高等代數(shù)課程中抽象思維及方法論教學(xué)探討

夏春光

摘要：高等代數(shù)課程注重抽象思維的訓(xùn)練，同時也注重數(shù)學(xué)方法的運用。本文以特定內(nèi)容探討抽象思維與數(shù)學(xué)方法在高等代數(shù)課程中的教學(xué)。具體而言，一方面以一些代數(shù)基本概念的漸次演變來探討抽象思維的教學(xué)，另一方面，以化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的幾種典型與非典型方法來探討數(shù)學(xué)方法的教學(xué)。

關(guān)鍵詞：高等代數(shù);抽象思維;方法論

doi：10.16083/j.cnki.1671-1580.2019.05.023

中圖分類號：G642 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1671-1580（2019）05-0095-04

一、前言

高等代數(shù)是高等院校本科數(shù)學(xué)專業(yè)最重要的基礎(chǔ)課程之一。該課程在國內(nèi)大多數(shù)教材中通常包含以下主要教學(xué)單元：多項式理論，行列式理論，線性方程組理論，矩陣理論，二次型理論，線性空間理論，線性變換理論，歐式空間理論以及若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型理論及雙線性代數(shù)理論。大多數(shù)教材都是穿插安排數(shù)學(xué)方法與計算及代數(shù)概念的抽象及邏輯思維訓(xùn)練。在席南華院士著的教材《基礎(chǔ)代數(shù)》中，講解的內(nèi)容更加系統(tǒng)和深入，該教材第一卷側(cè)重數(shù)學(xué)方法與計算，第一卷的第五章及第二卷側(cè)重代數(shù)概念的抽象及邏輯思維訓(xùn)練。

在高等代數(shù)主要教學(xué)單元中，有的側(cè)重抽象思維及邏輯思維訓(xùn)練，比如：多項式理論中的基礎(chǔ)概念引入部分蘊含著域、環(huán)、群的漸次抽象，線性方程組理論中線性組合、線性表示、線性相關(guān)、線性無關(guān)等核心概念的敘述，線性空間理論中線性空間概念八條公理的結(jié)構(gòu)性展示，歐式空間中歐式空間概念四條公理的幾何化引入。本文將以域、環(huán)、群的漸次抽象演變來探討高等代數(shù)課程中代數(shù)概念的抽象思維的教學(xué)。

高等代數(shù)課程教學(xué)還強調(diào)數(shù)學(xué)方法與計算。比如：多項式理論中帶余除法及輾轉(zhuǎn)相除法的計算，行列式計算中常用計算方法及特殊行列式的計算技巧，二次型理論中化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的三種典型方法，線性變換理論與矩陣理論中線性變換與矩陣的對應(yīng)關(guān)系。大多數(shù)教材都包括化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的三種典型方法：配方法、合同變換法、正交相似對角化法。此外，還有一些非典型方法，比如雅克比法、偏導(dǎo)數(shù)法等。本文還將以高等代數(shù)課程中化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的典型與非典型方法來探討數(shù)學(xué)方法的教學(xué)。

二、抽象思維的教學(xué)探討

本節(jié)將以域、環(huán)、群的漸次抽象演變來探討高等代數(shù)課程中代數(shù)概念的抽象思維的教學(xué)。在多項式理論引入基礎(chǔ)概念時蘊含著域、環(huán)、群的漸次抽象。在席南華院士所著的教材《基礎(chǔ)代數(shù)》第一卷中，專門有第五章進行了講解。

（一）常見數(shù)集四則運算表

以下我們用字母N、Z、Q、R、C分別表示中學(xué)階段學(xué)過的自然數(shù)集（含數(shù)字O）、整數(shù)集、有理數(shù)集、實數(shù)集、復(fù)數(shù)集?？紤]這些集合對四則運算的封閉性，用符號F及BF分別表示四則運算的封閉與否，很容易得出表1。

