小學(xué)數(shù)學(xué)核心內(nèi)容群：本質(zhì)解析與教學(xué)設(shè)計(jì)

武麗莎

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小學(xué)數(shù)學(xué)核心內(nèi)容群：本質(zhì)解析與教學(xué)設(shè)計(jì)

武麗莎

（唐山師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系，河北 唐山 063000）

小數(shù)數(shù)學(xué)核心內(nèi)容群，即在小學(xué)數(shù)學(xué)的三個(gè)學(xué)習(xí)領(lǐng)域（數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計(jì)與概率）內(nèi)，能夠聯(lián)結(jié)相應(yīng)領(lǐng)域中不同學(xué)段的小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容并為其提供持續(xù)性支持、具有奠基作用的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)和數(shù)學(xué)思想方法。小數(shù)數(shù)學(xué)核心內(nèi)容群具有聯(lián)結(jié)性特征、持續(xù)性特征、奠基性特征、思想性特征，從數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展以及數(shù)學(xué)本質(zhì)的角度解析核心內(nèi)容群有助于小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)策略的設(shè)計(jì)與教學(xué)資源的開(kāi)發(fā)。

小學(xué)數(shù)學(xué)核心內(nèi)容群；本質(zhì)解析；教學(xué)設(shè)計(jì)

1 小學(xué)數(shù)學(xué)核心內(nèi)容群的內(nèi)涵

1.1 何為“核心”

《現(xiàn)代漢語(yǔ)詞典》對(duì)“核心”一詞的解釋為中心，即主要部分[1]。所謂“核心”，是指在一定的領(lǐng)域或體系中，對(duì)事物或事情的存在提供支持和持續(xù)作用、某類領(lǐng)域或體系中不可或缺的部分，既可以是現(xiàn)實(shí)世界的存在物，也可以是精神世界的存在物。從范圍層面來(lái)看，“核心”一定是針對(duì)某個(gè)領(lǐng)域或者體系而言，以孤立形態(tài)存在的對(duì)象沒(méi)有“核心”；從時(shí)間層面來(lái)看，“核心”對(duì)事物或事情存在的支持具有持續(xù)性，其支持作用不會(huì)消失；從功能層面來(lái)看，“核心”是不可或缺的，是一個(gè)領(lǐng)域或體系存在的前提，具有一定的奠基作用。

1.2 何為小學(xué)數(shù)學(xué)核心內(nèi)容群

數(shù)學(xué)內(nèi)容是數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)思想兩條主線的集中體現(xiàn)[2]，缺少數(shù)學(xué)知識(shí)的數(shù)學(xué)內(nèi)容沒(méi)有價(jià)值，缺少數(shù)學(xué)思想的數(shù)學(xué)內(nèi)容沒(méi)有靈魂，數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生發(fā)展的過(guò)程就是數(shù)學(xué)思想形成凸顯的過(guò)程。小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容作為數(shù)學(xué)內(nèi)容的下位概念，一方面應(yīng)該具備數(shù)學(xué)內(nèi)容的共同屬性，另一方面又具有反映自身的特殊性?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱《課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》）指出：“在數(shù)學(xué)課程中，應(yīng)注重發(fā)展學(xué)生的數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力和模型思想。為了適應(yīng)時(shí)代發(fā)展對(duì)人才培養(yǎng)的需要，數(shù)學(xué)課程還要特別注重發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)?！盵3]

基于“核心”和小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容兩方面因素，我們提出小學(xué)數(shù)學(xué)核心內(nèi)容群的概念，它是包括知識(shí)點(diǎn)、綜合數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)和思想方法的內(nèi)容體系，具有基礎(chǔ)性、聯(lián)結(jié)性、持續(xù)性、思想性等特征。所謂小數(shù)數(shù)學(xué)核心內(nèi)容群，即在小學(xué)數(shù)學(xué)的三個(gè)學(xué)習(xí)領(lǐng)域（數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計(jì)與概率）內(nèi)，能夠聯(lián)結(jié)相應(yīng)領(lǐng)域中不同學(xué)段的小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容并為其提供持續(xù)性支持具有奠基作用的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)及其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法。

2 小數(shù)數(shù)學(xué)核心內(nèi)容群的數(shù)學(xué)本質(zhì)解析

2.1 小學(xué)數(shù)學(xué)“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域核心內(nèi)容群

