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    例談旋轉(zhuǎn)法在幾何中的應(yīng)用

    2019-06-05 02:54:32湖北省武漢市第二初級中學
    數(shù)學大世界 2019年9期
    關(guān)鍵詞:旋轉(zhuǎn)法正三角形逆時針

    湖北省武漢市第二初級中學 寇 峰

    【旋轉(zhuǎn)法的概念】在平面內(nèi),將一個圖形繞一個定點沿某個方向轉(zhuǎn)動一個角度成為與原來相等的圖形,這樣的圖形運動叫作圖形的旋轉(zhuǎn)。

    【旋轉(zhuǎn)法的性質(zhì)】對應(yīng)線段、對應(yīng)角的大小不變,對應(yīng)線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角。特別是要注意旋轉(zhuǎn)過程中三角形與整個圖形的特殊位置。

    【旋轉(zhuǎn)法的要點】旋轉(zhuǎn)時要注意旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角度的大小,即三要素:中心,方向,大小。

    【旋轉(zhuǎn)法的應(yīng)用】揭示幾何圖形的性質(zhì)或幾何量之間的內(nèi)在聯(lián)系,把分散的元素通過旋轉(zhuǎn)集中起來,從而為證題創(chuàng)造必要的條件。旋轉(zhuǎn)方法常用于等腰直角三角形、等邊三角形及正方形等圖形中(這三種圖形在旋轉(zhuǎn)過程中分別旋轉(zhuǎn)90°、60°和90°),多與三角形全等、相似、勾股定理、特殊三角形和四邊形的性質(zhì)與判定等相結(jié)合。

    一、正三角形

    思想:在正三角形ABC 中,P 為△ABC 內(nèi)一點,將△ACP 繞A點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°,使得AC 與AB 重合。經(jīng)過這樣旋轉(zhuǎn)變化,將圖1 中的PA、PB、PC 三條線段集中于圖2 中的一個△P'BP 中,此時△P'AP 也為正三角形。

    圖1

    圖2

    例1 如圖1:設(shè)P 是等邊三角形ABC 內(nèi)的一點,PA=3,PB=4,PC=5,則∠APB 的度數(shù)是________。

    簡解:將△ACP 繞A 點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°,使得AC 與AB重合。經(jīng)過這樣旋轉(zhuǎn)變化,將圖1 中的PA、PB、PC 三條線段集中于圖2 中的一個△P'CP 中,此時△P'AP 也為正三角形。所以有∠APP'=60°,而∠P'PB=90°,從而有∠APB=60°+90°=150°。

    二、正方形

    思想:在正方形ABCD 中,P 為正方形ABCD 內(nèi)一點,將△PAB繞A 點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°,使得AB 與AD 重合。經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變化,將圖3 中的PA、PB、PC 三條線段關(guān)系集中于圖4 中的△DEP 中,此時△AEP 為等腰直角三角形。

    例2 如圖3:P 是正方形ABCD 內(nèi)一點,點P 到正方形的三個頂點A、B、C 的距離分別為PA=1,PB=2,PC=3。求此正方形ABCD 的面積。

    圖3

    圖4

    簡解:將△ABP 繞A 點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°,使得AB 與AD重合。經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變化,得△APE 為等腰直角三角形;又將△CBP 繞C 點按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°,使得CD 與CB 重合。經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變化,得△CPF 為等腰直角三角形(如圖4)。

    由勾股定理的逆定理得,三角形EPF 為直角三角形,且∠FEP=90°。

    三、等腰直角三角形

    思想:在等腰直角三角形△ABC 中,∠ACB=90°,若P 為△ABC內(nèi)一點(如圖5),將△APC 繞C 點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°,使得AC 與BC 重合。經(jīng)過這樣旋轉(zhuǎn)變化,在圖6 中的一個△P'CP 為等腰直角三角形。

    例3 如圖5,在△ABC 中,∠ACB=90°,BC=AC,P 為△ABC內(nèi)一點,且PA=3,PB=1,PC=2。求∠ BPC 的度數(shù)。

    圖5

    圖6

    簡解:將△APC 繞C 點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°,使得AC 與BC 重合。經(jīng)過這樣旋轉(zhuǎn)變化,得△P'CP 為等腰直角三角形,于是有,且°,所以∠BPC=90°+45°=135°。

    四、求組合三角形面積類型

    例4 (2011 全國初中數(shù)學競賽題)如圖7,正方形ABCD 的邊長為1,點P、Q 分別是其內(nèi)兩點,且∠PAQ=∠PCQ=45°,求S△ABP+S△PCQ+S△QAD的值。

    圖7

    解:將△ADQ 繞點A 按順時針旋轉(zhuǎn)90°到△ABE 的位置,將△CDQ 繞點C 按逆時針旋轉(zhuǎn)90°到△BCF 的位置,連接EQ、FQ。

    ∴AE=AQ,CF=CQ,∠FBC=∠CDQ,∠ABE=∠ADQ。

    ∵四邊形ABCD 是正方形,

    ∴∠FBC+∠ABE=∠CDQ+∠ADQ=90°,

    ∵∠ABC=90°,∴∠FBC+∠ABE+∠ABC=180°,∴B,E,F(xiàn) 三點共線,∴BE=DQ=BF。

    又連接EP,F(xiàn)P,∴S△PBF=S△PBE。

    ∵∠PAQ=∠PCQ=45°,∠1=∠3,∠4=∠6,

    ∴∠2+∠3=∠5+∠6=45°,

    可證:△CFP ≌△CPQ,△AEP ≌△APQ,

    ∴S△AEP=S△APQ,S△CFP=S△CPQ,

    S正方形ABCD=S五邊形AEFCQ,

    因 為S△ABP+S△PCQ+S△QAD=×2(S△AEP+S△EBP+ S△CFP)=×2×=,所以S△ABP+S△PCQ+S△QAD=。

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