（二）第一次抽象

觀察上述表格，關(guān)注數(shù)集對四則運算的封閉性。可以看出，有理數(shù)集、實數(shù)集、復(fù)數(shù)集對于加、減、乘、除均是封閉的，并且在這三個數(shù)集中都含有數(shù)字0和1。由此，給大一新生講解數(shù)域概念時，可以自然地稱滿足這樣特點的數(shù)集就為“數(shù)域”。同樣地，可以看出整數(shù)集除了除法運算都是封閉的，并且也含有數(shù)字0和1，可以自然地稱滿足這樣特點的數(shù)集就為“數(shù)環(huán)”。這樣就容易讓學(xué)生從中學(xué)熟悉的知識過渡到大學(xué)知識。這也讓學(xué)生們更容易理解，為什么在高中時就經(jīng)常聽老師說有理數(shù)域、實數(shù)域、復(fù)數(shù)域了，原因是它們確實是數(shù)域。當(dāng)然，進行概念的抽象時，我們還應(yīng)關(guān)注新的概念是否包含非平凡的例子。事實上，我們可以構(gòu)造如下的集合。

從數(shù)域的定義，我們知道復(fù)數(shù)域是最大的數(shù)域，且容易證明有理數(shù)域是最小的數(shù)域，而實數(shù)域是介于有理數(shù)域與復(fù)數(shù)域之間的常見數(shù)域。上述例1就是一個介于有理數(shù)域與復(fù)數(shù)域之間的且不同于實數(shù)域的非平凡的例子，常稱為高斯數(shù)域。同樣道理，上述例2是一個不同于整數(shù)環(huán)的例子，常稱為高斯整環(huán)。

（三）第二次抽象

在第一次抽象的基礎(chǔ)上，關(guān)注運算律及特殊元的存在性。我們注意到，數(shù)域有兩種運算，一種是加法“+”，另一種是乘法“×”，加法滿足結(jié)合律，交換律、含有數(shù)字0，每個數(shù)相對于加法存在負數(shù)，乘法滿足結(jié)合律、交換律，含有數(shù)字1，每個非零數(shù)相對于乘法存在倒數(shù)，此外，乘法對加法滿足分配律。將上述特點抽象出來就可以給出下述一般域的定義，去掉了“數(shù)”這個定語。

上述例3是最簡單而又最重要的有限Galois域，其在密碼編碼學(xué)中具有重要的應(yīng)用。日常生活中也常見其身影，比如計算機處理數(shù)據(jù)使用的二進制，還比如全世界都在使用的星期計時用的七進制。上述例4是高等代數(shù)教學(xué)中需要重點講解的，在整個高等代數(shù)理論中起著重要作用的數(shù)學(xué)工具。

（四）第三次抽象

在第二次抽象的基礎(chǔ)上，關(guān)注運算名稱，我們注意到域的兩種運算均滿足相同的運算律，均含有平行的特殊元（如加法零元與乘法幺元，加法負元與乘法逆元）。將這些共性抽象出來就可以得到群的概念：群含有一種運算，常稱為乘法“·”，此運算封閉，且滿足結(jié)合律，含有單位元，每個元都有逆元。進一步，如果要求群運算滿足交換律就稱為交換群，即Abel群。另外，如果不要求逆元的存在性，就抽象出了半群的定義。在這一層次，我們可觀察下面的例子。

上述例5稱為4階二面體群，其可看成保持正方形不變的2個旋轉(zhuǎn)（順時針旋轉(zhuǎn)90度，逆時針旋轉(zhuǎn)90度）和2個反射（上下反射，左右反射）所組成的非交換群。上述例6是最簡單的半群，也就是說，從幼兒園時期，老師家長就在口口相傳的1加1等于2這些口訣，實際上是最基本的代數(shù)單元：半群。

（五）抽象思維的教學(xué)注意點

從上述三次具體的抽象過程可以看出，教師在實際教學(xué)過程中，對于抽象概念的講解引入應(yīng)當(dāng)注重：1.由淺入深，由學(xué)生熟悉的知識逐漸過渡到新的概念;2.抽象過程應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生在一定程度上抓住原始概念某些方面的本質(zhì)，并賦予“新的”具有代表性的名稱;3.抽象過程應(yīng)當(dāng)是真正意義上的抽象，而不能僅僅是換個名稱，應(yīng)當(dāng)舉出實例讓學(xué)生明白，這一過程確實進行了抽象，確實包含了原始概念不能覆蓋的情形，從而將多個概念放到一個更大的框架下進行認識，提升學(xué)生的認識問題的深度。