2.1.1 數(shù)與數(shù)量

人類很早便具有區(qū)分?jǐn)?shù)量的能力，數(shù)的形成依賴于對(duì)現(xiàn)實(shí)世界中數(shù)量本質(zhì)的抽象，但是從這種對(duì)數(shù)量的感性認(rèn)知抽象到對(duì)數(shù)的理性認(rèn)知卻是緩慢漸進(jìn)的，這種理性認(rèn)知的對(duì)象便是某種群組所共有的屬性（數(shù)）[4]?！皵?shù)概念的形成可能與火的使用一樣古老，大約是在30萬(wàn)年以前，它對(duì)人類文明的意義也決不亞于火的使用?！盵5]而記數(shù)是伴隨著計(jì)數(shù)的發(fā)展而發(fā)展的，十進(jìn)制記數(shù)系統(tǒng)經(jīng)歷了計(jì)數(shù)、符號(hào)兩個(gè)層次的抽象過(guò)程[6]。

圖1 核心內(nèi)容群：數(shù)與數(shù)量網(wǎng)絡(luò)圖

小學(xué)階段“數(shù)與數(shù)量”的內(nèi)容也是由現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量到數(shù)學(xué)世界數(shù)的抽象，可以從三個(gè)角度來(lái)理解：第一，數(shù)位與計(jì)數(shù)法；第二，數(shù)域的擴(kuò)充；第三，數(shù)的特征分類。如圖1所示，小學(xué)數(shù)學(xué)第一學(xué)段和第二學(xué)段分別接觸萬(wàn)以內(nèi)的數(shù)和萬(wàn)以上的數(shù)，自然數(shù)表示實(shí)現(xiàn)由小到大的關(guān)鍵在于數(shù)位與計(jì)數(shù)法的使用。數(shù)位是指在一個(gè)數(shù)中每個(gè)數(shù)字符號(hào)所占的位置，一個(gè)數(shù)字符號(hào)不僅代表自身的數(shù)值，還隱含著它所在的數(shù)位，即使是同一個(gè)數(shù)字符號(hào)，由于所在數(shù)位不同，計(jì)數(shù)單位不同，所表達(dá)的含義也就不同。在眾多計(jì)數(shù)法中，我國(guó)的十進(jìn)位制（滿十進(jìn)一，四位一級(jí)）記數(shù)體系成為普遍采用的方法。馬克思認(rèn)為：“中國(guó)的十進(jìn)位制是最美妙的發(fā)明之一。”[7]也正是因?yàn)閿?shù)位與十進(jìn)制，我們才能夠利用“0～9”十個(gè)數(shù)字符號(hào)表示出所有的自然數(shù)。在我國(guó)，除了利用數(shù)位記數(shù)法來(lái)表示自然數(shù)，還有一種科學(xué)記數(shù)法。在科學(xué)記數(shù)法中，如果采用十進(jìn)制記數(shù)，那么我們稱“10”為基底，一般來(lái)說(shuō)，是幾進(jìn)制，基底就是幾。有了基底，任意一個(gè)自然數(shù)都可以表示成基底的線性組合的形式，例如

9 527(10)=9×103+5×102+2×101+7×100”。兩種記數(shù)法雖然表現(xiàn)形式不同，但在本質(zhì)上是一致的，基底的冪是數(shù)位與進(jìn)位制的合二為一。

數(shù)域擴(kuò)充的根本原因在于運(yùn)算，當(dāng)一個(gè)數(shù)域?qū)δ撤N運(yùn)算不再保持封閉性時(shí)，便會(huì)有新的數(shù)產(chǎn)生，從而再次保證運(yùn)算的封閉性，實(shí)現(xiàn)數(shù)域的擴(kuò)充。在小學(xué)階段涉及兩次數(shù)的擴(kuò)充，第一次是在小學(xué)第一學(xué)段——分?jǐn)?shù)的出現(xiàn)，這是因?yàn)樽匀粩?shù)對(duì)于除法運(yùn)算不再保持封閉，例如“2÷3”的結(jié)果不是自然數(shù)，從而需要引入分?jǐn)?shù)；第二次是在小學(xué)第二學(xué)段——負(fù)數(shù)的出現(xiàn)，這是因?yàn)檎麛?shù)對(duì)減法運(yùn)算不再保持封閉，例如“2-3”的結(jié)果不是正整數(shù)，從而需要引入負(fù)數(shù)。分?jǐn)?shù)的現(xiàn)實(shí)意義有兩個(gè)，第一個(gè)意義是整體與等分，通過(guò)等分形成分?jǐn)?shù)單位，這是非常重要的概念，無(wú)論是在分?jǐn)?shù)的運(yùn)算，還是分?jǐn)?shù)的大小比較，都是以分?jǐn)?shù)單位作為基礎(chǔ)；第二個(gè)意義是整數(shù)的比例關(guān)系，體現(xiàn)了除法運(yùn)算結(jié)果，這里需要注意的是分?jǐn)?shù)是除法運(yùn)算的結(jié)果（數(shù)），而不是除法運(yùn)算本身[6,p13-15]。小數(shù)作為分?jǐn)?shù)另外一種表示形式，它的出現(xiàn)比微積分還要晚100多年。如上所述，我們利用科學(xué)記數(shù)法可以得到

