高速無人駕駛車輛的操控穩(wěn)定性研究*

劉 凱，陳慧巖，龔建偉，陳舒平，張 玉

（北京理工大學(xué)機(jī)械與車輛學(xué)院，北京 100081）

前言

隨著計(jì)算機(jī)信息處理技術(shù)和傳感器技術(shù)的進(jìn)步，基于高效環(huán)境感知的無人駕駛車輛技術(shù)迅速發(fā)展，并在軍事及商業(yè)應(yīng)用領(lǐng)域取得了長(zhǎng)足的進(jìn)步［1］。未來無人駕駛車輛發(fā)展的一個(gè)重要趨勢(shì)是提高無人駕駛車輛的行駛速度，使之在高速條件下具有良好的穩(wěn)定性和安全性［2-3］。然而，高速無人駕駛車輛的操控穩(wěn)定性受到高度非線性的車輛動(dòng)力學(xué)特性約束，特別是在低附著路面或存在復(fù)雜曲率的道路上行駛時(shí)，容易發(fā)生側(cè)滑甚至導(dǎo)致車輛失控，嚴(yán)重威脅著無人駕駛車輛及乘員的安全［4］。因此，通過系統(tǒng)地考慮高速車輛的非線性動(dòng)力學(xué)特性以及復(fù)雜道路條件的影響，研究高速無人駕駛車輛的操控穩(wěn)定性，成為無人駕駛車輛發(fā)展的關(guān)鍵技術(shù)。

目前，模型預(yù)測(cè)控制由于具備能夠系統(tǒng)地考慮模型非線性，且易于處理多約束優(yōu)化問題等優(yōu)勢(shì)，在無人駕駛車輛的運(yùn)動(dòng)規(guī)劃與控制等領(lǐng)域得到廣泛的應(yīng)用［5-6］。然而，模型預(yù)測(cè)控制方法通常依賴車輛本身的穩(wěn)定性操控系統(tǒng)，如電子穩(wěn)定控制（ESC）等來防止車輛失穩(wěn)。這就導(dǎo)致經(jīng)過車載系統(tǒng)調(diào)整后的軌跡無法保證車輛的無碰撞行駛。針對(duì)這一問題，將滑移包絡(luò)線等車輛操控穩(wěn)定性約束與模型預(yù)測(cè)控制相結(jié)合的軌跡跟蹤方法被廣泛用于保證無人駕駛車輛在接近速度極限下的行駛安全［7-8］。但該方法沒有充分考慮地面附著力以及道路曲率對(duì)車輛操控穩(wěn)定性的影響。此外，相較于常規(guī)速度，高速下的無人駕駛車輛需更長(zhǎng)的預(yù)測(cè)時(shí)域和更高的實(shí)時(shí)性來保證行駛安全［9］。然而，使用非線性動(dòng)力學(xué)模型描述車輛運(yùn)動(dòng)所導(dǎo)致的計(jì)算復(fù)雜度是阻礙其推廣應(yīng)用的重要原因。

針對(duì)上述問題，本文中在深入研究地面附著條件和道路曲率對(duì)車輛轉(zhuǎn)向特性和穩(wěn)定性影響的基礎(chǔ)上，建立了考慮道路曲率的高速車輛等效動(dòng)力學(xué)模型，并提出一種變步長(zhǎng)的模型離散化方法，能在保證車輛模型預(yù)測(cè)精度的基礎(chǔ)上，實(shí)現(xiàn)較長(zhǎng)的預(yù)測(cè)時(shí)域，并滿足計(jì)算實(shí)時(shí)性的要求。通過分析車輛穩(wěn)態(tài)行駛時(shí)的最大橫擺角速度和輪胎最大側(cè)偏力，得出了高速無人駕駛車輛滑移穩(wěn)定的約束條件，并得出了車輛在道路內(nèi)行駛的環(huán)境約束條件。最后將在高速和滑移等復(fù)雜約束下的無人駕駛車輛操控穩(wěn)定性操控問題轉(zhuǎn)化為二次型優(yōu)化問題，并運(yùn)用模型預(yù)測(cè)控制算法實(shí)時(shí)計(jì)算滿足約束條件的車輛無碰撞運(yùn)動(dòng)軌跡及控制序列，從而保證車輛行駛安全與操控穩(wěn)定性。

