基于空間笛卡爾坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換的三軸一體光纖陀螺標(biāo)定數(shù)學(xué)建模*

趙桂玲,姜雨含,李 松

(遼寧工程技術(shù)大學(xué)測繪與地理科學(xué)學(xué)院, 遼寧阜新 123000)

0 引言

光纖陀螺(fiber optic gyroscope,FOG)以其啟動時間短、動態(tài)范圍大、抗沖擊、壽命長、測量精度高等優(yōu)點在捷聯(lián)慣性導(dǎo)航系統(tǒng)(strap-down inertial navigation system,SINS)中得到快速發(fā)展和廣泛應(yīng)用[1-2]。作為捷聯(lián)慣性導(dǎo)航系統(tǒng)的核心部件,光纖陀螺標(biāo)定精度直接影響慣性導(dǎo)航系統(tǒng)的工作精度[3-4]。光纖陀螺標(biāo)定精度取決于三軸一體光纖陀螺標(biāo)定數(shù)學(xué)模型精度以及基于數(shù)學(xué)模型的標(biāo)定路徑設(shè)計與參數(shù)估計方法。國內(nèi)外對光纖陀螺標(biāo)定技術(shù)的研究主要集中在:利用慣性測試轉(zhuǎn)臺提供的速率和位置進行分立式標(biāo)定[5]；利用Kalman濾波技術(shù)進行標(biāo)定參數(shù)估計的系統(tǒng)級標(biāo)定方法[6-9]；利用GPS、磁傳感器、光電成像系統(tǒng)等提供的外界輔助信息進行在線標(biāo)定[10-12]。無論哪類載體、哪種方法進行光纖陀螺標(biāo)定,都是在假設(shè)光纖陀螺標(biāo)定模型固定已知的前提下進行理論推導(dǎo)和實驗,鮮有對標(biāo)定模型本身精確性、可靠性及適用性的分析,部分探討與研究也只是分析具體參數(shù)對固定模型的影響[13],缺乏對模型嚴(yán)格準(zhǔn)確的推導(dǎo),而標(biāo)定模型在一定程度上決定了標(biāo)定方法的選擇和標(biāo)定參數(shù)誤差分配,并對系統(tǒng)性能評估具有重要的指導(dǎo)意義。

如果光纖陀螺標(biāo)定模型過于簡化,參數(shù)估計簡單,工程易于實現(xiàn),但不能滿足系統(tǒng)精度的要求；如果將所有認(rèn)知的模型參數(shù)都考慮在內(nèi),又會給實驗室標(biāo)定或系統(tǒng)在線標(biāo)定帶來困難,況且有些系數(shù)在激勵不夠的情況可以忽略。針對以上關(guān)鍵工程應(yīng)用問題,從光纖陀螺標(biāo)定模型的物理意義出發(fā),以光纖陀螺坐標(biāo)系相對載體坐標(biāo)系之間的安裝誤差角為切入點,提出基于空間笛卡爾坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換矩陣的三軸一體光纖陀螺標(biāo)定數(shù)學(xué)建模方法,建立3種工程常用的光纖陀螺標(biāo)定線性數(shù)學(xué)模型,并給出模型中各個參數(shù)的物理意義和模型的適用條件。最后通過仿真和一套光纖陀螺捷聯(lián)慣性導(dǎo)航系統(tǒng)標(biāo)定與導(dǎo)航試驗結(jié)果對3種模型進行比較和分析。

1 數(shù)學(xué)建模

文中從三軸一體光纖陀螺的工程安裝結(jié)構(gòu)出發(fā),兼顧慣性導(dǎo)航系統(tǒng)補償精度和標(biāo)定試驗難度,對三軸一體光纖陀螺進行數(shù)學(xué)建模。

