映射概念的教學(xué)研究

優(yōu)麗吐孜·阿力木 阿力木·阿不力克木

【摘 要】集合論是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，集合概念是很抽象的，映射概念是研究集合的有力工具和重要的方法。本文用較通俗的方法介紹了映射﹑滿射﹑單射﹑恒等映射、常值映射、一一映射﹑復(fù)合映射﹑逆映射等概念，給中學(xué)數(shù)學(xué)師生提供參考。

【關(guān)鍵詞】映射；滿射與單身；一一映射；恒等映射與常值映射；復(fù)合映射與逆映射

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】1671-8437（2019）10-0178-02

在我國(guó)高中數(shù)學(xué)教科書中關(guān)于映射的概念介紹的很少。下面將用較通俗的方法介紹映射﹑滿射﹑單身﹑恒等映射、常值映射、一一映射﹑復(fù)合映射﹑逆映射等概念，給中學(xué)數(shù)學(xué)師生提供參考。

1 映射的概念

定義1 設(shè)A﹑B是兩個(gè)集合，若存在某種對(duì)應(yīng)法則，使得A中的每一個(gè)元素，都與集合B中的唯一的元素b相對(duì)應(yīng)，則叫做從集合A到集合B的映射[1]。記作：A→B（或AB）。若集合A的元素，在下映射到集合B的元素b，b就叫做在映射下的象。記作。而把集合A中所有以b為象的元素構(gòu)成的集合{|，}，叫做元素b的原象。記作，即={|，}，顯然它是集合A的子集。

集合A叫做映射的定義域，集合A的所有元素的象構(gòu)成的集合，叫做映射的值域。記作，即=。

由映射定義，可理解為下述三點(diǎn)。

（1）集合A中每一個(gè)元素必有唯一的象；

（2）對(duì)于集合A中的不同元素，在集合B中可以有相同的象；

（3）允許集合B中元素沒有原象。

2 恒等映射與映射相等

2.1 恒等映射

定義2 設(shè)：A→B是映射，當(dāng)B=A時(shí)，則叫做從A到A的映射，即是由A到其自身的映射，可簡(jiǎn)稱映射是集合A上的映射[2]。記作：A→A。

例1 設(shè)A={1，2，3}，是A上的整除關(guān)系，即={（1，1），（2，2），（3，3）}，（1整除1，2整除2，3整除3），則是集合A上的映射，如圖1。

定義3 設(shè)是集合A上的映射，當(dāng)時(shí)，則稱為集合A上的恒等（同）映射，即恒等映射對(duì)每個(gè)元素來(lái)說(shuō)其象均與原象相同。

2.2 映射相等

定義4 設(shè)與是集合A到集合B的映射，兩個(gè)映射與被稱為相等的，就是映射與的定義域相等，是指對(duì)于A中的任一個(gè)元素，其對(duì)應(yīng)的象均相等，

即：

3 滿射與單射

3.1 滿射

定義5 設(shè)：A→B是集合A到集合B的射射，若成立，則稱為集合A到集合B的滿（全）

射[3]。即集合B中的每一個(gè)元素都至少是集合A中的某一元素的象。

例2 判斷下列兩個(gè)映射是否滿射？

答：圖2是滿射，圖3不是滿射。

3.2 單射

定義6 設(shè)：A→B是集合A到集合B的映射，對(duì)于集合A中任意兩個(gè)元素，當(dāng)時(shí)，都有，則稱為集合A到集合B的單射（單一映射）。即集合A中的不同元素在集合B中的象也

不同。

4 一一映射（雙射）與常值映射

4.1 一一映射（雙射）

定義7 設(shè)A﹑B是集合，：A→B是集合A到集合B的映射，如果既是單射又是滿射，則稱為集合A到集合B的一一映射（或稱雙射）。

一一映射必須滿足如下三個(gè)條件：

（1）集合A中的每一個(gè)元素，都能在集合B中找到一個(gè)確定的元素b，作為它的象。即象是唯一的。

（2）集合A中不同的元素，在集合B中有不同的象，也就是若，則必有。即集合B中的每一個(gè)元素的原象也是唯一的。

（3）集合B中任意一個(gè)元素b，都在集合A中有原象，即原象必須是存在。

小結(jié)：映射、單射、滿射、一一映射四者的從屬關(guān)系。如果把它們分別看作集合，那么四者的從屬關(guān)系：

4.2 常值映射

定義8 設(shè)A﹑B是集合，：A→B是集合A到集合B的映射。若對(duì)于一切，都有，而是B中的一個(gè)固定的元素，即單元素集），則稱映射為常值映射。如設(shè)，，作映射

則映射是一個(gè)常值映射。因?yàn)閷?duì)于一切，都有。

5 復(fù)合映射與逆映射

5.1 復(fù)合映射

定義9 設(shè)A、B、C是集合，：A→B是集合A到集合B的映射，：B→C是集合B到集合C的映射。對(duì)于A中的任何一個(gè)元素，在映射下，在B中有一個(gè)元素與對(duì)應(yīng)，即→；在映射下，在C中有一個(gè)元素與b對(duì)應(yīng)，即→，從而對(duì)A中的每一個(gè)元素，在C中有與相對(duì)應(yīng)，即，這樣就得到了一個(gè)從集合A到集合C的映射，稱映射為映射與映射的復(fù)合映射（或映射是映射與映射的積）。記作

或

5.2 逆映射

定義10 設(shè)A、B是集合，：A→B是集合A到集合B的一一映射，對(duì)于每一個(gè)，有唯一的，使得。我們規(guī)定為B到A上的映射：，則稱為映射的逆映射。

定理11 設(shè)A、B是集合，：A→B是集合A到集合B的一一映射，則映射的逆映射是B→A上的一一映射。

【參考文獻(xiàn)】

[1]韓殿發(fā).集合[M]，哈爾濱：黑龍江科學(xué)技術(shù)出版社，1984.

[2]李大友.離散數(shù)學(xué)[M]，北京：清華大學(xué)出版社，2001.

[3]中華人民共和國(guó)教育部制定.北京：普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[M]，人民教育出版社，2018.

【作者簡(jiǎn)介】

優(yōu)麗吐孜·阿力木（1991～），女，維吾爾族，西南大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院數(shù)學(xué)教育專業(yè)碩士研究生，導(dǎo)師為宋乃慶教授，主要從事數(shù)學(xué)教育研究。