改進(jìn)的最優(yōu)小波基選取方法與跳頻信號(hào)檢測(cè)研究

鄭 洋，陳西豪，朱 銳

（空軍工程大學(xué)信息與導(dǎo)航學(xué)院，西安 710077）

0 引言

隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)向軍事領(lǐng)域的不斷滲透，電磁環(huán)境的復(fù)雜度也在日益增大，進(jìn)而給通信對(duì)抗帶來(lái)極大的挑戰(zhàn)[1]。在這種條件下，抗干擾性強(qiáng)、組網(wǎng)能力強(qiáng)的跳頻通信必然會(huì)在軍事通信與通信對(duì)抗中發(fā)揮重要作用。為了在通信對(duì)抗中占據(jù)優(yōu)勢(shì)，開(kāi)展對(duì)非合作條件下跳頻信號(hào)檢測(cè)技術(shù)的研究，具有重大的理論意義與實(shí)際價(jià)值[2]。

時(shí)頻分析[3]是檢測(cè)跳頻信號(hào)的主要方法，對(duì)于獲取跳頻信號(hào)的信息具有極大的幫助。但是，窗函數(shù)的存在使得時(shí)間分辨率和頻率分辨率難以有效兼顧。針對(duì)這個(gè)問(wèn)題，文獻(xiàn)[4]提出了一種基于小波分解與希爾伯特-黃變換的方法，極大地提高了檢測(cè)效果。小波分解與重構(gòu)對(duì)接收到的跳頻信號(hào)進(jìn)行去噪處理，但是為了取得最佳的去噪效果，需要對(duì)最佳小波基以及最佳分解層數(shù)進(jìn)行研究確定。文獻(xiàn)[5]通過(guò)分解重構(gòu)過(guò)程中信噪比的變化情況來(lái)確定最優(yōu)分解層數(shù)。隨著分解層數(shù)的增加，噪聲在重構(gòu)信號(hào)的比重先下降后上升，因此，信噪比呈現(xiàn)出先增大后減小的趨勢(shì)，利用信噪比的這種變化情況，有效地確定了最佳的小波分解層數(shù)。

對(duì)于最優(yōu)小波基的選取，文獻(xiàn)[6]將幾種常用的小波去噪評(píng)價(jià)指標(biāo)進(jìn)行融合。首先按照需求篩選合適的指標(biāo)，然后作歸一化處理并進(jìn)行組合。這種融合的方法在信號(hào)真值已知的條件下，對(duì)小波去噪質(zhì)量評(píng)價(jià)和最優(yōu)小波基的選取有十分有效的指導(dǎo)作用。但對(duì)于非合作通信條件下接收到的跳頻信號(hào)而言，信號(hào)真值是未知的，接收到的是信號(hào)與噪聲的混合信號(hào)，因此，這些以信號(hào)真值已知為條件的評(píng)價(jià)指標(biāo)和指標(biāo)融合的方法就失去了應(yīng)用條件[7]。

評(píng)價(jià)小波去噪質(zhì)量還有一種方法是信噪比與信噪比增益的方法[8]。這種方法不需要原始信號(hào)的信息，在信噪比未知的情況下也同樣適用，但在非合作通信條件下，信號(hào)真值未知，該方法失去了應(yīng)用的條件。本文改進(jìn)了這種方法，在每次分解重構(gòu)后對(duì)重構(gòu)信號(hào)的信噪比進(jìn)行盲估計(jì)，通過(guò)對(duì)比幾種常用的小波基的結(jié)果，分析并選擇最優(yōu)小波基。仿真實(shí)驗(yàn)證明，該方法極大地提高了非合作通信條件下跳頻信號(hào)去噪小波基選取的準(zhǔn)確性。

1 信號(hào)模型

本文的跳頻信號(hào)模型為：

式中，s（t）是跳頻信號(hào)，n（t）是均值為 0，方差為 σ2的高斯白噪聲，跳頻信號(hào)和高斯白噪聲相互獨(dú)立，其中

式中，t為觀測(cè)時(shí)間；T0為跳頻信號(hào)起跳時(shí)間；Th為跳頻周期；fk是第k個(gè)時(shí)隙的跳頻頻率。rectTh表示時(shí)間寬度為T(mén)h的矩形窗函數(shù)，其表達(dá)式為：

