一種基于三次樣條曲線的目標(biāo)航跡擬合與插值方法研究

范云鋒　劉博　鄭益凱

摘要：為了解決防空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)訓(xùn)練過程中目標(biāo)不同步的問題，提出了一種基于三次樣條曲線的目標(biāo)航跡擬合與插值方法。與以往方法相比，能夠給出目標(biāo)整個(gè)飛行航跡的曲線擬合方程，且擬合與插值精度較高，計(jì)算過程簡單。

關(guān)鍵詞：三次樣條曲線;擬合;插值;同步訓(xùn)練

中圖分類號(hào)：TP391.9 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1007-9416（2019）03-0128-02

0 引言

為了使防空部隊(duì)能夠熟練掌握防空武器系統(tǒng)的使用方法，采用數(shù)字模擬進(jìn)行高訓(xùn)練是系統(tǒng)設(shè)計(jì)的一項(xiàng)基本要求。然而，以往的設(shè)計(jì)方法常出現(xiàn)目標(biāo)不同步、顯示界面有差異、不能仿真機(jī)動(dòng)目標(biāo)等現(xiàn)象，影響了訓(xùn)練效果。

解決上述問題的一種是在各傳感器上位機(jī)預(yù)先存儲(chǔ)設(shè)計(jì)好的目標(biāo)高頻航跡點(diǎn)，使用時(shí)通過讀文件的方式獲得目標(biāo)信息并對外發(fā)送。

該方法的關(guān)鍵是事先設(shè)計(jì)好需要模擬目標(biāo)的航跡文件，難點(diǎn)是如何根據(jù)以往的錄取數(shù)據(jù)、情報(bào)數(shù)據(jù)，設(shè)計(jì)出更加真實(shí)的航跡，特別是機(jī)動(dòng)航跡。故需要對航跡插值方法進(jìn)行研究。

1 常用擬合方法性能分析

在工程實(shí)踐中，常常會(huì)遇到根據(jù)一些離散的采樣數(shù)據(jù)進(jìn)行曲線擬合的問題，且得到的擬合函數(shù)應(yīng)該具有光滑性和精確性。

目前常用的曲線擬合方法有拉格朗日擬合法、分段三次埃米爾特?cái)M合法、最小二乘法和三次樣條曲線法[1]。

三次樣條曲線[2，3]線性光滑，具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù);能夠保證擬合曲線通過所有的采樣點(diǎn);對曲線的緩變和瞬變部分均具有良好的適應(yīng)性。

2 三次樣條曲線擬合原理分析

區(qū)間上具有分化n個(gè)小區(qū)間Δ：的分段3次式。

選取節(jié)點(diǎn)上的2階導(dǎo)數(shù)值作為參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)滿足下列條件：

（1）在上具有連續(xù)的一階、二階導(dǎo)數(shù);（2）在每個(gè)小區(qū)間上，都是3次多項(xiàng)式;（3）表示這個(gè)函數(shù)能夠通過所有的采樣點(diǎn)。

那么，對于分段上有：

之間的任意一個(gè)點(diǎn)x的兩階導(dǎo)數(shù)為：

（2.3）

對上式進(jìn)行二次積分，并代入式（2.1）可以得到：

那么，的一階導(dǎo)為：

為了使得采樣點(diǎn)處連續(xù)，即：? ? ? ?（2.6）

將其代入式（2.5），得到：

對上式進(jìn)行整理，可以表示為：

其中，，，。

當(dāng)處的一階導(dǎo)數(shù)已知時(shí)，代入式（2.5）得：

當(dāng)處的一階導(dǎo)數(shù)已知時(shí)，代入式（2.5）得：

可以將式（2.8）、式（2.9）和式（2.10）寫成如下規(guī)整的矩陣形式：

其中，和的取值分別如下：

由式（2.11）和式（2.4）可得到采樣點(diǎn)之間的三次樣條函數(shù)。

3 三對角方程組的數(shù)值計(jì)算方法

利用三次樣條曲線進(jìn)行擬合與插值的關(guān)鍵是求解式（2.11），而它是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的三對角方程組[4，5]。

式（2.11）可以簡化為如下形式：

（3.1）

其未知數(shù)xi[i=0，1，…，（n-1）]可用下式求解：

其中，和定義為：

4 仿真驗(yàn)證

本文利用理論彈道數(shù)據(jù)對算法進(jìn)行了檢驗(yàn)，該彈道數(shù)據(jù)全過程包含了爬升、平飛、俯沖及蛇形機(jī)動(dòng)等常見的飛行方式，能夠?qū)λ惴ㄟM(jìn)行比較全面的檢驗(yàn)。隨機(jī)抽值后再進(jìn)行插值計(jì)算，并與原數(shù)據(jù)進(jìn)行了誤差統(tǒng)計(jì)。

從圖1可以看出，經(jīng)過擬合插值后得到的目標(biāo)航跡整體上比較光滑。圖2分別給出了插值結(jié)果在東、北、天方向誤差和總誤差，發(fā)現(xiàn)最大誤差均未超過1m，擬合效果較好。仿真過程有超過5000次的插值運(yùn)算，用時(shí)僅0.95s，表明實(shí)時(shí)性較好。

5 結(jié)語

本文所提出的方法具有精度高、計(jì)算量小、實(shí)時(shí)性高等優(yōu)點(diǎn)，具有較好的工程應(yīng)用的前景。

參考文獻(xiàn)

[1] 徐士良.數(shù)值方法[M].北京：清華大學(xué)出版社，2008.

[2] 張玲.基于三次樣條曲線擬合公路平面線形方法研究[D].武漢理工大學(xué)，2007.

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[4] 秦方方，易思蓉，楊長根.基于三次樣條曲線的鐵路既有曲線整正方法[J].中國鐵道科學(xué)，2010，31（2）：18-22.

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A Method of Target Track Fitting and Interpolation Based on Cubic Spline Curve

FAN Yun-feng，LIU Bo，ZHENG Yi-kai

（Shanghai Electro-Mechanical Engineering Institute， Shanghai? 201109）

Abstract：In order to solve the problem of target synchronization in the process of air defense weapon system training， a method of target track fitting and interpolation based on cubic spline curve is provided for a feasible scheme. Compared with the previous methods， this method can give the curve fitting equation of the whole flight path. The precision of fitting and interpolation is high， the calculation process is simple.

Key words：cubic spline curve;fitting;interpolation;synchronous training