太沙基地基極限承載力的三剪應(yīng)力統(tǒng)一強(qiáng)度理論解

高江平，胡海波，孫世界，王澤普

(長(zhǎng)安大學(xué) 特殊地區(qū)公路工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安 710064)

工程領(lǐng)域?qū)Φ鼗休d力的探究是巖土工程學(xué)科一個(gè)重要的問題，因?yàn)榈鼗€(wěn)定性的影響因素很多，對(duì)工程的各項(xiàng)性能評(píng)估具有重要的意義.

強(qiáng)度準(zhǔn)則揭示了物體受力狀態(tài)下產(chǎn)生塑性形變和損壞的現(xiàn)象.目前，巖土材料研究中多采用Terzaghi準(zhǔn)則和Mises準(zhǔn)則解決實(shí)際問題[1].但是在實(shí)際運(yùn)用中發(fā)現(xiàn)，其分別存在各自的局限性.前者在實(shí)際運(yùn)用中忽視了中主應(yīng)力的作用.而后一準(zhǔn)則比較復(fù)雜，不存在相關(guān)性，實(shí)際運(yùn)用中通常只能采用數(shù)值法進(jìn)行求解.

1943年，太沙基首次依據(jù)Mohr—Coulomb理論提出了地基承載力公式[1]，沿用至今.但是，在運(yùn)用中發(fā)現(xiàn)，太沙基地基最大承載力公式未考慮中主應(yīng)力，因而無法徹底揭示地基的真實(shí)破壞狀況.

本文根據(jù)三剪統(tǒng)一強(qiáng)度理論，可求得基于此理論下的太沙基地基極限承載力值，并探究權(quán)系數(shù)b、c對(duì)其的影響.

1 三剪應(yīng)力統(tǒng)一強(qiáng)度理論[3]

該理論認(rèn)為：菱形十二面單元體上的三個(gè)主剪應(yīng)力(τ13、τ12、τ23)與三個(gè)正應(yīng)力(σ13、σ12、σ23)構(gòu)成的函數(shù)關(guān)系式達(dá)到某一極限值時(shí)，材料產(chǎn)生損壞.其數(shù)學(xué)公式為

F=τ13+bτ12+cτ23+β(σ13+
bσ12+cσ23)=f

(1)

也可將式(1)表示成以下形式：

F=τ13+βσ13+b(τ12+βσ12)+
c(τ23+βσ23)3=f

(2)

式中：β為在正應(yīng)力作用下材料損壞的強(qiáng)度影響參數(shù)，b為在τ12和σ12作用下材料損壞的影響系數(shù)，c為在τ23和σ23作用下材料損壞的影響系數(shù)，b與c均在0～1范圍內(nèi)取值，f為材料強(qiáng)度參數(shù).

建立了此理論下的內(nèi)摩擦角φs、粘聚力cs公式[3]：

(3)

(4)

(5)

式中：φ0和c0為Mohr-Coulomb理論下的內(nèi)摩擦角和黏聚力，σ2=m(σ1+σ3)/2，且m在0到1之間取值，當(dāng)材料處于彈性階段時(shí)，m可取值為2v，其中v表示材料泊松比，當(dāng)材料處于屈服變形狀態(tài)時(shí)，m→1.

2 太沙基地基承載力的三剪統(tǒng)一強(qiáng)度理論解

2.1 基本假設(shè)

(1)假設(shè)地基作用面不光滑，摩擦力很大.整個(gè)地基產(chǎn)生貫穿至基底的剪切破壞，產(chǎn)生持續(xù)的滑動(dòng)，基底下局部土體與基礎(chǔ)同時(shí)移動(dòng)，從而該土體一直保持彈性狀況，區(qū)域Ⅰ為彈性楔體.該局部土體與滑動(dòng)土體分界線用ab表示，并假設(shè)分界線ab與基礎(chǔ)底平面的夾角用ψ表示，如圖1所示.