9 527=9×103+5×102+2×101+7×100”，

而對(duì)于9.527依然可以寫成基底10的線性組合形式，即

9.527=9×101+5×10-1+2×10-2+7×10-3”，

與整數(shù)不同的是，這里用10的負(fù)整數(shù)冪表示，所以小數(shù)使分?jǐn)?shù)與整數(shù)在表征形式上得到了統(tǒng)一。除此以外，小數(shù)另一個(gè)重要的價(jià)值在于對(duì)無(wú)理數(shù)和有理數(shù)的描述。所謂無(wú)理數(shù)是指無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，而有理數(shù)是指有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)。負(fù)數(shù)的引入并非一帆風(fēng)順，起初人們?cè)诮夥匠虝r(shí)以否認(rèn)回避的態(tài)度對(duì)待負(fù)根。古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖（Diophantus）曾將負(fù)數(shù)解視為“荒唐的東西”加以舍棄；我國(guó)唐代數(shù)學(xué)家王孝通的《緝古算經(jīng)》對(duì)負(fù)根也只字不提；然而，負(fù)數(shù)作為正數(shù)的補(bǔ)充，來(lái)源于社會(huì)實(shí)踐，并在實(shí)踐的推動(dòng)之下逐漸被世人公認(rèn)。

我們根據(jù)自然數(shù)特征，按照不同的標(biāo)準(zhǔn)將其分類。以能否被2整除為標(biāo)準(zhǔn)分為奇數(shù)和偶數(shù)，所有的奇數(shù)用2+1（∈Z）表示，所有的偶數(shù)用2（∈Z），這對(duì)后期數(shù)列的學(xué)習(xí)有著重要作用；以因數(shù)是否只有1和自身為標(biāo)準(zhǔn)分為質(zhì)數(shù)（素?cái)?shù)）和合數(shù)。素?cái)?shù)是數(shù)論的主要研究對(duì)象，在數(shù)論中，與素?cái)?shù)相關(guān)的定理很多，例如歐拉函數(shù)、高斯的二次互反律、歌德巴赫猜想等等，素?cái)?shù)為數(shù)論的發(fā)展提供了素材；而對(duì)于因數(shù)和倍數(shù)，在小學(xué)階段，公因數(shù)為分?jǐn)?shù)約分奠定基礎(chǔ)，公倍數(shù)為分?jǐn)?shù)通分奠定基礎(chǔ)。

2.1.2 運(yùn)算

運(yùn)算在小學(xué)數(shù)學(xué)中開(kāi)始最早，時(shí)間跨度最長(zhǎng)，運(yùn)算內(nèi)容采用螺旋式組織方式，如圖2所示。從數(shù)學(xué)發(fā)展的邏輯體系來(lái)看，加法運(yùn)算是四則運(yùn)算的基礎(chǔ)，可以將減法運(yùn)算視為加法運(yùn)算的逆運(yùn)算，將乘法運(yùn)算視為特殊的加法運(yùn)算，而將除法運(yùn)算視為乘法運(yùn)算的逆運(yùn)算。運(yùn)算包含兩個(gè)層面：第一，是對(duì)數(shù)字符號(hào)（常量）的四則運(yùn)算；第二，是對(duì)字母符號(hào)（變量）的四則運(yùn)算。在數(shù)學(xué)發(fā)展史上，數(shù)字運(yùn)算施行于具體的數(shù)，而字母運(yùn)算施行于事物的形式[5,p129]。從數(shù)字進(jìn)行具體的演算到利用符號(hào)進(jìn)行抽象的形式演算，人類經(jīng)歷了漫長(zhǎng)的歲月，但無(wú)論是數(shù)字運(yùn)算，還是字母運(yùn)算，其本質(zhì)在于算理的把握，例如在加法運(yùn)算中，加一個(gè)正數(shù)所得結(jié)果一定比原來(lái)的數(shù)大。