1 車輛動(dòng)力學(xué)建模

高速車輛的等效動(dòng)力學(xué)建模是研究其軌跡跟蹤控制及操控穩(wěn)定性的基礎(chǔ)?？紤]道路曲率對(duì)高速車輛轉(zhuǎn)向特性和行駛穩(wěn)定性的影響，建立高速車輛等效動(dòng)力學(xué)模型，如圖1所示。

考慮高速行駛的特性，車輛前輪偏角δf和車輛與參考路徑之間的航向角偏差eψ采用小角度假設(shè)，車輛的動(dòng)力學(xué)模型為

圖1 車輛動(dòng)力學(xué)模型

式中：vx，vy分別為車體質(zhì)心處的縱向和橫向速度；Fyf，F(xiàn)yr為前輪和后輪的側(cè)向力；r為車體航向角變化率；m為車輛質(zhì)量；Iz為車身繞z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；κ為參考道路的曲率；lf，lr分別為車輛質(zhì)心到前軸和后軸的距離；ey為車輛與參考路徑的橫向距離偏差；ψ和ψr為車體航向角和參考路徑切向角。式（1）中的非線性因素主要來自輪胎側(cè)向力，本文中采用Pacejka提出的Brush輪胎模型［10］計(jì)算輪胎側(cè)向力Fy：

式中：α為輪胎側(cè)偏角；Cα為輪胎的側(cè)偏剛度。

當(dāng)路面的摩擦因數(shù)μ及輪胎垂直載荷Fz確定后，輪胎側(cè)向力Fy可簡(jiǎn)化為輪胎的等效側(cè)偏剛度與輪胎側(cè)偏角α的線性模型：

由于此線性輪胎模型只在輪胎側(cè)向力的線性區(qū)域內(nèi)有效，如圖2所示。因此，在應(yīng)用中需要限制輪胎側(cè)偏角的閾值αt。輪胎的側(cè)偏角α和等效側(cè)偏剛度ˉ可通過實(shí)時(shí)參數(shù)估計(jì)方法得到［11］。

圖2 輪胎側(cè)向力與側(cè)偏角的關(guān)系

式中：h為車輛質(zhì)心相對(duì)于底盤的高度；ax為車輛的縱向加速度。

通過小角度假設(shè)可近似得到車輛前后輪胎的側(cè)偏角 αf和 αr：

綜合式（1）～式（7），令 ξ=［vyr eyeψ］T為狀態(tài)向量，u1=δf為控制輸入量，u2=κ為附加輸入，可得到考慮道路曲率和路面傾角的高速車輛等效動(dòng)力學(xué)模型：

2 變步長(zhǎng)的模型離散化方法

由于高速時(shí)的無人駕駛車輛軌跡跟蹤比常速時(shí)需要更長(zhǎng)的預(yù)測(cè)時(shí)域來應(yīng)對(duì)環(huán)境變化，因此車輛動(dòng)力學(xué)模型的離散化方法對(duì)車輛控制算法的實(shí)時(shí)性至關(guān)重要。然而，確定模型離散化的采樣步長(zhǎng)仍然是一個(gè)挑戰(zhàn)，不論采用較大還是較小的采樣步長(zhǎng)，都有各自的優(yōu)缺點(diǎn)：使用較小的采樣步長(zhǎng)可使得系統(tǒng)的控制效果更好，但由于預(yù)測(cè)步數(shù)的增多使得控制系統(tǒng)的運(yùn)算效率降低；而采用較大的采樣步長(zhǎng)則需要以犧牲一定預(yù)測(cè)精度來實(shí)現(xiàn)較長(zhǎng)的預(yù)測(cè)時(shí)域?？紤]到高速無人駕駛汽車軌跡跟蹤對(duì)于模型預(yù)測(cè)精度、計(jì)算實(shí)時(shí)性和車輛操控穩(wěn)定性都有較高的要求，所以單一固定的采樣步長(zhǎng)已無法滿足實(shí)際需求。