基于小波分解與希爾伯特-黃變換的跳頻信號(hào)檢測(cè)方法的思想為：首先用小波分解對(duì)接收到的跳頻信號(hào)去噪處理，然后通過(guò)希爾伯特-黃變換實(shí)現(xiàn)檢測(cè)。為了達(dá)到最佳的去噪效果，在用小波去噪時(shí)需要重點(diǎn)解決兩個(gè)問(wèn)題：最佳分解層數(shù)確定和最優(yōu)小波基選取。對(duì)于最佳分解層數(shù)的確定，文獻(xiàn)[9]中已經(jīng)作了一定的研究并得出了指導(dǎo)性的結(jié)論。本文就最優(yōu)小波基的選取進(jìn)行深入研究。

2 最優(yōu)小波基選取

用小波變換對(duì)跳頻信號(hào)進(jìn)行去噪，其實(shí)是利用小波的多分辨率特性對(duì)跳頻信號(hào)進(jìn)行分解，即通過(guò)小波變換將原信號(hào)分解為原信號(hào)頻段內(nèi)不同頻率的信號(hào)。分解后，有用的信號(hào)留在低頻部分，而高頻部分多屬于噪聲。然后利用這個(gè)特點(diǎn)對(duì)高頻信號(hào)部分進(jìn)行處理，達(dá)到去除噪聲的目的。最后重構(gòu)剩余信號(hào)，得到去噪后的信號(hào)[10]。

2.1 傳統(tǒng)評(píng)價(jià)指標(biāo)

在利用小波變換去噪時(shí)，選擇不同的小波基，就會(huì)得到不同的變換結(jié)果。對(duì)跳頻信號(hào)，如何確定最優(yōu)小波基來(lái)保證最佳的去噪效果，這就需要一個(gè)評(píng)價(jià)準(zhǔn)則來(lái)指導(dǎo)選擇最佳小波基。當(dāng)前，評(píng)價(jià)小波去噪質(zhì)量的指標(biāo)有：均方根誤差、平滑度、互相關(guān)系數(shù)和信噪比與信噪比增益。

2.1.1 均方根誤差（RMSE）

均方根誤差指經(jīng)過(guò)分解并重構(gòu)之后的去噪跳頻信號(hào)與原始跳頻信號(hào)的均方誤差，即：

2.1.2 平滑度

平滑度是指在信號(hào)足夠長(zhǎng)時(shí)，去噪信號(hào)一階差分的方差根與原始信號(hào)一階差分的方差根之比，記為r，表達(dá)式為：

平滑度反映了去噪信號(hào)的平滑程度，信號(hào)越光滑，平滑度的值就越小，去噪效果越好。

2.1.3 互相關(guān)系數(shù)

互相關(guān)系數(shù)指去噪信號(hào)和原始信號(hào)兩種信號(hào)之間的相似度，記為R，表達(dá)式為：

R值越大，則去噪效果越好。

2.1.4 信噪比和信噪比增益

信噪比是指原始信號(hào)能量與噪聲能量的比值，記為SNR，其表達(dá)式為：

其中，ps是信號(hào)功率，pv是噪聲功率。信噪比增益是指去噪后的信號(hào)信噪比與原始信號(hào)信噪比之比，記為GSNR，其表達(dá)式為：

其中，SNRdn是去噪后的信號(hào)的信噪比，SNRn是原始信號(hào)的信噪比。實(shí)際情況下，SNR和GSNR的值越大，去噪效果越好。

2.2 多指標(biāo)融合的小波去噪質(zhì)量評(píng)價(jià)方法

每個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)描述的是小波去噪不同方面的性能，單一的評(píng)價(jià)指標(biāo)無(wú)法對(duì)小波基的選取做出合理指導(dǎo)。為了最大限度地滿足小波去噪質(zhì)量評(píng)價(jià)需求，進(jìn)而有效地選取最佳小波基，在信號(hào)真值已知的情況下，文獻(xiàn)[11]將這些評(píng)價(jià)指標(biāo)進(jìn)行篩選并優(yōu)化組合。其思想是：首先選取從不同角度衡量去噪效果的指標(biāo)，保證評(píng)價(jià)體系的全面性；同時(shí)考慮所選指標(biāo)的值與評(píng)價(jià)效果的相關(guān)性，以正相關(guān)為宜。然后歸一化處理并進(jìn)行簡(jiǎn)單組合。具體做法如下：

