廣義大型互聯(lián)線性系統(tǒng)的分散迭代學(xué)習(xí)控制

杜莉莉， 傅 勤*， 顧盼盼， 李向東

（1.蘇州科技大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，江蘇 蘇州 215009；2.華南理工大學(xué) 自動化科學(xué)與工程學(xué)院，廣東 廣州 510640）

自從Arimoto 等人[1]首次提出完整的控制算法以來，迭代學(xué)習(xí)控制（Iterative Learning Control，簡稱ILC）已成為近年來控制理論研究的熱點問題，并引起人們的廣泛關(guān)注[2-3]。迭代學(xué)習(xí)控制適用于在有限時間區(qū)間內(nèi)具有重復(fù)運動性質(zhì)的受控系統(tǒng)，通過反復(fù)迭代修正，使得系統(tǒng)的輸出軌跡沿迭代軸方向收斂于給定的期望軌跡。

廣義系統(tǒng)是一類較正常系統(tǒng)形式更為一般化的動力系統(tǒng)，被廣泛應(yīng)用于電子網(wǎng)絡(luò)、經(jīng)濟系統(tǒng)、社會系統(tǒng)、生物系統(tǒng)等領(lǐng)域中[4-7]。近年來，許多具有重復(fù)運動性質(zhì)的實際問題，例如工業(yè)機器人等[8-9]，都是由廣義系統(tǒng)模型來刻畫的，由此，研究廣義系統(tǒng)的迭代學(xué)習(xí)控制問題是有意義的。由于廣義系統(tǒng)含有正常系統(tǒng)所不具有的脈沖項，對其學(xué)習(xí)控制設(shè)計時，會較正常系統(tǒng)困難些。借助于廣義系統(tǒng)的正則性條件，文獻[10-13]討論了線性廣義系統(tǒng)的迭代學(xué)習(xí)控制問題，并給出相應(yīng)的收斂性條件。最近，文獻[14-15]基于矩陣奇異值分解，將廣義系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為等價的微分代數(shù)系統(tǒng)，并在通常的初值假設(shè)條件下，給出一種由D 型算法和P 型算法混合而成的新型學(xué)習(xí)律（稱之為D-P 型），有效地解決了線性廣義系統(tǒng)的狀態(tài)跟蹤問題。這種新算法無需依賴系統(tǒng)的正則性條件，因而使用起來也較為簡單實用。

大型互聯(lián)系統(tǒng)是由互相關(guān)聯(lián)的子系統(tǒng)組成的一個復(fù)合系統(tǒng)，在許多實際控制問題中，系統(tǒng)模型都具有大系統(tǒng)形式。由于其實現(xiàn)的可靠性、實時性和經(jīng)濟性，分散控制已成為大型系統(tǒng)理論中一個活躍分支[16]。在這種分散控制方案中，每個子系統(tǒng)的控制器僅依賴于該子系統(tǒng)的狀態(tài)變量，不需要與其他子系統(tǒng)交換信息，利于工程實現(xiàn)。近年來，大型互聯(lián)線性系統(tǒng)的分散控制設(shè)計得到了較為深入的研究[17-18]。最近，基于迭代學(xué)習(xí)控制的大型互聯(lián)系統(tǒng)的分散控制問題引起了大家的關(guān)注，文獻[19-23]研究了大型互聯(lián)系統(tǒng)的分散迭代學(xué)習(xí)控制問題。

廣義大型互聯(lián)系統(tǒng)是由廣義系統(tǒng)互聯(lián)而成的一類復(fù)合系統(tǒng)。文獻[24-25]借助于分散控制方法，討論了廣義大型互聯(lián)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和鎮(zhèn)定設(shè)計問題。然而，由于廣義大型互聯(lián)系統(tǒng)的復(fù)雜性，就迭代學(xué)習(xí)控制設(shè)計而言，尚未涉及到廣義大型互聯(lián)系統(tǒng)。筆者提出廣義大型互聯(lián)線性系統(tǒng)的迭代學(xué)習(xí)控制問題，研究一類廣義大型互聯(lián)線性系統(tǒng)的分散迭代學(xué)習(xí)控制，借助于文獻[14-15]中采用的矩陣奇異值分解方法，將該類廣義大型互聯(lián)線性系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為等價的微分代數(shù)系統(tǒng)，再將轉(zhuǎn)化后的系統(tǒng)輸入與狀態(tài)寫成矩陣形式，通過構(gòu)建分散型的D-P 型學(xué)習(xí)控制算法，說明迭代系統(tǒng)的狀態(tài)沿迭代軸方向一致收斂于給定的期望軌跡。