1.1 單軸光纖陀螺數(shù)學(xué)模型

由于光纖陀螺具有標(biāo)度因數(shù)線性度好、動態(tài)和靜態(tài)誤差小等優(yōu)點[14],一般情況下單軸光纖陀螺標(biāo)定常采用線性輸入輸出模型。光纖陀螺沒有與g和g2相關(guān)的誤差項,且忽略隨機誤差的影響,單軸光纖陀螺脈沖輸出與角速率之間的轉(zhuǎn)換模型為:

Ng=Kgωg+D0

(1)

式中:Ng為光纖陀螺脈沖輸出;ωg為光纖陀螺輸入角速率;Kg為光纖陀螺標(biāo)度因數(shù);D0為光纖陀螺零偏。

1.2 空間笛卡爾坐標(biāo)系變換

圖1 兩坐標(biāo)系安裝示意圖

根據(jù)空間笛卡爾坐標(biāo)系基變換公式,可得b系到g系的基變換公式:

(2)

b系到g系的坐標(biāo)變換矩陣:

(3)

2)式(3)是在3個光纖陀螺任意安裝下求得的坐標(biāo)系變換矩陣,一般情況下,g系3個軸與b系對應(yīng)軸在空間笛卡坐標(biāo)系內(nèi)成小角度安裝,此時:

(4)

式(3)可簡化為:

(5)

3)式(5)是式(3)下的一種特例與簡化,更進一步,假設(shè)g系3個軸與b系對應(yīng)軸在空間笛卡坐標(biāo)系內(nèi)不但成小角度安裝,且g系3個軸正交安裝,即g系構(gòu)成空間笛卡爾直角坐標(biāo)系,則:

cosθmgnb=-cosθngmb;m≠n;m,n=i,j,k

(6)

(7)

此時,b系到g系的坐標(biāo)系變換,也可以通過圖2的3次旋轉(zhuǎn)實現(xiàn)。

圖2 b系到g系的坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)

將3次旋轉(zhuǎn)表述成3個獨立的方向余弦陣,b系到g系的變換用3個獨立的方向余弦陣乘積表示。

(8)

當(dāng)旋轉(zhuǎn)角ψ、θ、φ為小角度時,對式(8)進行化簡,并忽略二階以上小量,可得:

(9)

對標(biāo)定而言,式(7)和式(9)具有相同的表現(xiàn)形式,但兩矩陣元素Cij(i≠j)表達的物理意義卻不同,對于小角度轉(zhuǎn)動,

(10)

1.3 三軸一體光纖陀螺數(shù)學(xué)模型

三軸一體光纖陀螺是一種將慣性導(dǎo)航所需3個正交方向的陀螺設(shè)計成一體化的光纖陀螺,根據(jù)單軸光纖陀螺數(shù)字量與角速率之間的轉(zhuǎn)換模型,將三軸一體光纖陀螺模型寫成矢量形式:

Ng=Kgwg+D0

(11)

式中:

(12)

式中：wg是角速率矢量在陀螺坐標(biāo)系g系下的投影,而慣性導(dǎo)航解算需要的是角速率矢量在載體坐標(biāo)系b系下的投影wb,由于安裝誤差的存在,wb與wg之間存在如下關(guān)系:

(13)

將式(13)代入式(11),可得三軸一體光纖陀螺靜態(tài)輸入輸出標(biāo)定數(shù)學(xué)模型為:

(14)

(15)

(16)

2 六位置光纖陀螺標(biāo)定

圖3 光纖陀螺標(biāo)定路徑設(shè)計

(17)

根據(jù)6個位置的光纖陀螺脈沖輸出,可以計算出三軸一體光纖陀螺標(biāo)定數(shù)學(xué)模型參數(shù):

(18)

(19)

(20)

將式(19)～式(20)計算出的標(biāo)定模型參數(shù)代入式(16),則可以根據(jù)任意的光纖陀螺脈沖輸出計算光纖陀螺的輸入角速率wb。

(21)

(22)

(23)

