可以通過各種不同的變量代換求得.

積分學的第二個基本概念，就是定積分概念。它和一些重要概念一樣，也是從人的實際需要而產(chǎn)生的；反過來，它是解決許多實際問題最有力的工具。

例5 求半徑為的圓面積；

解法1 如圖2所示，將圓心選為坐標原點，則圓的直角坐標為x2+y2=R2，圓在第一象限的部分是由y=R2-x2及x=0，x=R和x軸所成的曲邊梯形，

其面積為∫R0R2-x2dx又由圓的對稱性，知圓的面積為S=4∫R0R2-x2dx，現(xiàn)在求圓的面積S.令x=Rsint，則dx=Rcostdt.且當x=0時，t=0；當x=R時，t=π2 于是

解法2圓的參數(shù)方程為于是由參數(shù)方程求曲邊梯形的面積公式得

解法3（應用極坐標求解）

選取坐標原點0為極點，x軸為極軸，則圓的極坐標方程為

r=r（θ）=R（0≤θ≤2π）由求曲邊扇形面積公式

得

解法4（應用平面面積作為曲線積分方法）

由公式得

通過以上高等數(shù)學積分中的典型一題多解實例，可以看出求積分的基本方法主要有：基本積分表法；分項積分法；湊微分法；換元積分法；分部積分法；萬能代換法；某積分的遞推公式法；歐拉公式法；歐拉代換法等，對具體題目不能局限于一個方法或一個公式，應該廣開思路，靈活運用不同的知識點，技巧以及方法和公式，通過縱橫發(fā)散、知識串聯(lián)、綜合溝通，達到舉一反三、融會貫通，這樣才能得心應手地分析和解決一題多解的問題。

參考文獻

[1]裴禮文.數(shù)學分析中的典型問題與方法[M].北京：高等教育出版社，1993.

[2]華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析[M].北京：高等教育出版社，1999.

[3]同濟大學應用數(shù)學系.高等數(shù)學[M].北京：高等教育出版社，2002.

作者簡介：王正光，副教授，工學碩士，云南財經(jīng)職業(yè)學院基礎部教師。