針對(duì)這一挑戰(zhàn)，本文中采用變步長(zhǎng)的離散化方法來實(shí)現(xiàn)較長(zhǎng)的預(yù)測(cè)時(shí)域，并保證離散后車輛動(dòng)力學(xué)模型的預(yù)測(cè)精度和計(jì)算實(shí)時(shí)性。此模型離散方法將整個(gè)預(yù)測(cè)時(shí)域分成兩部分：第一部分使用短步長(zhǎng)ts進(jìn)行離散以保證離散后模型的精度；第二部分使用較長(zhǎng)的步長(zhǎng)tl進(jìn)行離散，在合理的模型精度和計(jì)算量下實(shí)現(xiàn)較長(zhǎng)的預(yù)測(cè)時(shí)域。設(shè)整個(gè)預(yù)測(cè)時(shí)域?yàn)镹p，并在第Ns步分成短步長(zhǎng)離散和長(zhǎng)步長(zhǎng)離散兩個(gè)部分。

第一部分，k=0，…，Ns，將式（8）表示的車輛動(dòng)力學(xué)模型以ts為步長(zhǎng)，使用0階保持（ZOH）進(jìn)行離散。首先設(shè)計(jì)增廣向量 zs=［ξ，u1，u2］T，則式（8）可表示為

式（9）通過對(duì)Gsts進(jìn)行矩陣指數(shù)函數(shù)計(jì)算，并采取0階保持可得

根據(jù)不同離散步長(zhǎng)使用不同的模型離散化方法的對(duì)比如圖3所示。

圖3 變步長(zhǎng)的模型離散化方法對(duì)比

圖3中帶圈虛線為一組期望的控制器輸入量，帶星號(hào)的實(shí)線為式（11）離散模型的輸入。可看出這種離散方法能夠比較精確地符合期望的控制輸入量，這是因?yàn)檐囕v的底層控制器也會(huì)在1個(gè)控制周期ts內(nèi)保持控制量恒定。然而，0階保持對(duì)于第二部分k=Ns＋1，…，Np則不再適用，因?yàn)樵?階保持會(huì)限定這部分的控制量在較長(zhǎng)的預(yù)測(cè)周期tl內(nèi)保持不變，如圖3中點(diǎn)劃線所示?？煽闯鲈摷僭O(shè)會(huì)使得模型輸入與期望的控制產(chǎn)生較大的偏離，因?yàn)榭刂屏吭谝粋€(gè)較長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)可能會(huì)有比較顯著的變化。針對(duì)這種情況，1階保持通過假設(shè)控制量在預(yù)測(cè)周期tl內(nèi)呈線性變化，有效地適應(yīng)了較長(zhǎng)的離散步長(zhǎng)，提供了更好的長(zhǎng)步長(zhǎng)離散化方法，如圖3中短虛線所示。雖短虛線仍無法與帶圈虛線重合，但在控制精度可接受的范圍內(nèi)。因此，將預(yù)測(cè)時(shí)域的第二部分（k=Ns＋1，…，Np），以 tl為步長(zhǎng)，使用 1階保持（FOH）進(jìn)行離散。

3 基于MPC的軌跡跟蹤控制器

3.1 滑移穩(wěn)定性約束

車輛滑移主要是由輪胎變形產(chǎn)生側(cè)偏角導(dǎo)致的，本文中將輪胎側(cè)偏角限制在［-αt，αt］，以保證線性化輪胎模型的有效性。根據(jù)對(duì)后輪側(cè)偏角的限制推導(dǎo)車輛的滑移穩(wěn)定性約束。后輪最大側(cè)偏角限制可以由式（7）轉(zhuǎn)化為對(duì)車輛橫向速度vy和航向角變化率r的約束