3 仿真及實驗分析

3.1 計算機仿真

采用六位置標(biāo)定方法對三軸一體光纖陀螺進行標(biāo)定,忽略轉(zhuǎn)臺定位誤差、加速度計誤差、初始對準(zhǔn)誤差等對系統(tǒng)的影響,在靜止條件下分析光纖陀螺簡化模型標(biāo)定數(shù)學(xué)模型對系統(tǒng)的影響。仿真條件如下:

簡化的光纖陀螺標(biāo)定數(shù)學(xué)模型對姿態(tài)、速度、位置的影響如圖4～圖9所示:

圖4 3個安裝誤差角簡化模型對姿態(tài)的影響

圖5 3個安裝誤差角簡化模型對速度的影響

圖6 3個安裝誤差角簡化模型對位置的影響

從仿真圖可以看出:在0.1o隨機安裝誤差條件下,簡化的三軸一體光纖陀螺標(biāo)定數(shù)學(xué)模型引起捷聯(lián)慣性導(dǎo)航系統(tǒng)速度誤差、位置誤差和姿態(tài)誤差。簡化為3個安裝誤差角形式的標(biāo)定數(shù)學(xué)模型引起的系統(tǒng)導(dǎo)航誤差大于6個安裝誤差角形式的標(biāo)定數(shù)學(xué)模型引起的系統(tǒng)導(dǎo)航誤差。兩種簡化形式的標(biāo)定數(shù)學(xué)模型均引起隨時間增長的位置誤差。

3.2 轉(zhuǎn)臺實驗

將光纖陀螺捷聯(lián)慣性導(dǎo)航系統(tǒng)置于三軸慣性測試轉(zhuǎn)臺,轉(zhuǎn)臺角位置精度3 ″?？刂妻D(zhuǎn)臺按照圖3設(shè)計的光纖陀螺標(biāo)定路徑進行旋轉(zhuǎn),每個位置停留2 min,采集光纖陀螺輸出,按照式(17)～式(23)分別對3種數(shù)學(xué)模型進行參數(shù)分解,并將計算結(jié)果代入捷聯(lián)慣性導(dǎo)航系統(tǒng)進行導(dǎo)航解算,導(dǎo)航結(jié)果如圖10所示。

圖7 6個安裝誤差角簡化模型對姿態(tài)的影響

圖8 6個安裝誤差角簡化模型對速度的影響

圖9 6個安裝誤差角簡化模型對位置的影響

三軸一體光纖陀螺標(biāo)定數(shù)學(xué)模型采用的安裝誤差角為9個、6個和3個時,靜態(tài)導(dǎo)航定位誤差分別為4.15 nmile/40 h、6.02 n mile/40 h合20.21 n mile/40 h。3個安裝誤差角形式的光纖陀螺標(biāo)定數(shù)學(xué)模型引起的定位誤差遠大于6個安裝誤差角形式的標(biāo)定模型和9個安裝誤差角形式的標(biāo)定模型引起的定位結(jié)果。實驗誤差大于仿真結(jié)果,這是因為在標(biāo)定實驗和導(dǎo)航實驗中,不可避免的會存在加速度計誤差、轉(zhuǎn)臺定位誤差、初始對準(zhǔn)誤差等,這些都對導(dǎo)航結(jié)果產(chǎn)生一定的影響。

圖10 導(dǎo)航定位誤差

4 結(jié)論

文中提出一種基于空間笛卡爾坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換矩陣的三軸一體光纖陀螺標(biāo)定數(shù)學(xué)建模方法,建立了3種光纖陀螺標(biāo)定數(shù)學(xué)模型,給出模型中各個參數(shù)的物理意義,并通過六位置標(biāo)定方法對3種數(shù)學(xué)模型中的參數(shù)進行標(biāo)定。計算機仿真及實驗結(jié)果表明:簡化的光纖陀螺標(biāo)定數(shù)學(xué)模型對系統(tǒng)速度、位置、和姿態(tài)都有影響,影響的大小與光纖陀螺標(biāo)定誤差模型參數(shù)有關(guān),模型參數(shù)越多,模型越精確,引起的導(dǎo)航誤差越小,越能滿足精度要求。