圖2 核心內(nèi)容群：運(yùn)算網(wǎng)絡(luò)圖

小學(xué)階段的估算不需要精確計(jì)算來(lái)解決問(wèn)題，其本質(zhì)在于獲得一定誤差允許范圍內(nèi)運(yùn)算結(jié)果的上界或下界，是心算、數(shù)感、算術(shù)技巧之間相互作用的過(guò)程。小學(xué)的兩個(gè)學(xué)段都涉及到估算，但是側(cè)重點(diǎn)有所不同：第一學(xué)段的估算主要側(cè)重在實(shí)際情境中合理估算測(cè)量單位，例如，估計(jì)書本長(zhǎng)度時(shí)一般采用厘米作為單位；第二學(xué)段的估算主要側(cè)重利用合理的估算解決問(wèn)題，例如9.9×5.9與50的大小關(guān)系。

2.1.3 式與方程

由“數(shù)”到“式”是學(xué)生對(duì)數(shù)的符號(hào)化表征進(jìn)一步抽象的過(guò)程，“式”不是確定性的數(shù)，是可以取得不同數(shù)值的符號(hào)，而字母表示數(shù)的出現(xiàn)，意味著代數(shù)學(xué)的開(kāi)始，第一個(gè)有意識(shí)地使用字母進(jìn)行抽象運(yùn)算的是法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)[6,p32-33]。對(duì)韋達(dá)字母符號(hào)的改善工作由笛卡爾完成，他首先用拉丁文字母的前幾個(gè)（，，，，……）表示已知量，后幾個(gè)（，，，，……）表示未知量，形成今天的習(xí)慣[5,p129]。從理論上講，代數(shù)是字母的算術(shù)，代數(shù)思維的本質(zhì)是關(guān)系思維，其目的是發(fā)現(xiàn)具有一般化的關(guān)系、普遍化的結(jié)構(gòu)[8]，例如用符號(hào)表示運(yùn)算律、計(jì)算公式，都是將數(shù)的知識(shí)提升到一般化的水平。自此數(shù)學(xué)開(kāi)始進(jìn)入變量數(shù)學(xué)的時(shí)代，從常量到變量的過(guò)渡，是數(shù)到符號(hào)的轉(zhuǎn)變，是具體思維到抽象思維的飛躍。變量是從數(shù)量關(guān)系上反映客觀事物的運(yùn)動(dòng)和變化，變量的出現(xiàn)為方程、函數(shù)等重要概念登上數(shù)學(xué)的舞臺(tái)奠定了重要的基礎(chǔ)，對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的影響是巨大的。

方程是從現(xiàn)實(shí)世界到數(shù)學(xué)世界的一個(gè)提煉過(guò)程，實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)從數(shù)量關(guān)系到等量關(guān)系的轉(zhuǎn)變，其本質(zhì)在于利用數(shù)學(xué)的符號(hào)表達(dá)等價(jià)關(guān)系，方程思想集中體現(xiàn)在建模與化歸兩個(gè)方面[9]。因此方程的結(jié)構(gòu)包含了等量關(guān)系、代數(shù)式的運(yùn)算結(jié)構(gòu)以及等式變形的結(jié)構(gòu)，這里所說(shuō)的結(jié)構(gòu)是指“從語(yǔ)言表達(dá)抽象出來(lái)的一種形式”[10]。而小學(xué)第二學(xué)段出現(xiàn)的簡(jiǎn)易方程作為刻畫現(xiàn)實(shí)情境中等量關(guān)系的工具，其價(jià)值在于提供用代數(shù)方法解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的途徑，而代數(shù)方法的出發(fā)點(diǎn)就是建立模型，進(jìn)而促使學(xué)生形成從現(xiàn)實(shí)世界抽象到數(shù)學(xué)符號(hào)的建模過(guò)程，為以后方程與方程組的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。方程建模說(shuō)明了數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活密不可分的關(guān)系，而方程的求解是利用四則運(yùn)算的算術(shù)思路來(lái)計(jì)算未知數(shù)。