式中航向角變化率的閾值可根據(jù)后輪最大側(cè)偏力及式（1）獲得：

式（15）和式（16）約束組成了一個(gè)封閉的包絡(luò)線，如圖4所示，其中，①和③代表的是式（15）約束，②和④代表的是式（16）約束。當(dāng)車輛狀態(tài)處于包絡(luò)線之內(nèi)，車輛滿足滑移約束。然而，車輛狀態(tài)超出包絡(luò)線并不必然導(dǎo)致車輛失穩(wěn)，例如當(dāng)后輪側(cè)偏角超出閾值，后輪側(cè)偏力進(jìn)入輪胎模型的非線性區(qū)域，雖然輪胎力的線性化條件失效，但短時(shí)間內(nèi)仍能保持車輛的可控性。因此，設(shè)置了約束松弛因子允許車輛狀態(tài)暫時(shí)超出包絡(luò)線的限制，優(yōu)先保證車輛的無碰撞軌跡。

3.2 道路環(huán)境及執(zhí)行機(jī)構(gòu)飽和約束

圖4 高速車輛滑移的包絡(luò)線約束

道路環(huán)境對(duì)高速車輛的約束主要表現(xiàn)為車輛軌跡須保持在給定的可行區(qū)域內(nèi)，并滿足無碰撞的要求。高速車輛避障功能可通過在生成可行區(qū)域時(shí)考慮障礙物的影響來實(shí)現(xiàn)。本文中將道路環(huán)境對(duì)車輛軌跡的約束表示為一系列橫向偏差閾值的組合，如圖5所示。

圖5 道路環(huán)境約束

首先根據(jù)車輛縱向速度和車輛動(dòng)力學(xué)模型的離散化步長(zhǎng)，在道路的縱向上生成一系列參考點(diǎn)。然后將道路環(huán)境約束對(duì)參考點(diǎn)的橫向跟蹤偏差閾值定義為 emax（k）和 emin（k），因此道路環(huán)境約束為

式中：ξ（k）為車輛在第 k時(shí)刻的狀態(tài)；ds為一個(gè)根據(jù)車體尺寸定義的安全距離。

此外，高速車輛的跟蹤控制須滿足底層驅(qū)動(dòng)力的限制，設(shè) δf，max和 Δδf，max分別為前輪偏角及其變化量的閾值，則

3.3 模型預(yù)測(cè)控制問題

考慮滑移和側(cè)傾的高速無人駕駛車輛運(yùn)動(dòng)規(guī)劃與跟蹤控制問題可轉(zhuǎn)換為式（21）的二次型最優(yōu)求解問題，并通過實(shí)時(shí)求解生成有效避險(xiǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)劃軌跡及最優(yōu)控制序列，同時(shí)防止車輛側(cè)滑危險(xiǎn)的發(fā)生。模型預(yù)測(cè)控制中所涉及的變量及其數(shù)值如表1所示。

表1 模型預(yù)測(cè)控制使用的參數(shù)及其數(shù)值說明

式中待優(yōu)化的變量是車輛前輪偏角控制量δf和滑移約束的松弛因子Ssh。松弛因子的存在是為了通過允許高速車輛出現(xiàn)暫時(shí)性滑移現(xiàn)象以保證此優(yōu)化問題始終存在可行解。需要調(diào)試的參數(shù)為Wδf，Wey，Weψ和松弛因子的權(quán)重 Ws，通過選取不同的權(quán)重可以體現(xiàn)出優(yōu)化目標(biāo)的優(yōu)先級(jí)。對(duì)車輛滑移約束施加一定的松弛因子，可保證當(dāng)?shù)缆返臒o碰撞軌跡與穩(wěn)定性約束發(fā)生沖突時(shí)，優(yōu)先保證車輛在可行區(qū)域內(nèi)行駛，即允許車輛暫時(shí)發(fā)生滑移。