圖1 基底粗糙情況下的滑動(dòng)面形狀Fig.1 Sliding surface shape of rough base

(2)徑向剪切區(qū)域Ⅱ與朗金被動(dòng)區(qū)域Ⅲ形成滑動(dòng)區(qū)域，且所有滑動(dòng)區(qū)的土體(區(qū)域Ⅰ除外)均保持在塑性平衡狀況，區(qū)域Ⅱ的界線bc用以下公式表達(dá)：

(6)

式中：r0為初始位置矢量，θ為任意位置矢量r與初始位置矢量r0的夾角.

區(qū)域Ⅲ的界線cd是一條直線，與水平面的夾角為45°-φs/2.

(3)考慮在基礎(chǔ)兩側(cè)地基上施加均布超載q=γD，來抵消土體抗剪強(qiáng)度的影響.

2.2 地基極限承載力公式

由2.1中的假設(shè)條件，通過圖2所示的區(qū)域Ⅰ三角形aba1的平衡關(guān)系，推導(dǎo)出整個(gè)剪切破壞情況下的極限荷載表達(dá)式：

圖2 區(qū)域Ⅰ彈性楔體受力示意圖Fig.2 Stress diagram of elastic wedge in Region I

(7)

式中：γ為基礎(chǔ)以下土體的重度，B為基礎(chǔ)底部寬度，c0和φ0為基礎(chǔ)以下土體的抗剪強(qiáng)度參數(shù)；作用力Pp為一合力，由基礎(chǔ)以下土體的粘聚力c0、基礎(chǔ)以下土體的重度γ產(chǎn)生的被動(dòng)土壓力和超載q組成，其作用面為區(qū)域Ⅰ的分界面ab，即

PP=PPc+PPq+PPγ

(8)

(9)

Kpγ為基礎(chǔ)以下土體的重度γ所產(chǎn)生的被動(dòng)土壓力的作用系數(shù)，確定Kpγ需要采用試算方法.

聯(lián)立公式(7)與公式(9)推導(dǎo)得出：

(10)

其中：

(11)

式中，Nc、Nq、Nγ為無法量化的承載力系數(shù)指標(biāo)，只和φ0有關(guān).

式(10)是以基底粗糙為條件推導(dǎo)出的，并且圖2中ψ是未知的.故作如下假定：

(1)假定基礎(chǔ)完全粗糙.此時(shí)作出如下假定：認(rèn)為ψ=φs，基礎(chǔ)底部滑動(dòng)面形狀如圖3.

圖3 基底完全粗糙情況下的滑動(dòng)面形狀Fig.3 Sliding surface shape of completely rough base

則可將式(11)的形式表示成如下情形；

(12)

從式(12)可知：系數(shù)Nc、Nq、Nγ均受到基礎(chǔ)以下土顆粒間摩擦角φ0的影響，一般需要通過試算確定被動(dòng)土壓力系數(shù)Kpγ.

工程運(yùn)用上為了方便，對(duì)于系數(shù)Nγ，往往聯(lián)合太沙基經(jīng)驗(yàn)公式，采用如下式確定：

Nγ=1.8(Nq-1)tanφs

(13)

(2)假定基底完全光滑.則區(qū)域Ⅰ的土體狀態(tài)轉(zhuǎn)變成朗金主動(dòng)狀態(tài)，從而使得區(qū)域Ⅰ與區(qū)域Ⅱ和區(qū)域Ⅲ共同構(gòu)成一個(gè)完整的滑動(dòng)區(qū)，這時(shí)區(qū)域Ⅰ的界線ab與水平面的夾角ψ(如圖3～圖4所示)有如下表達(dá)式：

將ψ代入式(11)中，可分別得到此條件下的系數(shù)Nc、Nq、Nγ.