2.2 小學(xué)數(shù)學(xué)“圖形與幾何”領(lǐng)域核心內(nèi)容群

《課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：“空間觀念主要是指根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實(shí)際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系；描述圖形的運(yùn)動(dòng)和變化；依據(jù)語(yǔ)言描述畫出的圖形等。”[3,p6]基于此我們將小學(xué)數(shù)學(xué)“圖形與幾何”的核心內(nèi)容群定為圖形的空間描述和圖形的度量。

2.2.1 圖形的空間描述

圖形的空間描述是以空間視覺(jué)為基礎(chǔ)，形成空間物體在形狀、變換、位置關(guān)系等特征的屬性表象[11]，包括圖形的認(rèn)識(shí)、圖形的運(yùn)動(dòng)、圖形的位置三部分，位于小學(xué)數(shù)學(xué)的第一學(xué)段和第二學(xué)段，如圖3所示。圖形的認(rèn)識(shí)依賴于人們對(duì)現(xiàn)實(shí)世界中物體外部輪廓特征的抽象，從而實(shí)現(xiàn)三維空間的物體到二維平面圖形的轉(zhuǎn)化[12]。圖形的運(yùn)動(dòng)和圖形的位置是圖形量化研究的兩個(gè)重要領(lǐng)域，其關(guān)鍵在于參照系，因此它們實(shí)現(xiàn)的前提是笛卡爾與費(fèi)馬將數(shù)與圖形的有機(jī)結(jié)合，創(chuàng)立坐標(biāo)系和解析幾何學(xué)[12,p119]。

圖3 核心內(nèi)容群：圖形的空間描述網(wǎng)絡(luò)圖

在小學(xué)階段，兒童對(duì)圖形的認(rèn)識(shí)基于日常生活中積累的關(guān)于圖形的生活經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)觀察、想象認(rèn)識(shí)常見(jiàn)的立體圖形與平面圖形。而認(rèn)識(shí)圖形的關(guān)鍵在于圖形的分類，在分類時(shí)不僅要關(guān)注圖形之間的共性，還要關(guān)注圖形之間的差異，例如長(zhǎng)方體與圓柱雖然都屬于空間幾何體（共性），但是長(zhǎng)方體是多面體而圓柱是旋轉(zhuǎn)體（差異）。分類的關(guān)鍵在于制定標(biāo)準(zhǔn)，遵循某一標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類的過(guò)程也是培養(yǎng)學(xué)生抽象能力的過(guò)程[13]。

圖形的位置出現(xiàn)在兩個(gè)學(xué)段，第一學(xué)段，描述物體所在方向，其本質(zhì)是方位角的滲透。在第二學(xué)段，主要包含兩部分內(nèi)容：（1）利用數(shù)對(duì)描述方格紙上點(diǎn)的位置，其本質(zhì)是直角坐標(biāo)系下的數(shù)對(duì)與點(diǎn)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系；（2）利用方向和距離確定事物的位置，其本質(zhì)是極坐標(biāo)下的數(shù)對(duì)與點(diǎn)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。小學(xué)階段關(guān)于圖形運(yùn)動(dòng)的基本形式有兩種：一是圖形的形狀和大小不變，位置發(fā)生變化的剛體運(yùn)動(dòng)，例如圖形的平移變換、旋轉(zhuǎn)變換、反射變換；二是圖形的形狀不變，大小發(fā)生變化的相似運(yùn)動(dòng)，例如放縮變換。我們可以利用圖形的運(yùn)動(dòng)來(lái)描述一些圖形的相關(guān)概念，例如利用平移變換描述平行線，即通過(guò)平移得到的直線與原直線平行；利用旋轉(zhuǎn)變換描述圖形的中心對(duì)稱；利用反射變換描述軸對(duì)稱以及利用放縮變換描述圖形的相似。

2.2.2 圖形的度量

小學(xué)階段圖形的度量可以分為平面圖形的度量和立體圖形的度量，如圖4所示。

圖4 核心內(nèi)容群：圖形度量網(wǎng)絡(luò)圖

平面圖形可以從長(zhǎng)度（一維）、面積（二維）兩個(gè)角度來(lái)度量，而立體圖形可以從體積（三維）角度來(lái)度量。度量的本質(zhì)就是圖形所包含的度量單位的多少，因此度量的條件是度量單位，度量的要求是單位的統(tǒng)一，所以在小學(xué)數(shù)學(xué)的第一學(xué)段涉及了國(guó)際通用長(zhǎng)度單位、面積單位的認(rèn)識(shí)，第二學(xué)段涉及體積單位的認(rèn)識(shí)，為圖形的度量提供基礎(chǔ)條件。除此之外，第一、二學(xué)段都涉及了估測(cè)，第一學(xué)段要求“估測(cè)一些物體的長(zhǎng)度、給定的簡(jiǎn)單圖形的面積”，第二學(xué)段要求“體驗(yàn)?zāi)承?shí)物體積的測(cè)量”，例如測(cè)量一個(gè)土豆的體積，可以轉(zhuǎn)化為測(cè)量與土豆等體積的規(guī)則物體的體積測(cè)量，有利于培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化與化規(guī)思想[14]。