PRMSE、Pr分別為歸一化后的均方根誤差和平滑度參數(shù)。設(shè)通過(guò)組合得到的新的評(píng)價(jià)指標(biāo)為H，則

H值越小，小波去噪效果越好。

2.3 改進(jìn)的最優(yōu)小波基選取方法

當(dāng)信號(hào)真值已知時(shí)，上述方法對(duì)于評(píng)價(jià)小波去噪效果有重要的指導(dǎo)意義，但在非合作通信條件下，接收到的跳頻信號(hào)是帶有噪聲的混合信號(hào)，原始信號(hào)是未知的，此時(shí)上述方法失去了使用的先決條件。故本文改進(jìn)了信噪比與信噪比增益的方法。利用信噪比盲估計(jì)來(lái)分析分解重構(gòu)過(guò)程中信噪比和信噪比增益的變化情況，進(jìn)而分析小波對(duì)跳頻信號(hào)的去噪效果，并確定最佳分解層數(shù)。此時(shí)，信噪比與信噪比增益的表達(dá)式分別為：

3 基于協(xié)方差矩陣分解的信噪比估計(jì)

對(duì)接收信號(hào)采樣得：

其中，k為抽樣時(shí)間點(diǎn)。

由于跳頻信號(hào)和噪聲是獨(dú)立分布的，且噪聲為高斯白噪聲，因此，采樣信號(hào)的協(xié)方差矩陣即為其自相關(guān)矩陣：

式中，H表示共軛轉(zhuǎn)置；自相關(guān)矩陣Rxx為m階方陣。

由于相關(guān)矩陣Rxx、Rss以及Rnn都是對(duì)稱矩陣，故可以進(jìn)行奇異值分解（SVD）：

其中，

V是正交矩陣。則：

式中，由m個(gè)對(duì)角線元素張成的空間被稱為含噪信號(hào)空間，由前p個(gè)元素張成的空間被稱為信號(hào)子空間，后m-p個(gè)元素張成的空間被稱為噪聲子空間。則信號(hào)功率和噪聲功率可表示為：

則接收信號(hào)的信噪比為：

由于上式中的噪聲功率包含了信號(hào)帶以外的噪聲功率，而在實(shí)際情況下，對(duì)接收信號(hào)濾波處理后，只含有帶內(nèi)噪聲，此時(shí)信噪比應(yīng)調(diào)整為：

然后需要對(duì)信號(hào)空間維數(shù)p進(jìn)行估計(jì)，文獻(xiàn)[12]提出了一種最小描述長(zhǎng)度準(zhǔn)則（MDL）：

其中，

則信號(hào)空間的維數(shù)p表示為：

將其帶入式（21），得到信噪比估計(jì)值。

在用協(xié)方差矩陣估計(jì)信噪比的過(guò)程中，需要構(gòu)造自相關(guān)矩陣、計(jì)算奇異值等，具體過(guò)程如下：

N為信號(hào)序列長(zhǎng)度，m為相關(guān)序列長(zhǎng)度，它的取值會(huì)對(duì)自相關(guān)矩陣的估計(jì)產(chǎn)生影響，實(shí)驗(yàn)證明，m一般取40～100比較合適。

5）計(jì)算信噪比。

4 基于W-H的跳頻信號(hào)檢測(cè)算法

現(xiàn)有的跳頻信號(hào)檢測(cè)方法在去抗噪性以及時(shí)頻聚集性方面有待改進(jìn)，據(jù)此提出了基于W-H的跳頻信號(hào)檢測(cè)算法。該方法結(jié)合了小波去噪與希爾伯特-黃變換的優(yōu)點(diǎn)，算法流程如下：