火箭測(cè)試廠房平開大門(下簡(jiǎn)稱大門)能夠?qū)崿F(xiàn)大門的水平方向移動(dòng),從而實(shí)現(xiàn)矩形門洞的閉合與打開,是各航天發(fā)射場(chǎng)廣泛使用的一種特種機(jī)械設(shè)備,它具有抗沖擊能力強(qiáng)、工作可靠性高、制造工藝相對(duì)簡(jiǎn)單等優(yōu)點(diǎn).但是由于廠房需求不同,加之不同時(shí)期的設(shè)計(jì)能力、計(jì)算能力也千差萬別,造成發(fā)射場(chǎng)大門形式多樣,裝備化保養(yǎng)困難.隨著航天發(fā)射場(chǎng)的不斷發(fā)展,傳統(tǒng)意義上粗大笨重、操作復(fù)雜、維護(hù)困難的廠房大門已經(jīng)無法適應(yīng)發(fā)射場(chǎng)特種設(shè)備“三化”的要求,結(jié)合某發(fā)射場(chǎng)火箭廠房擴(kuò)建工程新建大門,對(duì)發(fā)射場(chǎng)現(xiàn)有各種大門的功能和結(jié)構(gòu)模式，進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析和梳理分類,從大門系列化的角度,本著有限目標(biāo),重點(diǎn)突出的原則,研究大門的模塊化設(shè)計(jì)方法.

圖4 基底完全光滑情況下的滑動(dòng)面形狀Fig.4 Sliding surface shape of completely smooth base

3 算例

現(xiàn)有某地基，土的重度γ=19.5 kN/m3，土體均勻，為粘性土.經(jīng)固結(jié)不排水條件下快速剪切試驗(yàn)，測(cè)得c0=20 kPa，φ0=22°.地基土上埋置一長(zhǎng)條基礎(chǔ)，深度3 m，寬度4 m.

根據(jù)以上已知條件，分別基于四種不同的理論，求解地基極限承載力值，并進(jìn)行比較分析.

3.1 經(jīng)典太沙基公式解[1]

3.1.1 當(dāng)基礎(chǔ)底部為完全粗糙狀態(tài)時(shí)，根據(jù)題設(shè)條件φ0=22°計(jì)算得出承載力系數(shù)Nc=20，Nq=10，Nγ=7.最后解得地基極限承載力qu=1 258.0 kPa.

3.1.2 當(dāng)基礎(chǔ)底部為完全光滑狀態(tài)時(shí)，根據(jù)題設(shè)條件φ0=22°計(jì)算得出承載力系數(shù)Nc=16.88，Nq=7.82，Nγ=4.96.最后解得地基極限承載力qu=988.5 kPa.

3.2 雙剪強(qiáng)度理論解[6,8]

地基承載力達(dá)到其極限值，此時(shí)地基處于屈服破壞的臨界狀態(tài)，中間主應(yīng)力參數(shù)m=1.

當(dāng)基礎(chǔ)底部為完全粗糙狀態(tài)時(shí)，根據(jù)題設(shè)已知條件，計(jì)算得到承載力系數(shù)Nc=27.5，Nq=14.78，Nγ=12.3.從而最終解得極限承載力為qu=2 017.7 kPa.

3.3 雙剪統(tǒng)一強(qiáng)度理論解[5]

地基承載力達(dá)到其極限值，此時(shí)地基處于屈服破壞的臨界狀態(tài)，此時(shí)中間主應(yīng)力參數(shù)m=1.

當(dāng)基礎(chǔ)底部處于完全粗糙時(shí)，假設(shè)系數(shù)b(0≤b≤1)分別取0、0.2、0.4、0.6、0.8、1，解得極限承載力如下表1所示.

表1 完全粗糙基底條件下的地基極限承載力值

當(dāng)基礎(chǔ)底部處于完全光滑狀態(tài)時(shí)，假設(shè)系數(shù)b(0≤b≤1)分別取0、0.2、0.4、0.6、0.8、1，解得極限承載力如下表2所示.

表2 完全光滑基底條件下的地基極限承載力值

3.4 三剪應(yīng)力統(tǒng)一強(qiáng)度理論解

地基承載力達(dá)到其極限值，此時(shí)地基處于屈服破壞的臨界狀態(tài)，此時(shí)中間主應(yīng)力參數(shù)m=1.利用上文中推導(dǎo)的公式分別計(jì)算.

(1)當(dāng)基礎(chǔ)底部處于完全粗糙狀態(tài)時(shí)，系數(shù)b與c分別在0～1之間取值，從而解得相應(yīng)的極限承載力值，如表3所示，并繪制了此條件下系數(shù)b、c與qu之間的關(guān)系圖，如圖5所示.