2.3 小學(xué)數(shù)學(xué)“統(tǒng)計(jì)與概率”領(lǐng)域核心內(nèi)容群

如果說(shuō)描述確定性現(xiàn)象的數(shù)學(xué)培養(yǎng)學(xué)生的確定性思維，那么概率與統(tǒng)計(jì)就是通過(guò)找出客觀事物的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性和隨機(jī)現(xiàn)象中的客觀規(guī)律性，來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的因果推斷思想和隨機(jī)思想。有助于學(xué)生形成偶然中蘊(yùn)涵著必然以及變與不變的辯證思維[15]，因此我們將小學(xué)數(shù)學(xué)“統(tǒng)計(jì)與概率”領(lǐng)域的核心內(nèi)容群定為數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)與隨機(jī)現(xiàn)象。

2.3.1 數(shù)據(jù)分析

統(tǒng)計(jì)學(xué)的基礎(chǔ)是數(shù)據(jù)，主要研究如何合理收集、整理、分析數(shù)據(jù)，為人們制定決策提供理論依據(jù)?？蓮娜齻€(gè)層面理解數(shù)據(jù)分析。第一，對(duì)數(shù)據(jù)中蘊(yùn)含信息的提取。我們所收集到的數(shù)據(jù)可能是雜亂無(wú)章的，并不能直接從中看出統(tǒng)計(jì)規(guī)律，所以需要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，提取有用的數(shù)據(jù)信息，因此數(shù)據(jù)信息的提取是數(shù)據(jù)分析前提。第二，對(duì)數(shù)據(jù)分析方法的選擇。在小學(xué)階段主要有條形統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖、折線統(tǒng)計(jì)圖等數(shù)據(jù)分析方法，不同的分析方法對(duì)應(yīng)不同的問(wèn)題，因此需要根據(jù)待解決問(wèn)題選擇合適的分析方法。如果希望得到數(shù)據(jù)中某些數(shù)量之間的差異，可以選擇條形統(tǒng)計(jì)圖；如果希望了解不同部分所占總體的百分比，可以選擇扇形統(tǒng)計(jì)圖；如果希望得到數(shù)據(jù)變化趨勢(shì)，可以選擇折線統(tǒng)計(jì)圖。分析方法的選擇是數(shù)據(jù)分析的保障。第三，對(duì)分析結(jié)果的預(yù)測(cè)。數(shù)據(jù)分析結(jié)果具有一定的隨機(jī)性，其原因在于每次所選擇數(shù)據(jù)的不同。因此在小學(xué)階段，只能根據(jù)分析結(jié)果做出簡(jiǎn)單的判斷和預(yù)測(cè)，使學(xué)生初步體會(huì)統(tǒng)計(jì)中因果推斷的思想，分析結(jié)果的預(yù)測(cè)是數(shù)據(jù)分析的目的[16]。

2.3.2 隨機(jī)現(xiàn)象

隨機(jī)現(xiàn)象發(fā)生的可能性大小用概率來(lái)表示，雖然概率是未知的，但是隨機(jī)現(xiàn)象具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，這種統(tǒng)計(jì)規(guī)律是一種總體規(guī)律，一定是在大量同類隨機(jī)現(xiàn)象中才能呈現(xiàn)，它的存在構(gòu)成了或然數(shù)學(xué)的研究基礎(chǔ)[17]。在小學(xué)階段，要求學(xué)生感受隨機(jī)現(xiàn)象，我們可以從兩個(gè)層面理解隨機(jī)現(xiàn)象：第一個(gè)層面是對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象本身的認(rèn)識(shí)；第二個(gè)層面是對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的合理解釋[18]。列出簡(jiǎn)單的隨機(jī)現(xiàn)象中所有可能發(fā)生的結(jié)果（基本事件），體會(huì)隨機(jī)現(xiàn)象結(jié)果發(fā)生的可能性大?。ǜ怕剩瑢?duì)其做定性的描述，這些內(nèi)容為古典概率模型（古典概型）的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。小學(xué)階段關(guān)于概率的學(xué)習(xí)，重點(diǎn)在于借助現(xiàn)實(shí)情境，通過(guò)大量的重復(fù)試驗(yàn)，利用頻率來(lái)感悟概率。例如拋硬幣正面向上的概率，可以通過(guò)總結(jié)事件發(fā)生的頻率變化趨勢(shì)而得出。隨著拋硬幣試驗(yàn)次數(shù)的增多，正面向上的頻率在0.5上下波動(dòng)（如表1），可以估計(jì)硬幣正面向上的概率為0.5，其依據(jù)為頻率是概率的估計(jì)值，而概率是頻率的穩(wěn)定值。