1）利用小波分解去除混合信號(hào)中的噪聲；

2）將剩余信號(hào)進(jìn)行小波重構(gòu)，得到去噪后的信號(hào)；

3）利用希爾伯特-黃變換處理去噪后的信號(hào)，實(shí)現(xiàn)跳頻信號(hào)檢測(cè)。

5 最優(yōu)小波基選擇流程

1）對(duì)接收到的跳頻信號(hào)進(jìn)行信噪比估計(jì)，計(jì)算接收信號(hào)的信噪比；

2）對(duì)接收的跳頻信號(hào)進(jìn)行1層小波分解，并進(jìn)行重構(gòu)，然后計(jì)算重構(gòu)信號(hào)的信噪比，并計(jì)算信噪比增益；

3）繼續(xù)2層小波分解并重構(gòu)，計(jì)算重構(gòu)信號(hào)的信噪比，并計(jì)算信噪比增益；

4）對(duì)跳頻信號(hào)進(jìn)行3層小波分解并重構(gòu)，計(jì)算重構(gòu)信號(hào)的信噪比，并計(jì)算信噪比增益；

5）比較得到的信噪比和信噪比增益，分析篩選最優(yōu)小波基。

為了實(shí)驗(yàn)的可靠性和準(zhǔn)確性，本文還設(shè)立了一組對(duì)比試驗(yàn)，在同等條件下原始信號(hào)已知的情況下，利用多指標(biāo)融合的小波去噪質(zhì)量評(píng)價(jià)方法進(jìn)行仿真試驗(yàn)并與本文方法的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。

6 仿真實(shí)驗(yàn)分析

分別按照兩種方法進(jìn)行仿真試驗(yàn)，結(jié)果如下：

表1 小波基‘coif4’的實(shí)驗(yàn)結(jié)果

表2 小波基‘sym6’的實(shí)驗(yàn)結(jié)果

表3 小波基‘db40’的實(shí)驗(yàn)結(jié)果

表1～表3分別是3種常用的小波基分解3次后，按照融合指標(biāo)方法和信噪比與信噪比增益方法分析得到的數(shù)據(jù)結(jié)果。由表中數(shù)據(jù)可知，隨著分解層數(shù)增加，按照融合方法得到的指標(biāo)參數(shù)不斷減小；信噪比和信噪比增益不斷增大。因此，按照信噪比與信噪比增益的方法，應(yīng)該選擇‘db40’為最優(yōu)小波基；按照指標(biāo)融合的方法，‘db40’小波也是最優(yōu)小波選擇。也就是說(shuō)，在非合作通信條件下，選取‘db40’小波為跳頻信號(hào)去噪的最優(yōu)小波基。這個(gè)結(jié)果與已知信號(hào)真值情況下融合方法得到的結(jié)果一致。

通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，改進(jìn)的最優(yōu)小波基選取方法較多指標(biāo)融合的小波去噪質(zhì)量評(píng)價(jià)方法更加簡(jiǎn)單迅速。

據(jù)此，本文選取‘db40’小波為跳頻信號(hào)小波去噪的小波基，并對(duì)跳頻信號(hào)進(jìn)行檢測(cè)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖1、圖2所示。

圖1 短時(shí)傅里葉變換

圖2 W-H算法

從仿真結(jié)果中可以看到，利用W-H算法檢測(cè)的跳頻信號(hào)在抗噪性與時(shí)頻聚集性兩方面的性能優(yōu)于常用的短時(shí)傅里葉變換。同時(shí)也證明了改進(jìn)的最優(yōu)小波基選取方法在選取最優(yōu)小波基方面有較好的性能。

7 結(jié)論

本文在小波分解與希爾伯特-黃變換的跳頻信號(hào)檢測(cè)方法的基礎(chǔ)上，對(duì)小波去噪過(guò)程中的最優(yōu)小波基的選取作了深入研究。通過(guò)對(duì)分解過(guò)程中重構(gòu)信號(hào)信噪比的盲估計(jì)，利用改進(jìn)的信噪比與信噪比增益的方法對(duì)小波基進(jìn)行篩選，解決了非合作通信條件下，傳統(tǒng)小波去噪質(zhì)量評(píng)價(jià)方法因信號(hào)真值未知而無(wú)法使用的問(wèn)題，對(duì)非合作通信條件下最佳小波基的選取問(wèn)題提供了新的解決方案。同時(shí)將其應(yīng)用到跳頻信號(hào)檢測(cè)中，仿真實(shí)驗(yàn)證明了該方法極大地提高了跳頻信號(hào)檢測(cè)的性能。