式（21）中：式（21a）抑制了高速無人駕駛車輛相對(duì)于參考路徑的橫向偏差和航向偏差，體現(xiàn)了路徑跟蹤的期望；式（21b）建立了跟蹤參考路徑與控制量平滑之間的關(guān)系；式（21c）對(duì)車輛滑移穩(wěn)定性約束的松弛因子進(jìn)行懲罰，促使高速車輛盡量不出現(xiàn)滑移現(xiàn)象；式（21d）和式（21e）分別為變步長(zhǎng)離散方法得到的車輛動(dòng)力學(xué)等效模型；式（21f）和式（21g）分別為針對(duì)高速車輛行駛過程中穩(wěn)定性的包絡(luò)線滑移約束和道路環(huán)境約束；式（21h）和式（21i）體現(xiàn)了對(duì)車輛執(zhí)行機(jī)構(gòu)和底層驅(qū)動(dòng)能力的約束。

本文中使用 CVXGEN［12］生成針對(duì)求解式（21）二次型優(yōu)化問題的求解器，優(yōu)化得到前輪偏角的最優(yōu)控制序列，模型預(yù)測(cè)控制使用的參數(shù)說明見表1。

4 仿真試驗(yàn)研究

為驗(yàn)證本文中所提出的控制器保持高速無人駕駛車輛操控穩(wěn)定性的能力，并保證仿真研究的充分性，在多種道路條件和車速下進(jìn)行對(duì)比仿真試驗(yàn)，分別選取干燥的瀝青路面、潮濕的瀝青路面和冰雪覆蓋的路面等3種典型道路。不同道路摩擦因數(shù)的取值根據(jù)文獻(xiàn)［13］中獲得。通過CarSim／Simulink搭建聯(lián)合仿真試驗(yàn)環(huán)境，仿真測(cè)試道路包含3個(gè)連續(xù)大曲率彎道，如圖6所示。仿真所用車輛模型的各項(xiàng)參數(shù)如表2所示。

圖6 CarSim／Simulink聯(lián)合仿真測(cè)試道路

4.1 干燥的瀝青路面

干燥瀝青路面的摩擦因數(shù)設(shè)為0.85，分別以70，80，90和100 km／h的車速進(jìn)行仿真試驗(yàn)，試驗(yàn)結(jié)果如圖7所示。圖7（a）為高速無人駕駛車輛的橫向跟蹤誤差對(duì)比圖，7（b）為軌跡跟蹤控制器優(yōu)化得到的前輪轉(zhuǎn)角控制量，7（c）為軌跡跟蹤過程中車輛質(zhì)心橫向速度及橫擺角速度的對(duì)比圖。

表2 車輛參數(shù)及其數(shù)值說明

由圖7（a）可知，高速無人駕駛車輛的橫向跟蹤偏差始終保持在0.5 m以內(nèi)。圖7（b）則顯示，無論在何種速度，控制器優(yōu)化得到的前輪轉(zhuǎn)角都處于執(zhí)行機(jī)構(gòu)的機(jī)械飽和約束范圍內(nèi)。由圖7（c）可知，被控車輛的車輛質(zhì)心橫向速度及橫擺角速度始終處于滑移包絡(luò)線之內(nèi)，即高速車輛處于操控穩(wěn)定性的狀態(tài)，而且車速越低，車輛越穩(wěn)定，與實(shí)際規(guī)律相符合。仿真結(jié)果驗(yàn)證了本文中提出的軌跡跟蹤控制器在干燥瀝青道路下的有效性。