表1 拋硬幣正面向上的頻率變化趨勢(shì)[19,p216]

3 小學(xué)數(shù)學(xué)核心內(nèi)容群教學(xué)設(shè)計(jì)分析

在教學(xué)設(shè)計(jì)中，不同學(xué)段相同學(xué)習(xí)領(lǐng)域內(nèi)所對(duì)應(yīng)的相關(guān)數(shù)學(xué)內(nèi)容采用螺旋式組織形式，漸次提高所重復(fù)學(xué)習(xí)的主要概念和觀念的深度和復(fù)雜程度，使小學(xué)數(shù)學(xué)核心內(nèi)容群與學(xué)生內(nèi)部心理過(guò)程綜合起來(lái)，在不同學(xué)段對(duì)其他小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容提供動(dòng)態(tài)支持，這種支持不僅包括數(shù)學(xué)概念、定理和公式等人們?cè)陂L(zhǎng)期數(shù)學(xué)活動(dòng)中形成的間接經(jīng)驗(yàn)，還包括學(xué)習(xí)者通過(guò)自身的觀察、操作、比較、分析、歸納、概括等活動(dòng)而獲得的直接經(jīng)驗(yàn)，下面以“字母表示數(shù)”與“分?jǐn)?shù)乘法”的教學(xué)設(shè)計(jì)片段為例進(jìn)行分析。

3.1 字母表示數(shù)中的數(shù)量關(guān)系

“字母表示數(shù)”屬于式與方程，是小學(xué)生初步接觸數(shù)學(xué)抽象的內(nèi)容，既是對(duì)數(shù)的學(xué)習(xí)的總結(jié)，也是對(duì)式的學(xué)習(xí)奠基，具有承上啟下的作用。在教學(xué)中，教師用《數(shù)青蛙》兒歌來(lái)引導(dǎo)學(xué)生理解用字母表示數(shù)[19,p58]：

一只青蛙一張嘴，兩只眼睛四條腿。

兩只青蛙兩張嘴，四只眼睛八條腿。

三只青蛙三張嘴，六只眼睛十二條腿。

……

讓學(xué)生邊拍手邊有節(jié)奏地?cái)?shù)青蛙，與此同時(shí)課件出現(xiàn)很多青蛙，直到數(shù)不清，這時(shí)教師提問(wèn)：我們可以用今天所講的內(nèi)容將這首兒歌數(shù)完嗎？

學(xué)生在練習(xí)紙上填寫：

生1：無(wú)數(shù)只青蛙無(wú)數(shù)張嘴，無(wú)數(shù)只眼睛無(wú)數(shù)條腿。

生2:a只青蛙b張嘴，c只眼睛d條腿。

生3:a只青蛙a張嘴，b只眼睛c條腿。

生4：a只青蛙a張嘴，aa只眼睛aaaa條腿。

生5:只青蛙張嘴，2只眼睛4條腿。

在實(shí)際教學(xué)中，能夠真正說(shuō)出第五種答案的學(xué)生，其實(shí)并不多，大部分表現(xiàn)為第二種、第三種。與成人思維不同，小學(xué)生對(duì)于字母表示數(shù)難以理解，主要原因在于：（1）字母表示數(shù)體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的抽象，這個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程是學(xué)生從具體數(shù)字到抽象字母的轉(zhuǎn)變過(guò)程，是從算術(shù)思維向代數(shù)思維的轉(zhuǎn)變過(guò)程，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)；（2）在教學(xué)中，大部分教師會(huì)反復(fù)強(qiáng)調(diào)“字母可以表示任意數(shù)”，這是導(dǎo)致學(xué)生出現(xiàn)第二種或第三種答案的主要原因，學(xué)生只關(guān)注到字母可以表示任意數(shù)，沒(méi)有明確數(shù)量之間的關(guān)系。