表3 完全粗糙基底條件下的地基承載力值

圖5 完全粗糙基底條件下系數(shù)b、c與qu之間的關(guān)系圖Fig.5 Correlation graphs between b, C and qu on completely rough base

從表3及圖5中可以看出地基極限承載力qu受到b、c取值的影響，b、c取值越大，則qu越大.由表3的計(jì)算結(jié)果與3.1.1的結(jié)果相比可知，本理論的承載力值均大于經(jīng)典太沙基承載力值；與3.2.1的結(jié)果相比可知，當(dāng)b=1，c在0～1之間取值時(shí)，本理論的承載力值均大于雙剪強(qiáng)度理論的承載力值；與3.3.1相比，當(dāng)c=0，b在0～1之間取值時(shí)，式(1)蛻化成雙剪統(tǒng)一強(qiáng)度理論，本理論的承載力值即為雙剪統(tǒng)一強(qiáng)度理論的承載力值，當(dāng)b=1，c在0～1之間取值時(shí)，則本理論的承載力值均大于雙剪統(tǒng)一強(qiáng)度理論的承載力值，由此表明：極限承載力在較大程度上也受到系數(shù)c的影響，且隨著c值的增加而增大.

(2)當(dāng)基礎(chǔ)底部處于完全光滑狀態(tài)時(shí)，系數(shù)b與c分別在0～1之間取值，最終解得相應(yīng)的極限承載力值，如表4所示，并繪制了此條件下系數(shù)b、c與qu之間的關(guān)系圖，如圖6所示.

表4 完全光滑基底條件下的地基承載力值

圖6 完全光滑基底條件下系數(shù)b、c與qu之間的關(guān)系圖Fig.6 Correlation graphs between b, c andqu on completely smooth base

從表4及圖6中也可以看出地基極限承載力qu受到b、c取值的影響，b、c取值越大，則qu越大.由表4的計(jì)算結(jié)果與3.1.2的結(jié)果相比可知，本理論的承載力值均大于經(jīng)典太沙基承載力值；與3.2.2的結(jié)果相比可知，當(dāng)b=1，c在0～1之間取值時(shí)，本理論的承載力值均大于雙剪強(qiáng)度理論的承載力值；與3.3.2相比，當(dāng)c=0，b在0～1之間取值時(shí)，式(1)蛻化成雙剪統(tǒng)一強(qiáng)度理論，本理論的承載力值即為雙剪統(tǒng)一強(qiáng)度理論的承載力值，當(dāng)b=1，c在0～1之間取值時(shí)，則本理論的承載力值均大于雙剪統(tǒng)一強(qiáng)度理論的承載力值，由此表明：極限承載力在較大程度上也受到系數(shù)c的影響，且隨著c值的增加而增大.

4 結(jié)論

(1)本文推導(dǎo)出了太沙基地基極限承載力的三剪統(tǒng)一強(qiáng)度理論解，并可根據(jù)系數(shù)b、c的不同取值，將此理論解簡(jiǎn)化為其他不同的理論解.若b和c值均為0，則簡(jiǎn)化為Mohr—Coulomb理論解；若b不為0，而c值為0，則簡(jiǎn)化為雙剪統(tǒng)一強(qiáng)度理論解.

(2)本文公式分別包含了以經(jīng)典太沙基、雙剪強(qiáng)度理論及雙剪統(tǒng)一強(qiáng)度理論為依據(jù)的地基承載力公式，并與前三種理論解進(jìn)行了對(duì)比分析表明：三剪統(tǒng)一強(qiáng)度理論解更加全面的考慮了材料中三個(gè)主剪應(yīng)力的影響，將其潛能發(fā)揮的更大，既克服了傳統(tǒng)太沙基公式保守的缺點(diǎn)，又將雙剪統(tǒng)一強(qiáng)度理論中忽略的最小主剪應(yīng)力考慮進(jìn)來.

(3)隨著系數(shù)b、c值的增加，由本文推導(dǎo)的三剪應(yīng)力地基承載力值也在提高.三剪統(tǒng)一強(qiáng)度理論解適用范圍很廣，適用于許多不同類型地基的承載力計(jì)算，通過合理地確定b、c值從而得到更為真實(shí)的結(jié)果.