文中給出如下符號約定：對矩陣Bi∈Rmi×ni，B＝blockdiag（B1，B2，…，BN）表示塊對角矩陣；對矩陣A∈Rn×n，記||A||為矩陣A 的2-范數(shù)，即其中ρ（ATA）為矩陣ATA 的譜半徑；對向量定義x（t）的上確界范數(shù)這里||x（t）||為x（t）的2-范數(shù)；對給定的λ＞0，定義x（t）的λ-范數(shù)由文獻[26]可知，范數(shù)||x（t）||S與||x（t）||λ是等價的，即可用其中任一種范數(shù)證明收斂性結(jié)果。記I 為單位矩陣。

1 問題描述

考慮如下具有重復(fù)運動性質(zhì)的廣義大型互聯(lián)線性系統(tǒng)[24-25]

這里i＝1，2，…，N 表示各個子系統(tǒng)，t∈[0，T]。xik（t）∈Rni，uik（t）∈Rmi分別為第i 個子系統(tǒng)在第k 次重復(fù)運動時的狀態(tài)、控制輸入，Ei∈Rni×ni是奇異矩陣，且rank（Ei）＝ri＜ni，Ai∈Rni×ni,Bi∈Rni×mi，Dij∈Rni×nj是實矩陣。記

對于給定時間區(qū)間t∈[0，T]上的期望軌跡xid（t），學(xué)習(xí)控制的目的是設(shè)計適當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)律，使得當(dāng)?shù)螖?shù)k→∞時，系統(tǒng)的狀態(tài)序列xik（t）在t∈[0，T]上收斂于理想的狀態(tài)xid（t），即其中eik（t）＝xid（t）-xik（t），i＝1，2，…，N。

對系統(tǒng)（1）作出如下假設(shè)條件：

假設(shè)1對于給定的期望軌跡xid（t），存在uid（t），使得

成立，i＝1，2，…，N。

假設(shè)2每次迭代時，系統(tǒng)的初始狀態(tài)取為固定值xid（0），即

其中，k 為迭代次數(shù)，i＝1，2，…，N。

注1假設(shè)1、2 是研究迭代學(xué)習(xí)控制問題的常用假設(shè)條件。

價形式式中i＝1，2，…，N。將上式寫成矩陣形式，有

其中

2 學(xué)習(xí)算法

文中采用如下形式的D-P 型迭代學(xué)習(xí)控制算法[14]

記Δuik（t）＝uid（t）-uik（t），由（4）式可得

再記Δuk（t）＝（Δu1k（t）TΔu2k（t）T…ΔuNk（t）T）T，則

注意到系統(tǒng)（1）與（3）等價，下面對系統(tǒng)（3）給出文中的主要結(jié)論及相應(yīng)證明。

定理1假設(shè)1、2 及（4）式成立，若可逆且存在增益矩陣Γ1、Γ2使得

證明因為可逆，系統(tǒng)（3）中第二式可化為

（7）式與（9）式相減，可得

（8）式與（10）式相減，可得

將（11）、（12）式代入（5）式，有

對（13）式兩端取λ－范數(shù)，可得

將（8）式和（10）式兩端都對變量t由0到t積分，有

兩式相減，并利用假設(shè)2 得

上式兩端取2-范數(shù)，有

上式兩端同乘e-λt，則

由λ－范數(shù)的定義知

結(jié)合（15）式和（16）式，可以得到

由于

即

從而

由2-范數(shù)和上確界范數(shù)的定義，可得

另一方面，（11）式結(jié)合（16）、（17）式，有

類似于（18）式的推導(dǎo)，有

結(jié)合（18）、（19）式，可知

證畢。

3 仿真算例

考慮如下形式的廣義大型互聯(lián)線性系統(tǒng)

對給定的期望軌跡

取初始控制u10（t）=u20（t）=0。在學(xué)習(xí)算法（4）式的作用下，利用Mathematica 軟件進行仿真分析，得到圖1 和圖2。

圖1 x1k 的跟蹤誤差

圖2 x2k 的跟蹤誤差

圖1 和圖2 分別表示子系統(tǒng)1 和2 的狀態(tài)跟蹤誤差隨迭代次數(shù)變化曲線，從圖中可以看出，隨著迭代次數(shù)的增加，廣義大型互聯(lián)線性系統(tǒng)的各個子系統(tǒng)的狀態(tài)跟蹤誤差在學(xué)習(xí)算法（4）式的作用下沿迭代軸方向趨近于零。

4 結(jié)語

文中研究一類廣義大型互聯(lián)線性系統(tǒng)的狀態(tài)跟蹤問題。利用矩陣奇異值分解的方法，將廣義大型互聯(lián)線性系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為等價的微分代數(shù)系統(tǒng)。針對微分代數(shù)系統(tǒng)，構(gòu)建得到一種D-P 型的迭代學(xué)習(xí)控制算法。理論分析表明，所給算法在一定條件下是收斂的，經(jīng)過不斷迭代，系統(tǒng)的狀態(tài)能漸近的跟蹤期望軌跡。同時，仿真算例也說明了算法的有效性。