字母表示數(shù)的本質(zhì)在于描述數(shù)量之間的關(guān)系，這種關(guān)系體現(xiàn)了一般性，當(dāng)我們用a、b、c、d表示任意數(shù)的時(shí)候，更應(yīng)該說(shuō)明它們之間的關(guān)系，符號(hào)化有助于數(shù)量關(guān)系理解，學(xué)生利用符號(hào)或者圖形來(lái)表示量與量之間的關(guān)系，讓符號(hào)在表達(dá)時(shí)產(chǎn)生數(shù)學(xué)意義，這種符號(hào)化表達(dá)使數(shù)量關(guān)系具有一般性，在這個(gè)過(guò)程中，實(shí)現(xiàn)了由常量到變量的過(guò)渡。學(xué)生要學(xué)會(huì)用符號(hào)或者符號(hào)組成的比例關(guān)系、方程等模型去描述、分析、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。還可以運(yùn)用字母表示以前學(xué)過(guò)的法則和公式（如加法運(yùn)算律、乘法運(yùn)算律、長(zhǎng)方形面積公式、圓柱體積公式、路程速度時(shí)間的關(guān)系），在表示公式和法則的活動(dòng)中，學(xué)生將進(jìn)一步體會(huì)字母的“概括”作用，從而運(yùn)用字母及其運(yùn)算可以表示一般的規(guī)律。

3.2 分?jǐn)?shù)乘法中的幾何直觀

生：一個(gè)是乘以整數(shù)，一個(gè)是乘以分?jǐn)?shù)

師：今天重點(diǎn)研究分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)（板書），這對(duì)于我們來(lái)說(shuō)是一個(gè)新的挑戰(zhàn)。對(duì)于這樣一個(gè)新的問(wèn)題，我們用什么方法來(lái)研究？

生：可以用畫圖的方法？

師：怎么想到的？

生：以前用畫圖方法研究分?jǐn)?shù)的：

圖5 分?jǐn)?shù)乘法圖形表示

4 結(jié)語(yǔ)

數(shù)學(xué)核心內(nèi)容群是小學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要載體，在數(shù)學(xué)課程中起到主線的作用，貫穿整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)。經(jīng)過(guò)由古至今的漫長(zhǎng)發(fā)展，現(xiàn)代數(shù)學(xué)已經(jīng)是一個(gè)分支眾多的知識(shí)系統(tǒng)，孤立的數(shù)學(xué)內(nèi)容是不存在，小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容作為整個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)的縮影，是眾多數(shù)學(xué)內(nèi)容按照一定的學(xué)科邏輯順序和學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)順序而進(jìn)行的有效組織，小學(xué)數(shù)學(xué)核心內(nèi)容群或者以本源內(nèi)容的形式，或者以小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容主線的形式體現(xiàn)。聚焦小學(xué)數(shù)學(xué)核心內(nèi)容群進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，能夠?qū)崿F(xiàn)數(shù)學(xué)課堂的有效教學(xué)。

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The Core Content Cluster of Elementary School Mathematics: Essence Analysis and Teaching Design

WU Li-sha

(Department of Mathematics and Information Sciences, Tangshan Normal University, Tangshan 063000, China)

The core content cluster of elementary school mathematics can connect different learning section of primary school mathematics in three areas of study including number and algebra, graphics and geometry, statistics and probability. And it provides persistent and fundamental mathematical knowledge structure and mathematical thinking method. The feature of core content cluster is associativity, persistence, foundation and ideology. From the perspective of the development and the essence of mathematics, the core content cluster is beneficial to the design of teaching strategy and the development of teaching resources in elementary school mathematics.

core cluster of elementary school mathematics; essential analysis; teaching design

G622.3

A

1009-9115(2019)03-0130-07

10.3969/j.issn.1009-9115.2019.03.032

河北省高等學(xué)校人文社會(huì)科學(xué)研究項(xiàng)目（SZ18058），河北省教育廳人文社會(huì)科學(xué)重點(diǎn)項(xiàng)目（SD182012）

2019-01-20

2019-02-22

武麗莎（1986-），女，河北唐山人，碩士，助教，研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)課程與教學(xué)論。

（責(zé)任編輯、校對(duì)：高俊霞）