4.2 潮濕的瀝青路面

潮濕瀝青路面的路面摩擦因數(shù)設(shè)為0.6，仿真測(cè)試車速分別為60，70，80和90 km／h，試驗(yàn)結(jié)果如圖8所示。

高速無人駕駛車輛的橫向跟蹤偏差對(duì)比圖如圖8（a）所示，可以看出當(dāng)車速低于95 km／h時(shí)，被控車輛的跟蹤誤差始終保持在0.5 m以內(nèi)，即始終行駛在給定的道路區(qū)域內(nèi)。然而，當(dāng)車速高于95 km／h時(shí)橫向跟蹤偏差會(huì)超過道路環(huán)境約束。這種情況發(fā)生主要是由于當(dāng)車速過高時(shí)，潮濕地面所能提供的附著力不足以約束車輛的橫向滑移所導(dǎo)致的。

跟蹤控制器優(yōu)化得到的前輪轉(zhuǎn)角如圖8（b）所示，滿足轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)的機(jī)械飽和約束。被控車輛的車輛質(zhì)心橫向速度及橫擺角速度的軌跡如圖8（c）所示，當(dāng)車速低于95 km／h時(shí)被控車輛的橫向速度和橫擺角速度仍然處于滑移包絡(luò)線之內(nèi)，但是當(dāng)車速高于95 km／h時(shí)滑移包絡(luò)線約束失效，車輛發(fā)生失穩(wěn)。綜上可知，本文中提出的高速車輛軌跡跟蹤控制器可在一定速度下有效地控制車輛安全地行駛在潮濕的瀝青路面上，具有較為令人滿意的控制效果。

圖7 干燥瀝青路面上的路徑跟蹤仿真結(jié)果

4.3 冰雪覆蓋的路面

在冰雪路面上進(jìn)行仿真試驗(yàn)可更為有效地檢驗(yàn)本文中提出的方法保證高速無人駕駛車輛操控穩(wěn)定性的能力。冰雪覆蓋道路的路面摩擦因數(shù)設(shè)為0.3，仿真車速分別取為 50，60，65和 70 km／h，仿真結(jié)果如圖9所示?？梢钥闯?，本文中設(shè)計(jì)的路徑跟蹤控制器在冰雪路面上仍具有較好的控制效果，能夠以一定的速度在較低的路面附著系數(shù)下實(shí)現(xiàn)被控車輛安全穩(wěn)定地行駛。但是當(dāng)車速超過65 km／h后則不能保證車輛在冰雪路面的穩(wěn)定行駛。

圖8 潮濕瀝青路面上的路徑跟蹤仿真結(jié)果

綜上所述，本文中提出的高速無人駕駛車輛軌跡跟蹤控制器能充分地利用道路的曲率信息，且能適應(yīng)多種路面條件，對(duì)路面摩擦因數(shù)的變化有較好的魯棒性，可有效減少車輛的滑移現(xiàn)象，從而保持車輛的操控穩(wěn)定性。

圖9 冰雪路面上的路徑跟蹤仿真結(jié)果

5 結(jié)論

（1）提出了一種考慮道路曲率的高速車輛等效動(dòng)力學(xué)模型及變步長(zhǎng)的模型離散化方法，解決了在滿足一定模型預(yù)測(cè)精度，實(shí)現(xiàn)較長(zhǎng)預(yù)測(cè)時(shí)域并保證計(jì)算實(shí)時(shí)性的問題。

（2）針對(duì)高速無人駕駛車輛的操控穩(wěn)定性要求，推導(dǎo)了基于包絡(luò)線的滑移穩(wěn)定性約束，并設(shè)計(jì)了基于模型預(yù)測(cè)控制的高速軌跡跟蹤控制算法。仿真試驗(yàn)證明，該算法可適應(yīng)不同的道路條件和復(fù)雜的道路曲率，能夠在高速和側(cè)滑等約束下得到最優(yōu)運(yùn)動(dòng)軌跡和控制序列，在保證無碰撞軌跡的前提下實(shí)現(xiàn)車輛的操控穩(wěn)定性。